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1、1 湖南师大附 中 2016 届高二第一次月考试题 数学（文科） 命题： 高二文科数学备课组审题： 高二文科数学备课组 一、选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A1 ，2，3， 5，7 ，Bx N| 2x6，全集UABU，则() U ABIe（ A ） A. 1 ，2，7 B. 1 ，7 C. 2 ，3， 7 D. 2 ， 7 2.设 a，b，c 为实数，则使a b 成立的一个充分不必要条件是（ D ） A. acbcB. ab cc C. acbcD. ac 2bc2 3. .函数 f( x) 1 ln
2、 x1 2 9x的定义域是（ B ） A. 3，0) ( 0，3B.( 1，0) (0，3C. 3，3D. ( 1，3 4.师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛，七位 评委为某参赛选手给出的分数( 满分： 100 分) 如右茎叶图所示， 去掉一个最高分和一个最低分后，则余下5 个分数的方差是（ A ） A. 1.6 B. 8 C. 1.6D.2 2 5.已知 tan( ) 2，则 2 sin2cos（ D ） A. 1 B. 3 5 C. 1 5 D. 3 5 【解析】由已知，tan 2，则原式 2 222 2sincoscos2tan13 sincostan15 ，选 D. 6.在
3、区间 ( 0，1) 上任取两个数x，y，则事件“ 4 3 xy”发生的概率是（ D ） A. 9 2 B. 9 5 C. 9 4 D. 9 7 【解析】图中阴影部分的面积除以正方形的面积为所求的概率. 所以 1 2 27 1 2 3 39 P，选 D. 7.已知函数f( x) ( t 2 t1) 3 5 t x 是幂函数，其图象关于y 轴对称，则实数t 的值为（ C ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 0 或 1 8.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 1 1 2 a，且 123 aaa，则 S40 （ C ） A. 290 B. 390 C. 410 D. 430 9.将函数
4、sin(2) 3 yx图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再将图象向右平移 3 个单位，则所得图象的函数解析式是（ D ） 7 9 8 4 4 6 4 7 9 3 茎叶 x 4 3 xy 1 1 O y 2 A. f( x)cos 4xB. f( x) cos xC. f( x) sin 4xD. f( x) sin x 10.已知向量a，b 满足： | a| 1，b(3， 1) ，则 | ab| 的最大值是（ B ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题： 本大题共5 个小题， 每小题 5 分，共 25 分. 把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 11
5、. 从某 500 件产品中随机抽取50 件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500 件产品按 001，002， , ， 500 进行编号 . 如果从随机数表第8 行第 8 列的数 8 开始，从左往右读数，则依次 抽取的第4 个个体的编号是_ 286 . （下面摘录了随机数表第7 行至第 9 行各数） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 3
6、8 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【解析】第一个读数是859，舍去；第二个读数是169，取出；,. 依次抽取的前4 个个体的编号分 别是 169，105，071，286. 12. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则这个三棱柱 的体积等于3. 13.若 ABC 的面积为3 3， BC3，C60 ，则 AB 边的长度等于13. 14.已知 x0， y0，且 21 1 xy ，则 x2y 的最小值是8 . 【解析】由已知， 21 1 xy ，则 2144 2(2
7、)()4428 xyxy xyxy xyyxyx . 当且仅当x4，y2 时取等号，所以x2y 的最小值是8. 15.函 数 2 2 1,0 ( ) (1),0 ax axx fx aex 在(,)上 单 调 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (,2(1,2. 三、解答题：本大题共6 个小题 , 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.（本题满分12 分） 已知集合A x| x 24ax 3a20，集合 B x| x26x8 0，其中 a0 为常数 . （） 设条件 p：xA；条件 q：x B，若 p 是 q 的必要不充分条件，求a 的取值范围； （）设命题
8、r：a0，使ABI，试判断命题r 的真假 . 【解】 （） 由 x 24ax3a2 0，得 (3 )()0xaxa. 因为 a 0，则 3axa，所以 A( 3a，a) . （2 分） 由 x26x8 0，得 ( x4)( x2) 0，即 x 4或 x 2. 所以 B ( ， 4 2， ) . （4 分） 因为 p 是 q 的必要不充分条件，则qp，即pq，所以 A 是 B 的真子集 . （6 分） 所以 a 4 或 2 3a0，故 a 的取值范围是 2 (, 4,0) 3 U. （8 分） （）假设ABI，则 34 2 a a ，即 4 3 2 a a ，无解 . （ 10 分） 1 1 1
9、 3 所以对任意a0，ABI，即 r 为真命题，故命题r 为假命题 . （ 12 分） 17.（本题满分12 分）已知函数f(x)2cosx (3sinxcosx)1. （）求函数f (x)在区间 0， 2上的最大值和最小值； （）若f (x0) 6 5 ，x0 4， 2，求 cos2x0 的值 【解】 （）因为 f (x)2 3sinxcosx2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x 6). （3 分） 当0, 2 x时， 7 2, 666 x， 1 sin(2),1 62 x. （5 分） 所以 f (x)在区间 0， 2上的最大值为 2，最小值为 1. （6 分） （）因为 f
10、 (x0)2sin(2x0 6) 6 5 ，则 sin(2 x0 6) 3 5. （7 分） 因为 x0 4， 2，则 2 x 0 6 2 3 ， 7 6 从而 cos(2 x0 6) 0 4 1sin2(2) 65 x（2 分） 故 cos2 x0cos(2 x0 6) 6cos(2 x0 6)cos 6sin(2 x0 6)sin 6 343 10 . （ 12 分） 18 （本题满分12 分） 为了解学生家长对师大附中实施现代教育教改实验的建设性意见，学校决定用分层抽样的方法， 从高中三个年级的家长委员会中共抽取6 人进行座谈 . 已知高一、高二、高三年级的家长委员会分 别有 54 人、
11、 18 人、 36 人 （）求从三个年级的家长委员会中应分别抽取的家长人数； （）若从已经抽取的6 人中再随机选取3 人加入教改课题组，求这3 人中至少有一人是高三学生 家长的慨率 . 【解】 （）因为三个年级家长委员会总人数为5418 36108，则抽样比例为 61 10818 .（2 分） 因为 1 543 18 ， 1 181 18 ， 1 362 18 . 所以从三个年级的家长委员会中应分别抽取的家长人数为：高一3 人，高二 1 人，高三 2 人.（6 分） （）记从高一抽得的3 个家长为a、b、c，从高二抽得的1 个家长为 d，从高三抽得的2 个家长为 e、f，则从 6 人中随机抽取
12、3人的所有可能结果为： abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf， cef， def 共 20 种. （9 分） 抽取的 3 人中没有一人是高三学生家长的结果有：abc， abd， acd， bcd 共 4 种 故所求的概率为 44 1 205 P. （ 12 分） 19.（本题满分12 分） 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， BCCC12，点 E 在棱 AB 上. （）证明： B1CC1E； 4 （）若四棱锥EB1BCC1的体积为 4 3 ，求异面直线AA 1与 C1E 所成的角
13、 . 【解】 （）连结BC1，因为 BCCC1，则 四边形 BCC1B1为正方形，所以B1CBC1. （2 分） 因为 AB平面 BCC1B1，则 ABB1C. （4 分） 结合知， B1C平面 BC1E，所以 B1CC1E. （6 分） （）因为CC1AA 1，则 CC1E 为所求的角 . （7 分） 因为 BCCC1 2，则 11 1 12 33 EB BCC VBC CCBEBE. 由已知， 24 33 BE，则 BE2. （9 分） 在 RtCBE 中， 22 6CEBEBC. （10 分） 在 RtC1CE 中， 1 1 tan3 CE CC E CC ，所以 CC1E60 . 故异
14、面直线AA 1与 C1E 所成的角为60 . （12 分） 20.（本题满分13 分） 已知圆 C：x2y22x4y40问在圆C 上是否存在两点A、B 关于直线ykx1 对称，且以 AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由 【解】圆 C 的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为 C (1， 2)假设在圆C 上存在两点A、B 满足条件， 则圆心 C(1， 2)在直线 ykx1 上，即 k 1（3 分） 于是可知，1 AB k 设bxyAB :，代入圆C 的方程，整理得044)1(22 22 bbxbx， 则 0 ，即096 2 bb 解得233233b（7 分
15、） 设点 A、B 的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1 x2 b 1，x1x21 2b 22b2 由题意知OA OB， 则有 x1x2y1y20，（ 10 分） 也就是 x1x2(x1b)(x2 b)0 2x1x2b(x1x2)b20 b24b 4b2bb20，化简得b23b40 解得 b 4 或 b 1，均满足 0，12 分 即直线 AB 的方程为 xy40，或 xy1 0（13 分） 21.（本题满分13 分） 已知数列 an 满足： 2 1 21 2 nn aa a n ( nN* ) . （）求数列an的通项公式； （）设 2 2 n n nn b a ， 数列
16、bn的前n项和为. n S若对一切n N* ， 都有 SnM 成立 ( M 为正整数 ) ， A B C D A1 B1 C1 D1 E 5 求 M 的最小值 . 【解】 （）因为 2 1 21 2 nn aa a n ，则 11 2 1 21 21 nn aa a n ( n2) . （2 分） 两式相减，得 1 2 nn a n ，即 1 2(2). n n ann（3 分） 由已知， a1211 满足上式 . （4 分） 故数列 an 的通项公式是 1 2. n n an（5 分） （）由题设， 11 (21)21 22 nnn nnn b n . （6 分） 则 21 13521 1222 n n n S， 21 1132321 22222 n nn nn S. （8 分） 两式相减，得 22 1112112123 1 133 2222222 nnnnnn nnn S. （ 10 分） 所以 1 23 6. 2 n n n S（11 分） 显然，6 n S，又 5 13 65 16 S，所以 M6，故 M 的最小值为6. （13 分）