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1、知识与数学知识一、什么是知识知识到底是什么，目前仍然有争议。我国对知识的定义一般是从哲学角度作出的，如在中国大百科全书教育中“知识”条目是这样表述的：“所谓知识，就它反映的内容而言，是客观事物的属性与联系的反映，是客观世界在人脑中的主观映象。就它的反映活动形式而言，有时表现为主体对事物的感性知觉或表象，属于感性知识，有时表现为关于事物的概念或规律，属于理性知识。”从这一定义中我们可以看出，知识是主客体相互统一的产物。它来源于外部世界，所以知识是客观的；但是知识本身并不是客观现实，而是事物的特征与联系在人脑中的反映，是客观事物的一种主观表征，知识是在主客体相互作用的基础上，通过人脑的反映活动而产
2、生的。上述定义为我们讨论知识的内涵提供了哲学基础。但宏观的哲学反映论的认识还需要从个体认知角度进行具体化，这样才能有效地用以指导学校的具体教学。与哲学不同，认知心理学是从知识的来源、个体知识的产生过程及表征形式等角度对知识进行研究的。例如，皮亚杰认为，经验（即知识）来源于个体与环境的交互作用，这种经验可分为两类：一类是物理经验，它来自外部世界，是个体作用于客体而获得的关于客观事物及其联系认识；另一类是逻辑数学经验，它来自主体的动作，是个体理解动作与动作之间相互协调的结果。如儿童通过摆弄物体，获得关于数量守恒的经验，学生通过数学推理获得关于数学原理的认识。皮亚杰对知识的定义是从个体知识的产生过程
3、来表述的。布卢姆在教育目标分类学中认为知识是“对具体事物和普遍原理的回忆，对方法和过程的回忆，或者对一种模式、结构或框架的回忆”，这是从知识所包含的内容的角度说的，属于一种现象描述。我们认为，在理解知识的含义时，有必要把作为人类社会共同财富的知识与作为个体头脑中的知识区分开来。人类社会的知识是客观存在的，但个体头脑中的知识并不是客观现实本身，而是个体的一种主观表征，即人脑中的知识结构，它既包括感觉、知觉、表象等，又包括概念、命题、图式，它们分别标志着个体对客观事物反应的不同广度和深度，这是通过个体的认知活动而形成的。一般来说，个体的知识以从具体到抽象的层次网络结构（认知结构）的形式存储于大脑之
4、中。哲学主要对人类社会共同知识的性质进行研究，心理学则主要对个体知识的性质进行研究。二、知识的分类现代认知心理学家普遍认为知识有两大类，一类为陈述性知识，另一类是程序性知识。1陈述性知识。陈述性知识是一种个体具有明确的提取线索，因而能够直接陈述的知识，通常包括有关某一具体事件、事实、经验性的概括的断言以及反应真理本质的较深刻的原理等，主要用以说明事物是什么、为什么、怎么样，从而区别和辨别事物。陈述性知识是描述性的，其认知单位是命题。2程序性知识。程序性知识是一种个体没有明确的提取线索，因而其存在只能借助某种活动形式间接推测出来的知识，通常包括启发式、各种方法、策划、实践、程序、常规、方略、策略
5、、技术和窍门等，用以说明做什么和怎么做。程序性知识主要是说明性的，其基本的认知单位通常采用具有一般形式的规则：目标，情景行动。陈述性知识是一般性的，但难于应用；程序性知识易于应用但是受到特定情景的制约；陈述性知识涉及一个人的环境，程序性知识涉及一个人的目标和行动；陈述性知识的总量有时可称为知识结构，程序性知识的总量则可称为“启发式结构”。人的任何智力行为都同时需要这两种类型的知识。例如，“等腰三角形两底角的平分线相等”是一个命题，属于陈述性知识；而“要证线段AB和CD相等（目标），如果它们是同一三角形的两个内角的平分线（情景），则只要证这两个角是等腰三角形的底角（行动）”是一个启发式，属于程序
6、性知识。前者是关于等腰三角形图形特征的客观描述，不涉及目标以及由它所指示的行动；后者是推荐在特定情境中可采取的行动，该行动由要达到的目标及所面对的情景所决定。命题有真假之分，命题的真实性是其价值所在；启发式的价值则在于能使问题得到有效的解决，启发式源于原理但不等同于原理。显然，陈述性知识的获得主要靠理解和记忆；而程序性知识的获得主要靠实践活动、实际操作训练，必须通过学习者的亲身实践。现代认知心理学对知识的分类，使我们在知识的作用和检测方面加深了对知识的理解。从作用上考察，陈述性知识是用于回答事物“是什么”问题的知识，程序性知识则是用于回答“怎么做”问题的知识。从测量的角度来看，看一个人是否已经
7、掌握某一知识，不仅要看他“怎么说”，而且要看他“怎么做”，其中包括难以言传的知识。例如，要检测学生掌握几何知识的情况，既要看他是否理解几何的概念、命题（定理），又要看他是否能够熟练运用那些可以用于几何问题解决的启发式。进一步的，认知心理学家从两个维度对程序性知识作了分类：自动与受控、一般与特殊。如学生在解答数学问题时，审题、确定解题方案、调整解题过程等一般是受主体意识控制的，而已有知识的提取、组合等则是自动进行的，一般不需要有意识的注意。那些可以适用于不同领域的知识和策略，如分析法、归纳法、从一般到特殊、从特殊到一般等，是一般的程序性知识，而“待定系数法”、“配方法”、“数学归纳法”等则是仅适
8、用于特殊领域的程序性知识。当然，这种划分是相对的，实际上存在着许多“中间类型”的程序性知识。值得指出的是，现代认知心理学对知识的分类为我们理解数学知识的含义提供了依据，但我们不能把这种分类简单化。我国数学教学大纲中指出，“数学知识是指数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法”，按照认知心理学的分类，数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理是陈述性知识，数学思想和方法是程序性知识，但从教学大纲的陈述中可以看出，这两类知识组成了一个有机的统一体。所以，在数学知识的教与学中，既不能（实际上也不可能）离开程序性知识（数学思想方法）而只学习陈述性知识（数学的概念、性质
9、、法则、公式、公理、定理），也不能脱离陈述性知识而单独学习程序性知识。另外，从应用的角度来说，数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理等是独立于特定的目标和情景的，它们可用于任何情景，只要它们在其中有用。这种一般性的代价就是在具体应用数学概念、公式、定理等时必须获得这一知识的隐含意义，也即必须获得相应的数学思想方法。认知心理学认为，同一抽象原理可以用于不同情景，但是从原理获得规则必须从特定目标和特定情景出发，规则的获得必须通过复杂的推理过程。因此，数学思想方法的获得并不是自动的。个体理解了抽象的数学概念并不等于他一定能用概念去解决具体问题，而必须通过复杂的操作训练，将数学概念与该概念的应用条件
10、联结起来，从而转化为适用于特定情景的规则，形成易于应用的“产生式”，这样才能使个体面临具体问题时，通过比较问题情境与概念的应用条件，而找出与问题情境最接近的规则，并通过执行相应的“产生式”而解决问题。皮亚杰认为知识的获得是通过行为的逐级内化获得的。布鲁纳认为知识的获得首先是以程序的形式出现的，然后通过一种中介图标（视觉）的形式，最后知识才具有符号（陈述性）形式。这些都是程序性知识向陈述性知识的转化。让学生有机会参与问题的解决将有助于学生将理论（陈述性知识）转化为问题解决的程序（程序性知识）。与知识概念紧密相连的是技能概念。“技能指能按某种规则或操作程序顺利完成某种智慧任务或身体协调任务的能力，
11、是在练习的基础上形成的。”技能的本质是一套操作程序控制了人的行为（包括外显的身体动作和内在的思维动作）。程序性知识主要是从个体会做什么中推测出来的，所以程序性知识从本质上来说也是一套操作规则或程序控制和支配了人的行为。所以，现代认知心理学的程序性知识实际上包含了技能概念。另外，“认知策略”实质是一套关于如何学习、记忆和思维的规则或程序，也属于程序性知识的范畴。值得指出的是，上述知识观是广义性的，它包含了我们平时所指的技能、认知策略等，甚至还包括了元认知知识。三、知识与智力的关系在对知识的内涵作心理学解释后，我们再来看智力。知识与智力的关系是教育界长期争论的焦点。当前的研究中，给人的感觉是智力（
12、能力）比知识更加重要。人们往往把智力看成是解决实际问题特别是创造性地解决问题的能力。通常人们认为掌握知识不等于形成了能力，特别是不等于具有了解决实际问题的能力。于是有“在掌握知识的基础上发展智力、培养能力”的观点。那么，为什么会在掌握知识与发展能力之间出现不一致呢？人们认为这主要是因为客观的知识的掌握并不能自动地转化为主观的智力发展。因此教育要达到实质（掌握教材内容）与形式（发展智力）两个目的，而且要做到实质教育和形式教育的统一。我国的教育理论中长期坚持这一观点。但是，这种观点没有得到心理学实证研究的支持，而且由这种观点指导的教学实践也存在难以解决的矛盾。为此，有人（皮连生，2018）提出“智
13、力的知识观”，在区分智力的遗传成分和后天习得成分的基础上，把后天习得的一切智慧成就都看成是学习的结果,因此，我们平时所说的“掌握知识、形成技能和发展智力”中的“智力”一词，实质上指的是后天习得的智慧能力。这样，原则上讲，后天习得的智力应该用广义的知识来解释。从这个意义上说，掌握了广义的知识，就是发展了智力。当然，不同性质的知识对学生完成智慧任务的作用是不同的，例如，一般原理和概念（如加法交换律、分配律、数的分解和组合、勾股定理、均值不等式等），比一些具体事实性知识更有活力，在同化新知识的过程中发挥的作用更大。策略性知识有助于学生学会学习、记忆和思维，这是发展人的智力的核心成分。如果按照这种观点
14、看待知识和智力，那么研究如何发展智力的问题就变成了研究如何有效地掌握不同类型知识的问题了。如果我们相信学生习得的智力是由他习得的知识的数量和质量决定的，那么教师就必须认真研究不同类型的知识在学生的智力行为中起什么不同作用；为了培养学生的智力，如何对不同类型的知识进行适当的组合；不同类型的知识学习过程和条件有什么不同；它们的测量和评价标准有什么差异；当发现学生缺乏某种能力时，就应当从学生所掌握的知识中寻找原因。这样，我们就可以使得发展学生的智力落实在日常教学过程中了。四、对数学知识的若干认识根据上面对知识的解释，我们可以认为，数学知识就是客观事物在数与形方面的特征与联系在人脑中的能动反映。具体地
15、说：1数学知识是个体通过与客观事物在数与形方面的特征和联系的相互作用后获得的信息及组织。这些信息及组织被储存于个体的大脑（长时记忆）里，就是个体的数学知识；通过书籍或其它媒介来储存，就是人类的数学知识。这里，我们强调数学知识的获得过程是主客体之间的相互作用过程，而就知识的范围来说，从获得具体信息到个体数学认知结构的根本改变，都属于数学知识的范畴。2数学知识不仅表现为数学概念、定理、法则、公式等“陈述性知识”，而且还表现为数学思想方法等“程序性知识”。数学知识不仅包括它的储存和提取，而且包括它的应用，我们平时所说的“不但要知道是什么，而且要知道为什么，还要知道怎么用”就是这个意思。现行数学教学大
16、纲明确地将数学思想和方法纳入数学基础知识范畴，反映了现代认知心理学的研究成果，具有先进性。3作为人脑对客观事物在数和形方面特征的能动反映，需要个体对反映过程进行主动的调控，而调控的前提是个体具有相应的技能，因此，主体有关对自己的数学学习过程的知识，也就应该成为数学知识的一个有机的组成部分。实际上，这部分知识就是心理学家所说的“元认知知识”。数学知识可以有不同的分类方法。例如：1按照研究内容的特点，可将数学知识分为：代数、几何、分析（微积分）、概率统计；教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼
17、儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。2按照表征形式，可将数学知识分为：概念、性质、法则、公式、公理、定理等“陈述性知识”；按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、推理、作图、绘制图表等技能；数学思想和方法等“策略性知识”。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主
18、要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分
19、钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。关于数学知识的分类，我们认为其意义在于帮助人们更加深入地认识清楚数学知识的本质，从而建立起掌握知识的标准，并以此为依据而提出数学学习的策略。值得指出的是，我们所认同的数学知识观是广义性的，这里既包括数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学知识系统的“硬件”，又包括运算、处理数据、推理、作图、制表等技能，即操作手段，并且还包括数学思想方法这样的数学知识系统的“软件”。只有建立起这种将知识、技能和策略融为一体的广义数学知识观，才能在数学教学过程中，对学生提出全面的数学学习要求。主要第 10 页