2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷.pdf

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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )本试卷共4 页满分 150 分考试时间120 分钟 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框 )内作答，超出答题区域 书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使 用 05 毫米的黑色中性(签字 )笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选

2、择题共 60 分） 一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z满足 1+z 1z i，则 |z A.1B. 2 C. 3 D.2 2. 0000 10sin160cos10cos20sin A. 2 3 B. 2 3 C. 2 1 D. 2 1 3.设命题 P： n nNn2, 2 ，则 p为 A. n nNn2, 2 B. n nNn2, 2 C. n nNn2, 2 D. n nNn2, 2 4.投篮测试中， 每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试 .已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互

3、独立， 则该同学通过测试的概率为 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 5.已知00, y xM是双曲线 C： 1 2 2 2 y x 上的一点， 21,F F是 C 上的两个焦点，若 12 MFMF 0，则 0 y的取值范围是 保密启用前 A. 3 3 , 3 3 B. 6 3 , 6 3 C. 3 22 , 3 22 D. 3 32 , 3 32 a 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “ 今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何 ?” 其意思为 :“ 在屋内墙角处堆放米(如图，米 堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为

4、8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积 和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放 斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 7.设 D为ABC所在平面内一点 CDBC3 ，则 A. 14 33 ADABACB. 14 33 ADABACC. 41 33 ADABACD. 41 33 ADABAC 8.函数xxfcos 的部分图像如图所示，则xf的单调递减区间为 A.Zkkk), 4 3 , 4 1 (B.Zkkk), 4 3 2, 4 1 2( C.Zkkk), 4 3 , 4 1 (D.Zkkk), 4 3 2, 4

5、 1 2( 9.执行右面的程序框图，如果输入的01.0t，则输出的 n A.5 B.6 C.7 D.8 10. 25 ()xxy 的展开式中， 52 x y 的系数为 A.10 B.20 C.30 D.60 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为2016，则r A.1 B.2 C.4 D.8 x y 4 1 4 3 开始 t输入 n输出 结束 tS 2 1 , 0, 1mnS 1, 2 nn m m mSS 否 是 12.设函数aaxxexf x 12，其中1a，若存在唯一的整数x0，使得 0 0

6、xf，则a的取值范围是 ( ) A.1 , 2 3 e B. 4 3 , 2 3 e C. 4 3 , 2 3 e D.1 , 2 3 e 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题， 考生根据 要求作答 . 二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分 13.若函数 2 lnxaxxxf为偶函数，则a 14.一个圆经过椭圆错误！未找到引用源。1 416 22 yx 的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为. 15.若 x，y满足约束条件 10 0 40 x xy xy ，则 y x 的最大值为.

7、 16.在平面四边形ABCD 中， A B C75 ，BC2，则 AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12 分) （2015 年全国课标理 1） n S为数列 n a的前n项和 .已知 342,0 2 nnnn Saaa ()求 n a的通项公式：()设错误！未找到引用源。 1 1 nn n aa b ，求数列 n b的前n项和 （2015 年全国课标 1 理） 18.如图，四边形ABCD为菱形， 0 120ABC E，F 是平面ABCD同一侧的两点，ABCDBEBE平面 ABCD， ABCDDF, DFBE2 ,ECAE， (1)证

8、明：面 AEC面 AFC (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元 )对年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位： 千元) 的影响，对近8 年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2， ，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 . A B C F E D 580 600 620 )(t年销售量 ()根据散点图判断，yabx 与 ycd x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可 ) ()根据 ()的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程； ()以知这种产品

9、的年利率z与 x、y 的关系为 z0.2yx.根据 ()的结果回答下列问题： （i）年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据),(,),(),(2211nnvuvuvu，其回归直线的uv斜率和截距的最小二乘估计分别为 . ? ? , )( )( ? 1 2 1 uv uu vvuu n i i n i ii 20.(本小题满分12 分) 在直角坐标系 xoy中，曲线 4 : 2 x yC 与直线 0aakxy交于NM ,两点， ()当0k时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程； ()y轴上是否存在点

10、p，使得当 k 变动时，总有 OPNOPM ？说明理由 . 21.(本小题满分12 分) 已知函数 xxgaxxxfln, 4 1 3 ()当a为何值时，x轴为曲线 xfy的切线； ()用min,m n表示 nm,中的最小值，设函数 ( )min( ),( )(0)h xf xg xx，讨论xh 零点的个数 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ii xw， n i i ww 1 8 1 . y x w n i i xx 1 2 )( n i i ww 1 2 )()( )( 1 yyxx i n i i)( )( 1 yyww i n i i 请考生在

11、(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲 如图， AB 是 0 的直径， AC 是 0 的切线， BC 交 0于点E （）若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 0的切线； （）若 CEOA3 ，求 ACB 的大小 . 23.(本小题满分10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中.直线 ,2: 1xC ，圆 2C ： 121 22 yx ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

12、 （）求 21,C C的极坐标方程； （）若直线 3 C的极坐标方程为R 4 ，设 2 C与 3 C的交点为NM , ,求 MNC2的面积 24.(本小题满分10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 0,21aaxxxf （）当 1a 时，求不等式 1xf 的解集； （）若 xf 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a的取值范围 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 A 卷选择题答案 一、 选择题 （1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D 二、填空题 （13）1 （14） 223

13、25 () 24 xy（15）3 （16） 二、 解答题 （17）解： C D A E B O （I）由 2 243 nnn aaS，可知 2 111 243. nnn aaS可得 22 111 2()4 nnnn aaaaa即 22 1111 2()()() nnnnnn aaaaaa aa 由于0 n a可得 1 2. nn aa又 2 111 243aaa，解得 11 1()3aa舍去 ， 所以 n a 是首相为3，公差为2 的等差数列，通项公式为 21. n an （ II）由21 n an， 1 11111 (). (21)(23)2 2123 n n b a annnn 设数列 n

14、 b的前 n 项和为 n T，则 12nn Tbbb 1111111 ()()()() 235572123 . 3(23) nn n n （18）解： （I）连结 BD，设 BDAC=G ，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1. 由 ABC=120 ， 可得 AG=GC= 3 .由 BE平面 ABCD, AB=BC可知 AE=EC. 又AE EC，所以EG= 3 ，且 EG AC.在RtEBG中， 可得 BE= 2 故 DF= 2 2 .在 RtFDG 中，可得FG= 6 2 . 在直角梯形BDFE 中，由 BD=2 ，BE= 2 ，DF= 2 2 ， 可得 FE= 3

15、 2 2 .从而 222, EGFGEFEGFG所以 又,.ACFGGEGAFC可得平面因为EGAEC平面，所以平面AECAFC平面 （I）如图，以G 为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为x 轴， y 轴正方向，GB为单位长， 由 （I） 可得 2 (03,0),(102),( 1 0),(03,0) 2 AEFC， 所以 2 (132),( 13,). 2 AECF ， 故 3 cos,. 3 AE CF AE CF AE CF 所以直线AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 3 3 . （19）解： （I）由散点图可以判断，ycdx作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型2 分 （

16、II）令w x ，先建立y 关于 w 的线性回归方程。由于 1 2 1 ()() 108.8 ? 68 1.6 () n ii i n i i wwyy d ww ， ? ?56368 6.8100.6cydw。 所以 y 关于 w 的回归方程为?100.668yw，因此 y 关于 x 的回归方程为 ?100.668yx。 6 分 （III ）（ i）由（ II ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值? 100.668 49576.6y 年利润 z 的预报值?576.60.24966.32z。9 分 （ii）根据（ II）的结果知，年利润z 的预报值 ? 0.2(100.6 68)13.6

17、20.12zxxxx 所以当 13.6 6.8 2 x，即 x=46.24 时， ? z 取得最大值 故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大。 12分 （20）解： （I）有题设可得 (2, ),( 2, ),Ma aNa aMa或 （-2,a ）.又 2 =y2 24 xx yxa，故在 处的导数值为 a， C 在点(2, )a a 出的切线方程为 a(2) ,0ya xaa xya即， 2 2 4 x yxa在，即0axya . 所求切线方程为 0a0axyaxya和 （I）存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y) 直线 PM，P

18、N 的斜率分别为 12 ,k k 2 440.yk xaCxkxa代入的方程得故1212 4 ,4 .xxk x xa 从而 2 440.kxaCkxa代入的方程得 x1212 4 ,4 .xxk x xa故 12 1 12 1212 12 b 2 2()() yyb kk xx kx xab xx x x 从而 ()k ab a 当 b=-a 时，有 12 0,=kkPM则直线的倾角与直线 PN 的倾角互补，故OPMOPN ，所以点 P(0,-a) 符合题意 （21）解： （I）设曲线 y=f(x)与x轴相切于点 000 3 00 2 0 0 (,0)()0,()0 1 0 4 30 13

19、, 24 xf xf x xax xa a 则即 解得x 因此，当 3 xy( ) 4 afx时，轴为曲线的切线 （II ）当 x(1,)( )10,( ), ( )( )0,h( )(1 ,)g xnxf xg xg xx时，从而h(x)=min故在无零点 55 x1(1)0, (1)min(1), (1)(1)0,x 44 afahfgg当时，若则故1 是 5 ( )a,(1), (1)(1)0,1( 4 h xfgfxh x的零点；若则f(1)0,h(1)=min故不是的零点 x(0,1)g()10.fxnx当时，所以只需考虑 (x) 在（0,1 ）的零点个数 2 iaaf（ ）若-3或

20、0, 则 （x）=3x +a在（1,0 ）无零点，故 f(x) 在（0,1 ）单调 15 f (0),(1),faf 44 fa所以当 a-3 时， (x) 在（ 0,1 ）有一个零点；当0时 (x) 在（ 1,0 ）没有零点 aa ( )30,f( )0),1 33 iiax若则在（ ，单调递减，在（）单调递增，故在（ 0,1 ）中 3 21 ( )f() 3334 a aaa xf x当时，取得最小值，最小值为 3 ()0.0,( ) 34 3 faf ( )(0,1) 34 3153 ()0,3,(0),(1) 34444 a faf x a x a faffaa 若即在（ 0,1 ）无

21、零点； 若 ()=0, 即 =-则在有唯一零点 若即由于 5 ( )f ( )(0,1). 4 f xx时，在（ 0,1 ）有两个零点；当-3a-时，在有一个零点 综上，当 3535 aa-( )aah( ) 4444 h xx或时，有一个零点；当或时，有两个零点 53 h( ). 44 ax当时，有三个零点 （22）解： （I）链接 AE，由已知得，AEBC ACAB 在Rt AEC中，由已知得，DE=DC 故DECDCE 链接 OE，则OBE=OEB 又ACB+ABC=90 所以DEC+OEB=90 故 90o OED ，DE 是O得切线 （II ）设 CE=1，AE=X ，由已知得 2

22、3AB ， 2 12BEx 由摄影定理可得，AE=CE.BE ，所以 22 12xx 即 42 120xx 可得 3x ，所以 60 o ACB （23）解： （ I）因为 cosx ， siny ，所以1 C 的极坐标方程为 cos2， 2 C 的极坐标方程为 2 2cos4sin40。5 分 （II） 将 4 代 入 2 2cos4si n40， 得 2 3240， 解 得 1 2 2， 2 2。故 12 2，即2MN。 由于 2 C的半径为1，所以 2 C MN的面积为 1 2 。10 分 （24）解： （I）当1a时，1fx化为12110xx， 当1x时，不等式化为40x，无解； 当11x时，不等式化为320x，解得 2 1 3 x； 当 1x 时，不等式化为 20x ，解得1 2x 。 所以1fx的解集为 2 2 3 xx。5 分 （II）由题设可得， 12 ,1, 312 , 1, 12 , xa x fxxaxa xa xa 所以函数fx的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 21 ,0 3 a A，21,0Ba， ,1C a a，ABC的面积为 22 1 3 a。 由题设得 2 2 16 3 a，故2a。 所以 a 的取值范围为2, 10分