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1、3.2 函数模型及其应用 【入门向导】想一想？ 杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说，我想和 你订个合同，在整整的一个月(30 天)内，我每天给你10 万元，而你第一天只需给我1 元钱， 第二天给我2 元钱，每天给我的钱是前一天的两倍杰米非常高兴，他同意订这样的合同 同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式： 202 122, 2n 112 n 12 ) 幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？ 一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数 yx n(n0)，通过探索可以发现，在区间 (0， )上，无论 n 比 a 大多少， 尽管在 x 的一定
2、变化范围内，ax会小于 xn，但由于 ax的增长快 于 xn的增长，因此总存在一个x0，当 xx0时，就会有axxn. 同样地，对于对数函数ylogax(a1)和幂函数 y x n(n0)，在区间 (0， )上，随着 x 的增长， logax 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范 围内，logax 可能会大于 x n， 但是由于 log ax 的增长慢于x n 的增长， 因此总存在一个x0， 当 xx0 时，就会有logax1)、ylogax(a1)和 yxn(n0)都是增 函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x 的增大， yax(a
3、1)的增 长速度越来越快，会超过并远远大于y xn(n0)的增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则 会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当 xx0时，就会有logax0，b1)； 5对数函数模型：f(x)mlogaxn(m、n、a 为常数， a0，a1)； 说明随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的 舞台上将会扮演愈来愈重要的角色 6幂函数模型：f(x)ax nb(a、b、n 为常数， a0， n1)； 7分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛 函数应用举例 函数应用题是函数知识的综合运用，涉及到的知识面很广，这里主要对
4、一、二次函数及 分段函数的应用举例分析，希望能对同学们有所帮助 一、建立函数解析式，解决几何问题 例 1 现有 100米长的篱笆材料， 利用一面长度够用的墙作为一边，围成一个矩形的猪圈， 问此矩形的长、宽各为多少时，猪圈的面积最大？最大为多少？ 分析如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽，篱笆材料的长共为100 米，因此可 假设宽为x 米，则矩形的长就可以表示出来，这样就可以得到面积S关于 x 的解析式 解如右图，设矩形猪圈的宽为x 米，则长为 (1002x)米， 于是 S x(1002x) 2x2100x 2(x25) 21 250(03 000 时，交纳公积金后实得y0.85x300. 所
5、以所求函数的表达式为 y x，03 000. (2)张某的月工资为2 400 元， 则他实得y2 4000.91502 310(元)， 因此他交纳的公积金为2 400231090(元) 答张某应交纳公积金90 元 函数模型建立过程中的常见错误 解答函数应用问题时，要分四步进行： 第一步：阅读、理解； 第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题； 第三步：解答数学模型，求得结果； 第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答 而这四步中，最为关键的是把第二步处理好只要把数学模型建立妥当，所有的问题即 可在此基础上迎刃而解但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输” 一、忽视
6、实际意义出错 例 4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数现 知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y102x2x2(万元 )，若售出一件商 品的价格是20 万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？ 错解设该企业所能获取的最大利润为z(万元 )，则 z20x(102x2x 2)， 即 z 2x218x10 2(x4.5) 230.5， 故 z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5 万元 剖析同学们，你认为以上解答出现了什么问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件 已经暗示了x 为自然数，而该错解中却是在x 4.5 时取到的最大值30
7、.5，这种情况在实际中 是无法操作的 正解设该企业所能获取的最大利润为z(万元 )， 则 z20x(102x2x2)(xN)， 即 z 2x 218x10 2(x4.5)230.5， 故当 x 4或 5 时， z 取最大值30， 即该企业生产4 件或 5 件商品时所取得的利润最大，为30 万元 二、因读题不精而出错 例 5 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km) 和运动 时间 x(h)(0 x5)的关系如图所示，给出以下说法： 甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h； 甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大； 甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4
8、 km/h； 当甲、乙运动了3 小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km 处 其中正确的说法是() ABCD 错解和一定是一对一错，经分析， 是对的； 对于， 因为乙的图象在甲的上方， 所以应是甲的位移比乙小，故错误；对于，当甲、乙运动了3 小时，甲的位移为35 15(km)，乙的位移为53417(km)，故错误故选A. 剖析错因在于未读懂图象，从而作出错误判断对于，不能依据图象的位置判断位 移大小，要经计算判断；对于，乙的位移计算错误 正解和一定是一对一错，经分析是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是 5 小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相
9、等时间内甲的位移 比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了3 小时，甲的位移为3515(km)，乙的位移 为 3412(km)，又因为乙是从甲前方5 km 处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但 乙在甲前方2 km 处，所以正确故选D. 点评对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背 景 三、因主观性太强而致错 例 6 如图所示， 圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播 若 D 是 DFE 与 x 轴的交点， 设 ODx(0x a)，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y(图中 阴影部分 )，则函数y f(x)的图象大致是() 错解观察
10、图 1 可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B. 剖析本题的错误很明显，y 指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面 积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错 正解从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C 点之前，扫过图形的面积不 断增大，而且增长得越来越快当到达C 点之后且离开A 点之前，因为OABC，所以此时 扫过图形的面积呈匀速增长当离开A 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函 数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的故选A. 点评函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减， 则从左到右减得越来越快；若增
11、，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反 错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望 同学们能知道怎样远离错误 求解实际问题四策略 实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广很多同学在应用题面前束手无 策，有的读不懂题意、有的不会分析这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同 学们的学习有所帮助 一、抓常规，乱中找序 实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓 住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解 例 1 某商店将每个进价为10 元的商品，按每个18 元销售时，每天可卖出60 个经调 查，若将
12、这种商品的售价(在每个 18 元的基础上 )每提高 1 元，则日销售量就减少5 个，若将 这种商品的售价(在每个 18 元的基础上 )每降低 1 元，则日销售量就增加10 个为获得每日 最大利润，此商品售价应定为每个多少元？ 分析“总利润销售量单个利润 ”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售 价为 x元，每日利润为y 元 解若 x18(即提价 )，销售量为605(x18)，单个利润为x10，那么每日利润为y 605(x18)( x10) 5(x20)2500，显然当售价定为每个20 元时，利润最大，其最 大利润为500 元 若 xa ， 由 05 时， L(x)120.25x 为减函数， 此时 L(x)0，当 x0.1 时， W 有最小值，即总费用最省 所以当 CECF0.1 m 时， 总费用最省 点评本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问 题的理解以及解决应用问题的能力