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1、第三节函数的单调性与最值 知识能否忆起 一、函数的单调性 1单调函数的定义 增函数减函数 定义 设函数 f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1， x2 当 x1f(x2) ，那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降 2单调区间的定义 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做 yf(x)的单调区间 二、函数的最值 前提设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足 条件 对于任意xI，都有 f(x)M； 存在
2、x0 I，使得 f(x0)M 对于任意xI，都有 f(x)M； 存在 x0I，使得 f(x0)M 结论M 为最大值M 为最小值 小题能否全取 1(2012 陕西高考 )下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() Ayx1By x 3 Cy 1 x Dy x|x| 解析： 选 D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、 C，由 yx|x|的图象可 知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2函数 y (2k1)xb 在(， )上是减函数，则() Ak 1 2 Bk 1 2 Dk f(n)； 1 x 1，即 |x|(1,0)(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指
3、函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特 征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调 2函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数 的定义域 对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、 对数函 数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简 单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间 注意 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分 别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结 函数单调性的判断 典题导入 例 1证明函数 f(x
4、)2x 1 x 在(， 0)上是增函数 自主解答 设 x1， x2是区间 ( ，0)上的任意两个自变量的值，且 x10， 因此 f(x1)f(x2)0， 因此 g(x1) g(x2) 1 2，得 10.m1 或 m0， x0)， 若 f(x)在 1 2，2 上的值域为 1 2，2 ， 则 a_. 解析： (1) f(x) 1 x1 20，x0)在 1 2，2 上单调递增， 所以 f 1 2 1 2， f 2 2， 即 1 a2 1 2， 1 a 1 22， 解得 a 2 5. 答案： (1)1 2 1(2)2 5 1(2012 广东高考 )下列函数中，在区间(0， )上为增函数的是() Ayl
5、n( x2)B yx1 Cy 1 2 x D yx 1 x 解析： 选 A选项 A 的函数 y ln(x2)的增区间为 (2， )，所以在 (0， )上一 定是增函数 2 若函数 f(x)4x 2mx 5 在 2， )上递增， 在 (，2上递减， 则 f(1) ( ) A 7 B1 C17 D25 解析： 选 D依题意，知函数图象的对称轴为x m 8 m 8 2，即 m 16，从而 f(x)4x 2 16x5，f(1)416525. 3(2013 佛山月考 )若函数 y ax 与 y b x在(0， )上都是减函数，则 yax2bx 在 (0， )上是 () A增函数B减函数 C先增后减D先减
6、后增 解析： 选 B yax 与 y b x在(0， )上都是减函数， a0，则一定正确的是() Af(4)f(6) Bf(4)f(6) Df(4)0 知 f(x)在 (0， )上递增，所以 f(4)f(6) 6定义在R 上的函数f(x)满足 f(xy) f(x)f(y)，当 x0，则函数 f(x)在a， b上有 () A最小值f(a) B最大值f(b) C最小值f(b) D最大值f ab 2 解析： 选 C f(x)是定义在R 上的函数，且 f(xy)f(x)f(y)， f(0)0，令 y x，则有 f(x)f(x)f(0)0. f( x) f(x) f(x)是 R 上的奇函数设x10. f
7、(x)在 R 上是减函数f(x)在 a，b有最小值f(b) 7函数 y (x3)|x|的递增区间是_ 解析： y (x3)|x| x23x， x0， x 23x，x0. 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0， 3 2 . 答案：0， 3 2 8(2012 台州模拟 )若函数y|2 x 1|，在 (， m上单调递减，则 m 的取值范围是 _ 解析： 画出图象易知y|2 x1|的递减区间是 (， 0， 依题意应有m 0. 答案： (， 0 9若 f(x) ax1 x2 在区间 (2， )上是增函数，则a 的取值范围是_ 解析： 设 x1x22，则 f(x1)f(x2)， 而 f(x1)f(x2
8、) ax11 x1 2 ax21 x22 2ax1x22ax2x1 x12 x22 x1x22a1 x12 x22 0，则 2a10. 得 a1 2. 答案： 1 2 ， 10求下列函数的单调区间： (1)y x 22|x|1； (2)y a12xx 2(a0 且 a 1) 解： (1)由于 y x22x1，x0， x22x1，x1 时，函数y a12xx 2 的增区间是 ( ， 1)，减区间是 (1， )； 当 00 且 f(x)在 (1， )内单调递减，求a 的取值范围 解： (1)证明：设x10，x1x20，x2x10， 要使 f(x1)f(x2)0， 只需 (x1a)(x2a)0 恒成
9、立， a1. 综上所述， a 的取值范围为 (0,1 12(2011 上海高考 )已知函数f(x)a 2 xb 3x，其中常数 a，b 满足 ab 0. (1)若 ab0，判断函数f(x)的单调性； (2)若 abf(x)时 x 的取值范围 解：(1)当 a0，b0 时，任意 x1， x2R，x10? a(2x12x2)0? b(3x13x2)0， 当 a0 时， 3 2 xa 2b， 则 xlog1.5 a 2b ； 同理，当 a0，b0，y0 都有 f x y f(x)f(y)，当 x1 时， 有 f(x)0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并加以证明； (3)若
10、f(4)2，求 f(x)在1,16 上的值域 解： (1)当 x0，y0 时， f x y f(x)f(y)， 令 xy0，则 f(1)f(x)f(x)0. (2)设 x1，x2(0， )，且 x1x10. x2 x11， f x2 x1 0. f(x2)f(x1)，即 f(x)在 (0， )上是增函数 (3)由(2)知 f(x)在 1,16上是增函数 f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)， f(4)2，由 f x y f(x)f(y)， 知 f 16 4 f(16)f(4)， f(16)2f(4) 4， f(x)在1,16 上的值域为 0,4 1求函数f(x)x 2x6的单调区
11、间 解： 设 ux 2x6，y u. 由 x2x60，得 x3 或 x2. 结合二次函数的图象可知，函数ux2x 6 在( ， 3上是递减的，在2， ) 上是递增的 又函数yu是递增的，函数f(x)x2x6在 (， 3上是递减的，在2， )上是递增的 2定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有 f(mn)f(m) f(n)，且当 x0 时， 0f(1) ，B( x，y)|f(axy 2)1，aR ，若 AB?，试 确定 a 的取值范围 解： (1)在 f(mn)f(m) f(n)中，令 m1，n0， 得 f(1)f(1) f(0) 因为 f(1)0，所以 f(0)1. (2)任取 x1， x2 R，且 x10，所以 00 时， 010. 又 f(0)1，所以综上可知，对于任意的x1 R， 均有 f(x1)0. 所以 f(x2)f(x1)f(x1)f(x2x1)1f(1)，即 x2y21. f(axy2)1f(0)，即 axy2 0. 由 AB?，得直线axy20 与圆面 x2y21 无公共点，所以 2 a 211，解得 1a1.