初中几何辅助线大全-最全.pdf

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1、_ -可编辑修改 - 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知 ACBD ，AD AC 于 A ，BCBD 于 B，求证： AD BC 分析：欲证AD BC，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与 BCD ， AOD与 BOC， ABD与 BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相 等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明 ：分别延长DA ，CB，它们的延长交于E 点， AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90 （垂直的定义） 在 DBE 与 CAE 中 )( )( )( 已知 已证 公

2、共角 ACBD CAEDBE EE DBE CAE （AAS） ED EC EBEA （全等三角形对应边相等） ED EAECEB 即： AD BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 9-1：在 RtABC 中，ABAC， BAC90，1 2， CEBD 的延长于E 。 求证： BD 2CE 分析：要证BD2CE，想到要构造线段2CE，同时 CE 与 ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE 交于点 F。 BE

3、CF （已知） 19图 D CB AE F 1 2 A B C D E 17图 O _ -可编辑修改 - BEF BEC90 （垂直的定义） 在 BEF 与 BEC 中， )( )( )(21 已证 公共边 已知 BECBEF BEBE BEF BEC（ASA） CE=FE= 2 1 CF （全等三角形对应边相等） BAC=90BECF （已知） BAC CAF901 BDA 90 1 BFC90 BDA BFC 在 ABD 与 ACF 中 )( )( )( 已知 已证 已证 ACAB BFCBDA CAFBAC ABD ACF （AAS） BDCF （全等三角形对应边相等）BD 2CE 四、

4、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1：ABDC， A D 求证： ABC DCB。 分析：由 ABDC， A D ，想到如取AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS公理有 ABN DCN ，故 BN CN， ABN DCN 。下面只需证NBC NCB，再取BC 的中点M，连接MN ，则由SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC NCB。问题得 证。 证明：取AD ，BC 的中点 N、M，连接 NB， NM， NC。则 AN=DN ，BM=CM ，在 ABN 和 DCN 中 )( )( )( 已知 已知 辅助线的作法 DCAB DA DNAN ABN DCN （SAS ） A

5、BN DCN NB NC （全等三角形对应边、角 相等） 在 NBM 与 NCM 中 111图 D C B A M N _ -可编辑修改 - )( )( )( 公共边 辅助线的作法 已证 NMNM CMBM NCNB NMB NCM ， (SSS) NBC NCB （全等三角形对应角相等） NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB。 巧求三角形中线段的比值 例 1. 如图 1，在 ABC 中， BD ：DC1： 3，AE：ED 2：3，求 AF：FC。 解：过点 D 作 DG/AC ，交 BF 于点 G 所以 DG：FCBD：BC 因为 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4 即

6、DG：FC1：4，FC4DG 因为 DG：AFDE：AE 又因为 AE：ED2：3 所以 DG：AF3：2 即所以 AF：FC：4DG1：6 例 2. 如图 2，BCCD，AFFC，求 EF：FD 解：过点 C 作 CG/DE交 AB 于点 G，则有 EF：GCAF： AC 因为 AFFC 所以 AF：AC1：2 即 EF：GC1：2， 因为 CG：DEBC：BD 又因为 BCCD 所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 即 DE2GC 因为 FDEDEF所以 EF：FD 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点 处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看

7、两例， 让我们感受其中的 奥妙！ _ -可编辑修改 - 例 3. 如图 3，BD ：DC 1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD。 解：过点 B 作 BG/AD ，交 CE 延长线于点 G。 所以 DF：BGCD：CB 因为 BD：DC1：3 所以 CD：CB3：4 即 DF：BG3：4， 因为 AF：BGAE：EB 又因为 AE：EB2：3 所以 AF：BG2：3 即 所以 AF：DF 例 4. 如图 4，BD ：DC 1：3，AFFD，求 EF：FC。 解：过点 D 作 DG/CE ，交 AB 于点 G 所以 EF：DGAF：AD 因为 AFFD 所以 AF：AD1：2 图 4 即 EF

8、：DG1：2 因为 DG：CEBD：BC，又因为 BD：CD1：3，所以 BD：BC1：4 即 DG：CE1：4，CE4DG 因为 FCCEEF 所以 EF：FC1：7 练习： 1. 如图 5，BDDC，AE：ED 1：5，求 AF：FB。 2. 如图 6，AD ：DB1：3，AE：EC3：1，求 BF：FC。 _ -可编辑修改 - 答案： 1、1：10；2. 9：1 二 由角平分线想到的辅助线 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角 平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离

9、相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线； 其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 例1如图 1-2，AB/CD ，BE 平分 BC D，CE 平分 BCD，点 E 在 AD 上，求证： B C=AB+CD 。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利 用角平分线来构造全等三角形， 即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也 图1-2 A D B C E F _

10、-可编辑修改 - 是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长 法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线 段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条 线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目 的。 例2已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD= CAD，DA=DB ，求证 DC AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。 构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 例3已知：如图 1-4，在 ABC 中， C=2B,A D 平分 BAC，求证： AB-AC=CD 分析：

11、此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的 和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的 线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢？ （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明 问题。 图1-3 A B C D E 图1-4 A B C D E 图 2-1 A B C D E F _ -可编辑修改 - 例1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。 求证： ADC+ B=180 分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证 ADC 与B

12、 之和为平角。 例2 如图 2-2，在 ABC 中， A=90，AB=AC，ABD= CBD。 求证： BC=AB+AD 分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE ，则构 造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分 问题，从中利用了相当于截取的方法。 例3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于 点 P。求证： BAC 的平分线也经过点P。 分析：连接 AP，证 AP 平分 BAC 即可，也就是证P 到 AB、AC 的距离相等。 （三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形， 垂足

13、为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。 例1 已知：如图3-1，BAD= DAC ，ABAC,CD AD 于 D，H 是 BC 中点。求证： DH= 2 1 （AB-AC） 图2-2 A B C D E 图2-3 P A B C M N D F 图示 3-1 A B C D H E _ -可编辑修改 - 分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。 例2 已知：如图 3-2，AB=AC ，BAC=90，AD 为 ABC 的平分线， CEBE.

14、求证： BD=2CE。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的 垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 例 3已知：如图3-3在ABC 中，AD、AE 分别 BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作 BFAD ，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。 求证： AM=ME 。 分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线， 可得 E AAF，从而有 BF/AE ，所以想到利用比例线段证相等。 例4 已知：如图 3-4，在 ABC 中，AD 平分 BAC，AD=AB ，CMAD 交 AD 延长线于 M。求证： AM= 2 1 （AB+AC） 分析：

15、题设中给出了角平分线AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作 ABD 关于 AD 的对称 AED ，然后只需证 DM= 2 1 E C，另外由求证的结果AM= 2 1 （AB+AC） ，即 2AM= AB+AC ， 也可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM， 然后只需证 DF=CF 即可。 图3-2 D A B E F C 图3-3 D B E F N A C M 图3-4 n E B A D C M F _ -可编辑修改 - 三 由线段和差想到的辅助线 线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、

16、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 例 1如图， AC 平分 BAD，CEAB，且 B+D=180，求证： AE=A D+BE 。 例 3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分A BC。

17、 求证： BC=AB+DC 。 D A E C B D C B A _ -可编辑修改 - 例 4 如图，已知 RtABC 中， ACB=90，AD 是CAB 的平分线， DM AB 于 M，且 AM=MB 。求证： CD= 2 1 DB。 1如图， ABCD，AE、DE 分别平分 BAD 各ADE ，求证： AD=AB+ CD。 2.如图， ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B， C 在 AE 的异侧， BDAE 于 D，CEAE 于 E。求证： BD=DE+CE M B D C A E D C B A _ -可编辑修改 - 四 由中点想到的辅助线 三角形中

18、两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 （一）、由中点应想到利用三角形的中位线 例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD ，E、F 分别是 BC、AD 的中点， BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证： BGE= CHE。 证明：连结 BD，并取 BD 的中点为 M，连结 ME、MF， _ -可编辑修改 - ME 是 BCD 的中位线， MECD，MEF=CHE， MF 是 ABD 的中位线， MFAB， MFE= BGE， AB=CD ，ME=MF ， MEF=MFE， 从而 BGE=CHE。 （二）、由中线应想到延长中线 例 3图 4，已知 A

19、BC 中，AB=5，AC=3，连 BC 上的中线 AD=2，求 BC 的长。 解：延长 AD 到 E，使 DE=AD ，则 AE=2AD=2 2=4。 在 ACD 和 EBD 中， AD=ED ，ADC= EDB，CD=BD ， ACDEBD，AC=BE， 从而 BE=AC=3 。 在 ABE 中，因 AE 2+BE2=42+32=25=AB2，故 E=90， BD=，故 BC=2BD=2。 _ -可编辑修改 - 例 4如图 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线， AD 又是 BC 边上 的中线。求证： ABC 是等腰三角形。 证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD 。 仿例 3

20、可证： BEDCAD， 故 EB=AC，E=2， 又1=2， 1=E， AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。 （三）、直角三角形斜边中线的性质 例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC ，ACBC，ADBD，求证： AC=BD 。 证明：取 AB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE 分别为 RtABD，Rt ABC 斜边 AB 上的中线， 故 DE=CE=AB，因此 CDE =DCE。 AB/DC ， CDE=1，DCE=2， 1=2， 在 ADE 和 BCE 中， DE=CE ，1=2，AE=BE ， _ -可编辑修改 - ADEBCE，AD=BC ，

21、从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此AC=B D。 （四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 例 6如图 7，ABC 是等腰直角三角形， BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证： BD=2CE。 证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中， 1=2，BE=BE，BEF=BEC=90， BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。 又1+F=3+F=90，故 1=3。 在 ABD 和 ACF 中， 1=3，AB=AC，BAD= CAF=90， ABDACF，BD=CF，BD=2CE。 注：此例中

22、BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线。 （五）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。 题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段 ，再将端点连结， 便可 得到全等三角形。 1 如图， AB=CD ，E 为 BC 的中点， BAC=BCA，求证： AD=2AE 。 B E C D A _ -可编辑修改 - D C B A 3 如图，AB=AC，AD=AE ，M 为 BE 中点， BAC=DAE=90 。求证： AMDC。 5已知：如图 AD 为ABC 的中线， AE=EF ，求证： BF=AC 五 全等三角形辅助线 （一）、倍长中线（线段）造全等 1： （ “希望杯”试题）已

23、知，如图ABC 中， AB=5 ，AC=3 ，则中线 AD 的取值范围是_ _. D M C D E D A B D A B D C E F _ -可编辑修改 - E D F C B A 2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比 较 BE+CF 与 EF 的大小 . 3：如图，ABC 中，BD=DC=AC ，E 是 DC 的中点，求证： AD 平分BA E. EDCB A 中考应用 例题：以ABC的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 Rt ACE， 90 ,BADCAE连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与 DE

24、 的位置关系及数量关系 （1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是 ， 线段 AM 与 DE 的数量关系是； （2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(090)后，如 图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 _ -可编辑修改 - E D C B A （二）、截长补短 1.如图， ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD ，求证： CDA C 2：如图， ACBD，EA,EB 分别平分 CAB,DBA，CD 过点 E，求证 ;AB AC+BD C D B A _ -可编辑修改 - D C B A P Q C B A

25、 O E D CB A 3：如图，已知在 ABC内， 0 60BAC ， 0 40C ，P，Q 分别在 BC，C A 上，并且 AP，BQ 分别是 BAC，ABC 的角平分线。求证： B Q+AQ=AB+BP 4： 如图，在四边形 ABCD 中， BCBA,AD CD， BD 平分 ABC， 求 证： 0 180CA 5 （三）、借助角平分线造全等 1：如图，已知在ABC 中， B=60， ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O，求证： OE=OD _ -可编辑修改 - 2： （06郑州市中考题）如图， ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F

26、. （1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB= a ， AC= b，求 AE、BE 的长. 3.如图， OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线 为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA 的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间 的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变， 请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由。 E D G

27、 F C B A (第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 _ -可编辑修改 - N M E F A C B A F E D CB A （四）、旋转 1：正方形ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF 的度数 . 2：D 为等腰 Rt ABC斜边 AB 的中点， DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于 点 E,F。 （1）当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF 。 （2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 3.如图， ABC 是边长为3 的等边三角形， BDC

28、是等腰三角形，且 0 120BDC ，以 D 为顶点做一个 0 60 角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN ，则 AMN 的周长为； B C D N M A _ -可编辑修改 - 4已知四边形 ABCD中，AB AD，BC CD，ABBC，120ABC ， 60MBN ， MBN 绕B点旋转，它的两边分别交 ADDC， （或它们的延长 线）于 EF， 当 MBN 绕B点旋转到 AECF 时（如图 1） ，易证 AECFEF 当 MBN 绕B点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结 论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AECF， ，

29、EF又有怎样的 数量关系？请写出你的猜想，不需证明 5.已知:PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形ABCD,使 P、D 两点落在直线 A B 的两侧 . (1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长; (2)当APB 变化,且其它条件不变时 ,求 PD 的最大值 ,及相应 APB 的大小 . （图 1） A B C D E F M N （图 2） A B C D E F M N （图 3） A B C D E F M N _ -可编辑修改 - 6.在等边 ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N， D 为 ABC外 一点，且 60MDN , 120BDC ,

30、BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、 AC 上移动时，BM、 NC、 MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC的 周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN时，BM、NC、MN 之间的数量关系是； 此时 L Q ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的 两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III ） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN= x，则 Q= （用 x 、L 表示） _ -可编辑修改 - 梯形中的辅

31、助线 1、平移一腰： 例 1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，A90，ABDC，AD15，A B16，BC17. 求 CD 的长. 解：过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E. 又 ABCD，所以四边形 BCDE 是平行四边形 . 所以 DEBC17，CDBE. 在 RtDAE 中，由勾股定理，得 AE 2DE2AD2，即 AE217215264. 所以 AE8. 所以 BEABAE1688. 即 CD8. 例 2 如图，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4 ，求另一腰 B C 的取值范围。 解：过点 B 作 BM/AD交 CD 于点 M， 在BCM 中，BM

32、=AD=4 ， CM=CDDM=CD AB=83=5， 所以 BC 的取值范围是： 54BC54，即 1BC9。 AB C D AB CD E _ -可编辑修改 - 2、平移两腰： 例 3如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC ，BC=90，AD=1，BC=3， E、F 分别是 AD 、BC 的中点，连接 EF，求 EF 的长。 解：过点 E 分别作 AB、CD 的平行线，交 BC 于点 G、H，可得 EGHEHG= BC=90 则EGH 是直角三角形 因为 E、F 分别是 AD、BC 的中点，容易证得F 是 GH 的中点 所以)( 2 1 2 1 CHBGBCGHEF 1)13( 2 1 )

33、( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ADBC DEAEBCDEAEBC 3、平移对角线： 例 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC ，AD=1，BC=4，BD=3 ，AC=4，求 梯形 ABCD 的面积 解：如图，作 DEAC，交 BC 的延长线于 E 点 ADBC 四边形 ACED 是平行四边形 BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 在 DBE 中， BD=3，DE=4 ，BE=5 BDE=90 作 DH BC 于 H，则 5 12 BE EDBD DH 6 2 5 12 5 2 DHBC)(AD ABCD梯形 S A B D C E H _ -可编辑修改 - 例

34、 5如图，在等腰梯形ABCD 中，AD/BC ，AD=3 ，BC=7，BD= 25 ，求 证：ACBD。 解：过点 C 作 BD 的平行线交 AD 的延长线于点 E， 易得四边形 BCED 是平行四边形， 则 DE=BC，CE=BD= 25 ， 所以 AE=AD DE=AD BC=37=10。 在等腰梯形 ABCD 中，AC=BD= 25 ， 所以在 ACE 中， 22222 100)25()25(AECEAC ， 从而 ACCE，于是 ACBD。 例 6 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12 cm，求梯形 ABCD 的面积。 解：过点 D

35、作 DE/AC ，交 BC 的延长线于点 E， 则四边形 ACED 是平行四边形， 即 DCEACDABD SSS 。 所以 DBEABCD SS梯形 由勾股定理得 2222 DHACDHDEEH 91215 22 （cm） 161220 2222 DHBDBH （cm） _ -可编辑修改 - 所以 )(15012)169( 2 1 2 1 2 cmDHBES DBE ，即梯形 ABCD 的面积 是 150cm 2。 （二）、延长 即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。 例 7 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC ，B=50， C=80，AD=2 ，B C=5，求 CD 的长。 解：

36、延长 BA、CD 交于点 E。 在BCE 中，B=50， C=80。 所以 E=50，从而 BC=EC=5 同理可得 AD=ED=2 所以 CD=ECED=52=3 例 8. 如图所示，四边形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论 . 解：四边形 ABCD 是等腰梯形 . 证明：延长 AD、BC 相交于点 E，如图所示 . ACBD，ADBC，ABBA， DABCBA. DABCBA. EAEB. 又 ADBC，DECE，EDCECD. 而EEABEBA EEDCECD18 AB CD AB CD E _ -可编辑修改 - 0，

37、 EDCEAB，DCAB. 又 AD 不平行于 BC， 四边形 ABCD 是等腰梯形 . （三）、作对角线 即通过作对角线，使梯形转化为三角形。 例 9 如图 6，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC ，ABAD，BC=CD，BEC D 于点 E，求证： AD=DE 。 解：连结 BD， 由 AD/BC ，得 ADB= DBE； 由 BC=CD，得 DBC=BDC。 所以 ADB= BDE。 又BAD= DEB=90，BD=BD ， 所以 RtBADRtBED， 得 AD=DE 。 （四）、作梯形的高 1、作一条高 例 10如图，在直角梯形ABCD 中，AB/DC ，ABC=90，AB=2DC，对 角线 ACBD，垂足为 F，过点 F 作 EF/AB ，交 AD 于点 E，求证：四边形A BFE 是等腰梯形。 _ -可编辑修改 - 证：过点 D 作 DG AB 于点 G， 则易知四边形 DGBC 是矩形，所以 DC=BG 。 因为 AB=2DC，所以 AG=GB 。 从而 DA=DB ，于是 DAB= DBA。