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1、1 高级中学 20142015 学年第二学期期中测试 高一理科数学 命题人： 李浩宾审题人： 张宏伟 本试卷分第 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为 1-8 题，共40 分， 第卷为 9-20 题，共 110 分全卷共计150 分考试时间为120 分钟 第卷（本卷共40 分） 一、选择题：（本大题共8 题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1不等式31210xx的解集是（） A 2 1 3 1 |xxx或 B 2 1 3 1 |xx C 2 1 |xx D 3 1 |xx 2已知等差数列 n a中， 12497 , 1,16aaaa则
2、的值是（） A15 B 30 C31 D64 3过点（ 1，3）且垂直于直线032yx的直线方程为（） A012yxB052yx C052yxD072yx 4已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a9a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a=（） A. 2 1 B. 2 2 C. 2D.2 5在ABC中，若 60A， 45B，3 2BC，则AC=（） A4 3B2 3C3D 3 2 6已知点n A （ n，na ） （nN * ）都在函数 x ya （01aa，）的图象上，则 46aa 与52a 2 的大小关系是（） A46aa 52aB46aa 52a C46aa 52aD46aa
3、与52a 的大小与a有 关 7 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE， 连接EC、ED，则sin CED （） A 3 10 10 B 10 10 C 5 10 D 5 15 8 已知整数按如下规律排成一列：1 , 1 、1 , 2 、 2 ,1 、1 , 3 、 2 , 2 ， 3 ,1 ， 1 , 4 ， 2 , 3 ， 3 , 2 ，4 ,1 ， 则第 70 个数对是（） A2,11B3,10C4,9D5,8 第卷（本卷共计110分） 二、填空题：（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 9已知两条直线 12 :330,:4610.laxylxy若 12 /ll
4、，则a 10若0 11 ba ，则下列不等式abba；|;|baba；2 b a a b 中， 正确的不等式是 （填写正确序号） 11已知点P,a b在直线23xy上，则 24 ab 的最小值为 12在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则ABC的面积 S=_. 13在ABC中，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，若 222 2abc，则cosC的最小值 3 为 14等比数列 n a 的首项为 1 2015a ，公比 1 2 q设 ( )f n 表示该数列的前n 项的积， 则当n= 时，( )f n有最大值 三、解答题：（本大题共6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明
5、过程，或演算步骤） 15 （本小题满分12 分） （）求以下不等式的解集： （ 1） 2 2150xx（2） 2 3 x （）若关于x 的不等式 21 2 2 xxmx的解集为0,2，求实数m 的值 16 （本小题满分12 分） 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A( 3，4) 、B(0 ，0) 、C( c，0) （ ) 若ABBC, 求c的值； （）若 c=5，求 sinA的值 17 （本小题满分14 分） 等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a （ ) 求数列 n a的通项公式； （）设 3 102log, nn ba求数列 n b的前 n 项和 n
6、S； 4 （III）设 2 3 log nn ca, 求证： 123 11117 4 n cccc 18 （本小题满分14 分） 如图所示，某海岛上一观察哨A 在上午 11 时测得一轮船在海岛 北偏东 0 60的 C 处， 12 时 20 分测得船在海岛北偏西 0 60的 B 处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的 E 港 口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 19 （本小题满分14 分） 已知点(1,1)P到直线l：3(0)yxb b的距离为 2 10 5 . 数列an的首项 1 1a，且点列 * 1 , nn a anN均在直线 l 上. （ ) 求 b 的值
7、； （）求数列an的通项公式； （III）求数列 n na的前 n 项和 n S. 20 （本小题满分14 分） 已知数列an的前 n 项和为 n S，且满足 2 n Sn，数列 n b满足 1 1 n nn b aa ， n T为数列 n b的前 n 项和 . （ ) 求数列 an的通项公式； （） 若对任意的 * nN，不等式8 ( 1) n n Tn恒成立，求实数的取值范围； （III）是否存在正整数m，n（1mn），使得 1 T， m T， n T成等比数列？若存在，求出所 5 有 m， n 的值；若不存在，请说明理由. 高级中学 20142015 学年第二学期期中测试 高一理科数学参
8、考答案 一选择题：（本大题共8 题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A A A B B A B C 第卷（本卷共计110 分） 二、填空题：（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 92 10. 11. 4 212 15 3 4 13. 1 2 14. 12661 2015( ) 2 14. 解 1 1 2015 () 2 n n a ， (1) 2 1 ( )2015() 2 n n n f n |(1)|2015 |( ) |2 n f n f n ， 6 当n 10 时， |(1)|201
9、5 |( ) |2 n f n f n 1， | f(11) | f(10) | | f(1) |； 当n11 时， |(1)|2015 |( ) |2 n f n f n 1， | f(11) | f(12) | (11)0 ,(10)0 ,(9)0 ,(12)0ffff，( )f n的最大值为(9)f或(12)f中的最大者 1266 3303 10 936 1 2015() (12)12015 2 2015( )()1 1 (9)22 2015() 2 f f ， 当n=12 时，( )f n有最大值为 12661 (12)2015( ) 2 f 三、解答题：（本大题共6 小题，共 80
10、分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15 （本小题12 分） （）求以下不等式的解集： 1 2 2150xx2 2 3 x （）若关于x 的不等式 2 1 2 2 xxmx的解集为0,2，求 m 的值 解： （） 1. 2 2150xx的解集为 5 ,3 2 3 分 2 2 3 x 的解集为 2 0, 3 7 分 （）若关于x 的不等式 21 2 2 xxmx的解集为0,2，则 0,2 是 21 2 2 xxmx的解故 2 1 22 22 2 m，解得1m，所以1m12 分 16 （本小题满分12 分） 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A( 3，4) 、B(0 ，0) 、C( c
11、，0) （ ) 若ABBC, 求c的值； （）若 c=5，求 sinA的值 (1) ( 3, 4)AB(3,4 )ACc 7 由3(3)1 6253A B A Ccc得 25 3 c5 分 (2) ( 3, 4)AB(2, 4)AC 6161 cos 5 205 AB AC A ABAC 22 5 sin1cos 5 AA12 分 17 （本小题14 分） 等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a （ ) 求数列 n a的通项公式； （） （）设 3 102log, nn ba求数列 n b的前 n 项和 n S. （III）设 2 3 log nn ca,
12、 求证： 123 11117 4 n cccc 解： （）设数列 n a的公比为q，由 2 326 9aa a得 32 34 9aa所以 21 9 q。 由条件可知a 0, 故 1 3 q。 2分 由 12 231aa得 12 231aa q，所以 1 1 3 a。 4分 故数列 n a的通项式为an= 1 3 n 。 5分 （） 3n 102log102 n ban 2 2 9 ,5 940,5 n nn n S nnn 9分 （III） 2 2 3 log nn can, 则 222 123 22 1111111 12 11111111717 122323144 n ccccn nnn 8
13、 14 分 18 （本小题满分14 分） 如图所示，某海岛上一观察哨A 上午 11 时测得一轮船在海岛北 偏东 0 60的 C 处， 12 时 20 分测得船在海岛北偏西 0 60的 B 处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的 E 港口， 如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 解：轮船从 C到 B用时 80分钟，从 B到 E用时 20 分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设 EB=x，则 则 BC=4x，由已知得 00 30 ,150BAEEAC 2分 在AEC中，由正弦定理得： sin sin sinsin ECAEAEEAC C EACCEC 0
14、5sin1501 52xx 5分 在ABC中，由正弦定理得： 0 sin120sin BCAB C 0 1 4 sin 2 sin120 3 2 x BCC x AB 4 3 3 8分 在ABE中，由余弦定理得： 2220 2cos30BEABAEAB AE 164 333131 2525, 33233 BE故 11分 所以船速 31 3 93 1 3 BE v t 答：该船的速度为93 km/h 14分 19 （本小题满分14 分） 已知点(1,1)P到直线l：3(0)yxb b的距离为 2 10 5 . 数列an的首项 1 1a，且点列 9 * 1 , nn a anN均在直线 l 上.
15、（ ) 求 b 的值； （）求数列an的通项； （III）求数列 n na的前 n 项和 n S. 解： （ ) 由点(1,1)P到直线 l：3(0)yxb b的距离为 2 10 5 ，得 22 |3 1|2 10 5 31 b ，解得 b=2 3 分 （）数列an满足 1 32 nn aa，即 1 131 nn aa，故1 n a是以 2 为首项，公 比为 3的等比数列，故 1 12 3 n n a，即 1 2 31 n n a 8分 （III）数列 n na的通项 1 23 n n cnn，故由分组求和，错位相减求和得 31(1) 3 22 n n n n n Sn 14分 20 （本小题
16、满分14 分） 已知数列 an的前 n 项和为 n S，且满足 2 n Sn，数列 n b满足 1 1 n nn b aa ， n T为数列 n b的前 n 项和， （ ) 求数列an的通项和 n T； （） 若对任意的 * nN，不等式8 ( 1) n n Tn恒成立，求实数的取值范围； （III ） 是否存在正整数m，n（ 1mn），使得 1 T， m T， n T成等比数列？若存在，求出 所有 m，n 的值；若不存在，请说明理由。 解：（ 1）由 2 n Sn得 ， 3 分 10 ， 。5 分 （2）当 n 为偶数时，要使不等式恒成立， 即需不等式恒成立， ，等号在n=2 时取得 此时 需满足 25；7 分 当 n 为奇数时，要使不等式恒成立， 即需不等式恒成立， 是随 n的增大而增大， n=1 时，取得最小值 -6 此时 需满足 -21；9 分 综合、可得的取值范围是 -21 。 10分 （3）， 若成等比数列， 则， 11 由， 即， ， 12分 又 m N，且 m 1， 所以 m=2 ，此时 n=12， 因此，当且仅当m=2 ，n=12 时，数列 Tn 中的成等比数列。 14分 12