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1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 2 页，第卷3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题共 60 分） 一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的 1已知 2 (x，0） ， 5 4 cosx ，则2tgx（） （ A） 24 7 （B） 24 7 （C） 7 24 （D） 7 24 2圆锥曲线 2 cos sin8 的准线方程是（） （A）2cos（B） 2cos （C）2sin（D） 2sin 3设
2、函数 2 1 12 )( x xf x 0 0 x x ，若1)( 0 xf，则 0 x的取值范围是（） （A） （1，1）（B） （1，） （C） （，2）（0，）（D） （，1）（1，） 4函数)cos(sinsin2xxxy的最大值为（） （A）21（B）12（ C ）2（ D）2 5已知圆C：4)2()( 22 yax（0a）及直线l：03yx，当直线l被 C截得 的弦长为32时，则a（） （A）2（B）22（ C）12（D）12 6已知圆锥的底面半径为R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（） （A） 2 2 R（B） 2 4 9 R （C） 2 3 8 R （D ）
3、 2 2 3 R 7已知方程0)2)(2( 22 nxxmxx的四个根组成一个首项为 4 1 的的等差数列，则 |nm（） （A）1 （B） 4 3 （ C） 2 1 （ D） 8 3 8已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7 ，0） ，直线1xy与其相交于M 、N两点， MN中点的横坐标为 3 2 ，则此双曲线的方程是（） （A） 1 43 22 yx （B） 1 34 22 yx （C） 1 25 22 yx （D） 1 52 22 yx 9函数 xxfsin)( ， 2 3 , 2 x 的反函数 )( 1 xf（） （A） xarcsin1x ，1 （B） xarcsin1x ，1 （C
4、） xarcsin1x ，1 （D） xarcsin1x ，1 10已知长方形的四个顶点A（0，0） ，B（2， 0） ，C（ 2，1）和 D（0，1） ，一质点从AB的 中点 0P沿与 AB的夹角 的方向射到BC上的点 1 P后， 依次反射到CD 、 DA和 AB上的点 2 P、 3 P和 4 P（入射角等于反射角），设 4 P的坐标为（ 4 x，0） ，若21 4 x，则tg的取 值范围是（） （A） （ 3 1， 1） （B） （ 3 1 ， 3 2 ）（C） （ 5 2 ， 2 1 ）（D） （ 5 2， 3 2 ） 11 )( lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2
5、2 n n n CCCCn CCCC （） （A）3 （B） 3 1 （C） 6 1 （D） 6 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（） （A）3（ B ）4（C）33（D）6 二. 填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 13 92 ) 2 1 ( x x 的展开式中 9 x系数是 14使1)(log 2 xx成立的x的取值范围是 15如图， 一个地区分为5 个行政区域， 现给地图 着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。 （以数字作答） 16下列 5 个正方体图形中，l
6、是正方体的一条对 角线，点 M 、N、P分别为其所在棱的中点，能 得出l面 MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 2 1 5 3 4 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17 （本小题满分12 分） 已知复数z的辐角为60，且|1| z是| z和|2| z的等比中项，求| z 18 （本小题满分12 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱 2 1 AA，D、E分别是 1 CC与BA1 的中点，点E在平面
7、ABD上的射影是ABD的重心 G （I ）求 BA 1 与平面 ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点 1 A到平面 AED的距离 19 （本小题满分12 分） 已知0c，设 P：函数 x cy在 R上单调递减 Q：不等式 1|2|cxx 的解集为R 如果 P和 Q有且仅有一个正确，求c的取值范围 20 （本小题满分12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南 10 2 arccos( ）方向 300km的海面 P处， 并以 20km/h 的速度向西偏北45方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km， 并以 1
8、0km/h 的速度不断增大，问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭 21 （本小题满分14 分） D E K B C1 A1 B1 A F C G O 北 东 O y 线 岸 O x P r( t) P 45 海 已知常数0a，在矩形ABCD中，4AB，aBC4，O为 AB的中点，点E 、F、G 分别在 BC 、CD 、DA上移动，且 DA DC CD CF BC BE ，P为 GE与 OF的交点（如图） ，问是否存在 两个定点， 使 P到这两点的距离的和为定值若存在，求 出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。 22 （本小题满分12 分，附加题4 分） （I ） 设 na 是集合|22
9、 ts ts0且Zts, 中所有的数从小到大排列成的数列， 即3 1 a，5 2 a，6 3 a，9 4 a，10 5 a，12 6 a， 将数列 n a各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 56 9 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； 求 100 a （II ） （本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150 分） 设 n b是集合tsr tsr 0|222， 且,Ztsr中所有的数从小到大排列成的数 列，已知1160 k b，求k. 2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类 )答案 一、选择题 1D 2 C 3 D
10、4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 10 C 11 B 12 A 二、填空题 13 2 21 14 （-1 ，0） 1572 16 三、解答题： 17 解：设)60sin60cos rrz，则复数. 2 r z的实部为 2 ,rzzrzz由题设 O P A G D F E C Bx y .12|).( 12, 12:.012 ,421, )2)(2(|) 1)(1( :|2|1| 2 222 zrrrr rrrrrzzzzzzzz 即舍去解得整理得 即 18 （）解：连结BG ，则 BG是 BE在 ABD的射影，即 EBG 是 A1B 与平面 ABD所成的角 . 设 F为 AB中点
11、，连结EF 、FC ， . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3,32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 )4(.3, 1, 3 1 ., , 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 分 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED （）解：,FABEFEFEDABED又 . 3 62 3 62 32 222 , .,., .,., 1 1 111 111 1111 111 的距离为到平面中在 的距离到平
12、面是即平面垂足为作 面且面平面平面面又面 AEDA AB BAAA KAABA AEDAKAAEDKAKAEKA AEABAAEDABAAEDAEDEDABAED 19 解：函数 x cy在 R上单调递减. 10c 不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx )., 1 2 1 ,0(.1,. 2 1 0, . 2 1 121|2|.2|2| ,2,2 ,2,22 |2| 的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果 的解集为不等式上的最小值为在函数 ccQPcQP ccRcxxcRcxxy cxc cxcx cxx 20解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x
13、 轴正向 . 在时刻：（1）台风中心 P（yx,）的坐标为 . 2 2 20 10 27 300 , 2 2 20 10 2 300 ty tx 此时台风侵袭的区域是 ,)()()( 22 tryyxx 其中,6010)(ttr若在 t 时刻城市 O受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0( 222 tyx即 22 ) 2 2 20 10 27 300() 2 2 20 10 2 300(tt 2412, 028836,)6010( 22 tttt解得即 答： 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点
14、距离 的和为定值 . 按题意有 A（ 2，0） ，B（2，0） ，C（2，4a） ，D（ 2，4a）设 )10(k DA DC CD CF BC BE 由此有 E（2，4ak） ，F（24k，4a） ，G （ 2，4a4ak）直线 OF的方程为：0)12(2ykax 直线 GE的方程为： 02)12(ayxka 从，消去参数k，得点 P（x,y ）坐标满足方程022 222 ayyxa 整理得 1 )( 2 1 2 22 a ayx当 2 12 a 时，点 P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当 2 12 a时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。 当 2
15、1 2 a 时，点 P 到椭圆两个焦点（ ), 2 1 (), 2 1 22 aaaa 的距离之和为定值2。 当 2 1 2 a时，点 P 到椭圆两个焦点（0， ) 2 1 , 0(), 2 1 22 aaaa 的距离之和为定值2a. 22 （本小题满分12 分，附加题4 分） （）解：（i ）第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：设 00 22 100 ts a，只须确定正整数., 00 ts 数列 n a中小于 0 2 t 的项构成的子集为,0|22 0 t tts s 其元素个数为 .100 2 ) 1( , 2 ) 1( 0000 2 0
16、tttt Ct依题意 满足等式的最大整数 0 t为 14，所以取.14 0 t 因为 100.1664022, 8s, 1 814 10000 2 14 asC由此解得 （）解： ,2221160 3710 kb 令 0|222B,(1160| r tsrCBcM ts 其中 因 .22222|222|2| 37107107101010 cBccBccBcM 现在求 M的元素个数： ,100|2222| 10 tsrcBc tsr 其元素个数为 3 10 C： .70|222222| 1071010 srcBc rs 某元素个数为30|22222222| : 71037107102 7 rcBcC r 某元素个数为 .1451: 2 3 2 7 3 10 7 10 CCCkC