线性代数各知识及脉络图.pdf

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1、- 1 - 一、行列式 知识结构网络图 概念 性质 展开式 计算 证明0A 应用 经转置行列式的值不变； 某行有公因数k， 可把 k 提到行列式外； 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和； 不同行 、不同列的n 个元素之积的代数和 1 n nikik k Da A （按 i 行展开 ） 1 n nkjkj k Da A （按 j 行展开 ） 余子式、代数余子式 给定（ i,j）元的值 未给定（ i,j）元的值 化三角形加边法、爪型行列式； 公式法特殊行列式、范德蒙德行列式； 用行列式性质计算； 用矩阵性质计算； 克拉默法则； 判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵； 线性相关性的判

2、定； n n RnA； 0 是方阵 A 的特征值； AA 行 列 式 - 2 - 行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特 征值、判断二次型的正定性等方面都要用到本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式行 列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多， 技巧性强，这是难点所在要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特 点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力 行列式的性质 【例】：已知 531，252， 234 都是 9 的倍数，利用行列式的

3、性质（而不是展开），证明 522 353 124 也是 9 的倍 数。 解答： 522 353 124 2 3132 1010rr ,rr 522 353 531252234 1 39r 522 9 353 582726 【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何 变化？ 解答：设原行列式为 n A 1 det ，则新的行列式为 1 1 32 21 det n nn B ， 0 0 , 3, 2det 1 1 32 1 1 1 32 21 n nn i n nn nirrB 特殊行列式 1、 （主）对角行列式、上（下）三角行列式 111111

4、1111 2211222211 1 1111 n ii i nnnnnn aaaaa aaaaa a aaaaa 2、 （次）对角行列式、上（下）三角行列式 1 2 1 11111 212212121 1 1111 1 n n n nnn n ,n,n,n,n ii i nn,nnnnn aaaaa aaaaa a aaaaa - 3 - 3、分块三角行列式 形式简记为： AOA AB BOB ，1 k nOAA AB BBO 4、范德蒙德行列式 21 111 21 121222 2222 12121 21 111 111121 121 11111 1 , 1 1 n n nn nnn n n

5、nn nnnnn nnnnn xxx xxxxxxx fx xxxxxx xxx xxxxxxx 12 1 , nij n ij fx xxxx 12132 11212111 , nnjnjjj njnjjj fx xxxxxxxxxx 1221nnnnnn xxxxxxxx 12131211 3231 21 nnnnnn xxxxxxxx xxxx xx 认识范德蒙德行列式 可以将 n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量 12 , n x xx的函数，即 12 , nn Dfx xx。此种类型 行列式具有如下三个特点： 1从列的角度看： 第 j 列元素从上到下依次为同一个变量 j x的零次

6、幂、 1 次幂、n1 次幂，1,2,jn； 2 从行的角度看：第i 行元素是从左往右依次为 12 , n xxx的 i1 次幂，1,2,in 3从结果看： 12 1 , nij n ij fx xxxx 是关于变量 12 , n x xx的 1 1 2 n n次齐次函数；而且该 齐次函数可以分解为 1 1 2 n n个一次因式 ij xx之积，其中1nij， 即脚标大者与脚标小者之差。 （说明： i 可以取值为1,2,n，例当 i 取值为 4 时， j 只可以取值为3、2、1，即区间1,1i中的每一个 整数） 当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。 参见

7、“ 范德蒙德行列式专辑” - 4 - 认识余子式（ Minor ）和代数余子式（ Algebraic Minor） ，及其之间的关系 ij det a的i, j元ija的余子式ijM和代数余子式ijA，仅与位置i, j有关，ija的取值如何并不影响其余 子式 ij M和代数余子式 ij A的取值。 1 ij ijij AM，代数余子式即为带符号的余子式。 利用教材P21 例 13 深入理解余子式和代数余子式及其关系。 【例】：已知4 阶行列式D 中，第一行元素分别为1，2，0，-4；第三行的4 个元素的余子式分别为： 31323334 6192M,Mx,M,M。求x的值。 解答： 113112

8、3213331434 0a Aa Aa Aa A，所以有 313234 240MMM， 62420x，所以7x。 【例】： 1、设行列式Adet的元素为 ij a，行列式 试证： n ji ij AxAD 1, detdet，其中 ij A为 ij a在Adet中的代数余子式。 证明：把Ddet升阶得到 n ji ij n j nj n j j AxAAxAxA 1,11 1 detdet 2、设 ij aA， ij A是 ij a在Adet中的代数余子式，求证 - 5 - 32 1 1 cc cc cc nn n 按第一行展开 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2,1 2, 1

9、1,1.1 2,2212 2,1111 1,2 1,12, 1.1 1,2222 1, 1121 1.1 1, 221 1, 111 n nnnnn nnnnn nn nn n nnnnn nnnnn nn nn n nnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aa aa aa 1,1,21, 1 1 12111 1 21 11 nnnn n n n nnnn AAAAAAAAA 计算技巧： 1 利用特殊行列式计算，利用公式BAAB求行列式值 【例】：计算行列式 令ABCCDn ， 0000 0000 1111 001 001 001 001 121 2 2

10、 2 2 nn bbbb a a a a C 2, 1, 3,0 2121 11 n n n bbaa baBADn - 6 - 2 加边法专辑 加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊， 从而实现计算的简化。 此种方法其实是反向利用Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更易 发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。 【例】： 1 1 2 111 11 1 111 n a a a ，其中.,2, 1, 0niai 解答： na a a 111 111 111 2 1 1 2 1 1111

11、0111 0111 0111 n n a a a 加边 1 2 1 1111 100 100 2, 100 i n n a r a in a 1 r 1 1 11 1 2 1 1 1111 000 000 1, 000 j n i i ja n n a cc a a jn a 11 1 1 nn i ii i a a 2 11121 21222 12 1 1 1 n n nnnn ababab ababab ababab 。 解答： 12 11121 21222 12 1 1 01 01 01 n n nn nnnn n bbb ababab ababab ababab 加边 12 1111

12、1 222 1 1 1 1 11 2,1 11 n i nnn n bbb aaa rr aaa in aaa 12 1111 2222 2 10000 01 11 11 11 n n nnnnn bbb aaaa aaaa aaaa 加边 - 7 - 12 1 1 2 2 10111 01 1100 103,2 0 1001 n j n n bbb cca ajn a 12 1 2 1 2 2 1111 01 01 3,2 01 01 n in i j n n n bbbb cc a jn a a 12 11 12 2 1111 1 001 3,2 001 001 nn iiin ii jj

13、 n n a bbbbb cac jn 111 11 nnn kkkk kkk abna b 3 爪型行列式专辑 爪型行列式形如： 方法：将D 的第 i+1 列乘以1,2, i i c in a 都加到第1 列，得 有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。 【例】： 1 2 3n n axxx xaxx Dxxax xxxa 化为爪型行列式的方法： - 8 - 1 1 12 1 13 1 00 00 2,3, 00 i n n axxx xaax rr Dxaax in xaax 1 1 21111 11 nnnn n ii iiiiii axx xaax xaxaax 2

14、 先采用加边法 1 2 3 1 0 0 0 0 n n xxxx axxx xaxx D xxax xxxa 1 12 3 1 1 1000 1000 10002,1 1000 i n n xxxx ax rrax axin ax 1 11 1 2 3 1 1 0000 0000 2,1 0000 0000 j n ii ja n n x xxxx a ax cc ax jn ax ax 11 1 nn i ii i x ax a 加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值： - 9 - 4 范德蒙德行列式专辑 2222 4444 1111 abcd abcd abcd ，此 4 阶行列式并非

15、范德蒙德行列式，并非4 个元素的零次至3 次幂构成。 解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式。 2222 4444 1111 abcd abcd abcd 21 31 41 cc cc cc 2222222 4444444 1000 abacada abacada abacada 或者 2222 4444 1111 abcd abcd abcd 21 2 31 4 41 rar ra r ra r 222222 444444 1111 0 0 0 bacada bacada bacada 按第1行展开 222222 444444 bacada bacada bacada 22

16、2222 111 bacadabacada babacacadada - 10 - 21 31 cc cc 22 100 bacadabacbdb babaxy 222 222 xcbabcacbcab ydbabdadbdab cbdb bacada xy 222222 11 bacadacbdb abcacbcababdadbdab bacadacbdbdcabcd 解法二：利用范德蒙德行列式。但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为5 阶范德蒙德行列式 , , , ,f a b c d x 22222 33333 44444 11111 , , , , abcdx abcdx fa b

17、c d x abcdx abcdx ，其中（ 4，5）元素 3 x的余子式即是所求 4 D。 按第 5 列展开 234 1525354555 , , , ,(1)f a b c d xAxAx Ax Ax A，即 445 DA 根据范德蒙德行列式得 , , , , , ,(2)f a b c d xxaxbxcxdfa b c d 其中 432 xaxbxcxdxabcd xabacbcadbdcd x abcabdacdbcd xabcd (1)式与 (2)式是 x的 4 次多项式, , ,f a b c d x 的两种表示方式，比较两者 3 x的系数，于是得到 3 x的系数为 45 Aab

18、cdf a,b,c,d 所以 445 DAabcdfa,b,c,d 4 Dabcddadbdccacbba 【例】：计算行列式 - 11 - 11 1111 11 11 222222 1 11 111111 ? nnnn nnnnn n nnnn nnnnnn aababb aaba bb D aababb 22 111 111 22 222 1 222 1 22 111 111 1 1 1 n n ni i nnn nnn bbb aaa bbb Da aaa bbb aaa 1 11111 n jn i ijiij iji nj inij b b aa ba b aa 【例】：计算 12

19、222 1122 121212 1122 111 111 n nnn nnnnnn nn xxx Dxxxxxx xxxxxx 解答：将第1 行的 1 倍加到第2 行，再将第2 行的 1 倍加到第3 行，最后将第n1 行的 1 倍加到 第 n 行，于是原行列式变换为 n D 21321nn rr ,rr ,rr 12 222 12 1 111 12 111 n nij n ij nnn n xxx xxxxx xxx 【例】：计算 12 12 12 222 12 111 12 111 n n n n n nnn n xxx xxx xxx D xxx xxx 解答：依次对每一行提出因子1 2

20、1 j j x ,j, ,n x - 12 - n D 12 12 111 12 n n xxx nxxx c ,c ,c 12 222 1122 1 121212 1122 111 111 1 n n j nn j j nnnnnn nn xxx x xxxxxx x xxxxxx 21321nn rr ,rr ,rr 12 222 12 111 111 12 111 11 n nn jj nij jjn ijjj nnn n xxx xx xxxxx xx xxx 【例】：设0abc，用范德蒙德行列式证明 2 2 3 2 0 aabc Dbbac ccab 解答：给定行列式并非范德蒙德行列

21、式，因此需要对其进行变换化为范德蒙德行列式。 222 222 33132 222 aaaabbccaaaabbcca D cabc c bbbabbcca cc bbabbcca cccabbccaccabbcca 22 22 3221 22 11 11 11 aaaa abbcca bbcc ,ccabbccabb cccc abbccacacbba 0 0 0 abbcca abc, cacbba 2 2 3 2 0 aabc Dbbac ccab 5 三角形行列式 利用性质将行列式化为三角形行列式进行计算。注意通常化为以下几类三角形行列式： 1 1111121 2122222 1122

22、12 00 0 0 00 n n nn nnnnnn aaaa aaaa a aa aaaa 下三角形上三角形 ； - 13 - 2 1 11111 1 212 2121 2 1211 21 11 1 00 0 1 0 00 n ,nn n n ,nn ,n n,nn,n nn,nnn n aaaa aaaa a aaa aaaa 爪形行列式最终将行列式化为三角形行列式计算。 6 递推法 变换行列式为同类型得较低阶行列式来表示，从而建立起递推关系。 【例】：计算行列式 1 1 12 1 100 0 0 001 0 n n n n aaa 1 12 0100 10 001 n n n n aaa

23、 11112211 1 1 0 n n nnnii in 。 【例】：计算三对角线行列式（即行列式的非零元素都在对角线上，以及与对角线“平行”的上、下两条斜 线上） 1 1 1 n D 解答：将 n D按第 1 列展开得，建立递推公式 1 1 1 n D 1 1 1 1 1 n n D 112 2 1 1 nnn n DDD 即得： 12nnn DDD，整理得 112nnnn DDDD 递推得到： 22 1122321 n nnnnnn DDDDDDDD 按第一行展开 - 14 - 1 D， 22 2 1 D 所以： 1 n nn DD ，即得到递推公式1 n nn DD 并依此公式递推： 1

24、12 122 nnnnn nnnn DDDD 11nnin inn 7 数学归纳法： 教材习题一5（5） 12 121 1221 1000 0100 0001 nnn nnn nnn x x Dxa xa xaxa x aaaaxa 用数学归纳法证明： 1、当 n1时， 11 Dxa 2、当 n2时， 2 212 21 1x Dxa xa axa 3、假设对于 n1阶行列式命题成立，即 123 11221 1 nnn nnn Dxa xa xaxa 那么按第一列展开Dn， 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaxa 11 11111111 112 nn n

25、nnnnnn Da Aa AxD()a ()xDa 将(1)式带入 (2)式，即可得 12 121 nnn nnn Dxa xa xaxa Cramer 法则 线性方程组 - 15 - 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 当 12 0 n bbb时，该线性方程组称为齐次线性方程组； 当 12 , n b bb不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组 注意：1Cramer 法则只适用于解决方程个数未知量个数且 0D的线性方程组； 2 齐次线性方程组总有解，总是有零解。 二、矩阵 1.

26、要求： 1. 理解矩阵的概念. 2. 了解单位矩阵，纯量矩阵、对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵以及它们的基本性质. 3. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则. 4. 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质. 5. 掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法. 6. 了解矩阵等价的概念 7. 理解矩阵秩的概念并掌握其求法. - 16 - 2. 知识脉络图 3.矩阵运算性质 矩阵加法 运算规律：（,A B C都是同型矩阵） 1 ABBA； 2 ABCABC； 3 AOA； 4 AAO 矩阵数乘 运算性质： 1 klklAAA； 2 kkkABAB； 3 k lkl

27、AA； 4 1 AA 矩阵的乘法： 运算性质：（假设下列运算有意义） 1 AB CA BC； 2 A BCABAC； 3 BC ABACA； 4 kkkABABA B 注意： 一般情况下，1不满足交换律 ABBA； - 17 - 2 没有消去律ABACBC； （若0 n n A，则有 11 ABACAABAACBC） 例如：, 10 02 , 00 02 , 00 01 CBA则, 00 02 , 00 02 ACAB显然ACAB， 但CB。 3 ABOAOBO或或,AOBOABO且 例如： 00 00 11 11 , 11 11 , aa aa bb bb aa aa bb bb aa aa

28、 CBA 转置矩阵 运算性质： 1 T T AA； 2 T TT ABAB ； 3 T TT ABB A ； 4 T T kkAA 方阵的行列式 运算性质：（,A B均为 n 阶方阵）1 T AA； 2 n kkAA； 3 ABA B，且ABBA 注意：3中只有当,A B均为 n 阶方阵时才成立。若,A B分别为,m n nm型矩阵时，ABBA 未必成 立 4 1 1 AA，0A时； 5 1n AA； 6 一般情况下ABAB 伴随矩阵 n 阶方阵 A 与其伴随矩阵A时可交换的：AAA AA E 运算性质：（,A B均为 n 阶方阵） 1 ABB A； 2 1n AA； 3 1n kkAA； 4

29、 , 1,1 0,1 nRn RRn Rn A AA A ； 5 T T AA； 6 若0A，则 1 1 AA； 7 若0A，则 2n AAA， n2. - 18 - 逆矩阵 运算性质：（,A B均为 n 阶可逆方阵） 1 若0A，则 1 1 AA; 2 1 11 0AA； 3 1 11 ABB A； 4 1 1 T T AA n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件： n 阶方阵 A 可逆0A（即 A 是非奇异方阵）RnA（即 A 是降秩方阵）A 可以表达成若 干个初等矩阵的乘积齐次线性方程组0 n nx A只有零解非齐次线性方程组 n nx bA只有唯一解 求逆矩阵的方法： 以下方法 1 、2

30、适用于给定, i j元素值的可逆方阵求逆 1 伴随矩阵求逆法， 1 1 AA A ； 2 初等变换法 1r A,EE,A，或者 1 c AE EA 3 分块对角矩阵求逆法（仅限于方阵的分块矩阵是分块对角矩阵）， 1 2 s A A A A ， 1 1 1 12 1 s A A A A 4 利用 1 AAE，或者 1 A AE得到 1 A（习题二的15，19，20，21，22） 若给出矩阵A 满足的关系式，要求与A 有关的某个矩阵Af的逆矩阵，一般情况下，可以将给定的关系 式 等 价 的 化 简 为EAA gf， 或 者EAA fg的 形 式 ， 从 而 证 得Af可 逆 ， 并 可 以 求 出

31、 AAgf 1 初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵仍然为初等矩阵， 1 ,i ji jEE； 1 1 ,0 k i kikEE； 1 ,i j ki jkEE 分块矩阵 在对矩阵进行分块运算时，要注意分块的合理，保证分块矩阵运算由意义。 1一般情况下， AB ADBC CD - 19 - 2 分块对角矩阵 1 2 n n s A A A A , 12s AAAA； 若方阵 A 可逆 1 1 1 12 1 s A A A A 利用分块矩阵表达方阵的行列式：例 1231212311232 , 常用的几种分块方法 1 设 1212 , ss B C ，则 1212 ,1,2, ssjj jsAB = CA

32、A 2 设 1212 , nn sijs b BC ，则 11121 1212 12 , s ns nnns bbb bbb AB = C 1122 ,1,2, jjnjnj bbbjs 3 设 11 22 , ij m n nn a BC ，则 11 11121 22 12 TT n TT mmmn TT nn aaa aaa BC 1122 ,1,2, TTT iiinnj aaaim 对角矩阵 对角矩阵 12 , n diag，则 12n ； 若 12 , n diag可逆，则 12 0,0,0 n ， 1111 12 , n diag。 同阶对角矩阵的和、数乘、乘积结果仍然是对角矩阵。

33、 - 20 - 对角矩阵左乘矩阵： 111 222 12 , TT TT mm nm TT mmm diag A， 对角矩阵右乘矩阵： 12121122 , m nnnnnn diag k kkkkkA 方阵的幂运算 1由 A 计算 23 , k AAA找出规律（例，习题二的8 题） 2 若 A 可以表示成 T A，其中 ,均为1n型矩阵，则可以利用矩阵乘法的结合律计算A 的幂运算 1 1 kk kk kTTTTTTTTTT A 1 1 T 是一个数，所以 111kkkk kTTTTTT AA 3当 1 AP P时， 1kk APP，则 1 AP P（例，习题二的23， 24 题） 矩阵多项式

34、 设有x的k次多项式 10 k k xa xa xa，将x用n阶方阵A替代时，就成为了矩阵多项式： 10 k k aaaAAAE（注意常数项 0 a被替代成 0 a E） 。 它有如下性质： 1)A也是n阶方阵； 2) n阶 方 阵A 的 两 个 多 项 式,AA总 是 可 交 换 的 （ 尽 管 矩 阵 乘 法 不 满 足 交 换 律 ） ， 即 AAAA（因此，普通多项式的乘法规则与因式分解规则也适用于矩阵多项式，） ； 3)若 1, , n diag，则 1 , n diag； 4)若 1 APBP时，则 1 APB P - 21 - 4.利用矩阵性质计算行列式 4.1 求方阵的行列式值

35、 例1：设4 阶矩阵， 234234 ,A ,B ,其中 234 , ,均为4 维列向量，且 4,1,AB求 1 , 2,ABA BA A 解答：1 AB，注意一般情况下ABAB，因此利用行列式的性质。 234 222AB , , , ，则 234234234234 22288AB , , , , , , 88AB（注意此题中矩阵加法与行列式加法的区别） 2 31 1414 222A BABAB 3 4 5 A AAAA 例 2：设, ,均为 3 维列向量，2 ,2 ,2, ,A B，已知,aA求B。 解答：解法一、2 ,2 ,2,2 ,22 ,2 ,2A , ,2,2 ,22 , ,22 ,

36、2 ,2 , , ,2,2 ,2 ,22 ,2 ,2 ,2 ,2 , ,8, ,9, , 3212 ,9, ,9ccccB 所以 9 a B 解法二、根据矩阵乘法， 102 2 ,2 ,2, ,210 021 A 所以 102102 , ,210, ,2109 021021 AB 关于方阵的行列式值 n 阶方阵 A 可逆0A（即 A 是非奇异方阵） - 22 - RnA（即 A 是满秩方阵） A 可以表达成若干个初等矩阵的乘积 齐次线性方程组 0 n nx A 只有零解 非齐次线性方程组 n nx bA只有唯一解 A 的 n 个特征值全不为0 n 阶方阵 A 不可逆0A（即 A 是奇异方阵）

37、RnA（即 A 是降满秩方阵） A 不可以表达成若干个初等矩阵的乘积 齐次线性方程组 0 n nx A 有非零解 非齐次线性方程组 n nx bA没有解或者有无穷多解 A 的 n 个特征值中至少有一个为0 4.2 有关伴随矩阵 n 阶方阵 A 与其伴随矩阵A时可交换的：AAA AA E . 4.3 矩阵行和相等、列和相等 矩阵各行元素之和相等 设矩阵 ij m n aA中，各行元素之和相等，即 12 111 nnn jjmj jjj aaak 则： 11 11 11 nm kA； 若A是n阶可逆方阵0k，则 1 A的各行元素之和也相等，为 1 k 矩阵各列元素之和相等 设矩阵 ij m n b

38、B中，各列元素之和相等，即 12 111 mmm iiin iii bbb 则： 11 1,11,1 mn B 若B是n阶可逆方阵0，则 1 B的各行元素之和也相等，为 1 - 23 - 例：若 A是n阶可逆方阵，如果A中各行元素之和是 6，则 1 A的各行元素之和为 1 6 。 初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一个运算，而初等矩阵是对单位矩阵实施一次初等变换所得矩阵。教材第3 章定理1 就是利用初等矩阵将初等变换与矩阵乘法联系了起来。初等矩阵主要用于某些理论上的推导和证 明。例如：利用初等行（列）变换求逆矩阵的方法就是利用初等矩阵理论推导得到（参见教材P64 65） 。 矩阵的秩

39、矩阵的秩是矩阵的一个重要、本质的属性。 对于mn型矩阵全体 m n M可以根据其秩，即依据“矩阵的非零子式的最高阶数”，将mn型矩阵全 体划分为 min,1m n 个类。 秩，由英语rank 一词译来，原意表示排序、秩序。引入这个概念就是要在 m n M中建立一个大小秩序。 对于秩的理解和把握应贯穿于本课程的全部学习过程。 m n AM，与A 秩相同的矩阵 m n B BM可以构成一个集合，在这个等价类集合中最好的“代 表” 就是 A 的等价标准形 R A EO F OO ，它具有最简单的形式。A 的等价标准形的主要意义用于理论推 导. 行阶梯型与行最简型应用归纳 行阶梯形 ： 1、求矩阵的秩

40、； 2、求矩阵的列向量组的最大无关组 行最简形 ： 1、求矩阵的秩； 2、求矩阵的列向量组的最大无关组； 3、求矩阵的列向量组的线性关系； 4、求解线性方程组，求其基础解系； 5、当方阵A可逆时，将 ( A,E )化为行最简形求A的逆矩阵； 6、当方阵A可逆时，将 ( A,B )化为行最简形求矩阵方程AX B的解； - 24 - 行最简形矩阵的作用 例如：第3 章引例 45 10104 01103 00013 00000 BBB， 46 11001 01103 00013 00000 BBB 其中 5 B是行最简形矩阵，而 6 B不是行最简形矩阵。但是 6 B在求解线性方程组时具有与行最简形矩

41、阵相似 的功能。 由 6 B写出对应的同解方程组 12 32 4 1 3 3 xx xx x ，即 121 222 332 44 111 010 313 033 xxx xxx ccR xxx xx 但是这样得出答案会随着自由未知量的不同而不同，对于xbA，若 ,RRbrAA，只要能够正 确地找到nr个自由未知量，进而写出含有nr个常数的通解，都是可以的（参见第4 章例 12） 。 非零矩阵的行最简形与行阶梯形 行最简形与行阶梯形都由矩阵经过初等行变换得到。即任何一个非零矩阵总可以经过有限次初等行变换化 为行阶梯形与行最简形 任何一个非零矩阵经过有限次初等行变换化为行阶梯形不是唯一的，但是行最简形却是唯一的（它是矩阵 经过初等行变换能得到的“最简单”的形状）。 非零矩阵行阶梯形行最简形 初等行变换初等行变换