2001年北京市中学生数学竞赛.pdf

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1、1 2001 年北京市中学生数学竞赛 初中二年级初赛试题 （2001 年 4 月 1 日 8：3010：30） 亲爱的中学生朋友： 欢迎你参加本次竞赛活动！ 中国的未来需要众多的人才，人才市场培养需要从青少年时代奠基打好数学基础有助于从事各 行业的发展北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课 余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平“解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研 精神” ，祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔 一、选择题（满分36 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入卷首指定的地 方，答对得6 分，答错或不答均

2、记0 分） 1已知是等边三角形的一个内角，是顶角为 30 的等腰三角形的一个度角，是等腰直角三 角形的一个底角则（） ABCD 2 4 2的平方根是（） A4B4C2 D2 3下面有四个命题： 两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； 两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； 两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； 两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等 其中真命题是（） A、B、C、D、 4若p是两位的正整数则（） A 2 20012969xpxxx B 2 20012387xpxxx C 2 20012387xpxxx D 2 200129

3、69xpxxx 5下面列举的平行四边形的判定条件中，不正确的一个是（） A两组对边分别相等 B两组对角分别相等 C一组对边平行，一组对角相等 D一组对边平行，另一组对边相等 6 在1500 年 以 前 ， 我 国 古 代 伟 大 数 学 家 祖 冲 之 计 算 出 圆 周 率的 七 位 小 数 值 是 3.1415926 3.1415927 并取 355 113 为密率、 22 7 为约率 则、 355 113 、 22 7 之间的正确关系是（） A 22355 7113 B 35522 1137 2 C 35522 1137 D 22355 7113 二、填空题（满分65 分，每小题8 分，

4、请将答案填在指定的地方） 1p是负整数，且2001p 是一个完全平方数求p的最大值 2如右图，ABCD 是正方形，CDE 是正三角形确定AEB的度数 E D C B A 3若a、 b 都是正整数，且1435002001ab求 ab 的值 4若有理数x，y， z 满足 1 12 2 xyzxyz 确定 3 xyz的值 5如右图，将边长为12 厘米的正方形ABCD 折叠，使得A点落在边 CD 上的E点，然后压平得 折痕 FG 若 FG 的长为 13 厘米求线段CE 的长 G F E D C B A 6化简： 32 252 672 1292 20112 30132 42152 5617272? 7将

5、 12001 这二千零一个自然数依次写成一行，组成一个新的自然数求这新的自然数除以9 所得的余数 8已知实数x，y满足方程组 22 23 2 6 xxyy xy ，求1xy 初中二年级复赛试题 （2001 年 4 月 15 日 8：3010：30） 一、填空题（满分40 分，每小题8 分） 1已知有理数x满足方程 11 2001 2001 1 x x ，则 3 4 2001 29 x x 3 2如图， 正方形 ABCD 的面积是64 平方厘米， 正方形 CEFG 的面积是36 平方厘米DF与 BG 相 交于 O 则DBO的面积等于平方厘米 O G F E D C B A 3已知 22 6aba

6、b且0ab则 ab ab 4化简下面的表达式 4 3 3 3 3 13117160 6 13117160 aa aa 所得的结果等于 5在边长为1 厘米的正ABC中， 0 P 为 BC 边上一点 作 01 PPCA 于点 1 P ，作 12 PPAB于点 2 P ， 作 23 P PBC 于点 3 P 如果点 3 P 恰与点 0 P 重合，则 123 p p p的面积是平方厘米 二、 （满分 15 分） 证明恒等式： 2 4 4422 2ababaabb 三、 （满分 15 分） 在六张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面 也随意分别写上16 这六

7、个整数然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个 数请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的 四、 （满分 15 分） 如 图 ， 在 等 腰 中ABC中 ， 延 长 边AB到 点D， 延 长 边 CA 到 点E， 联 结DE， 恰 有 ADBCCEDE 求证：100BAC E D C B A 五、 （满分 15 分） 1 与 0 交替，组成下面形式的一串数 101、10101、1010101、101010101，, 请你回答，在这串数中有多少个是质数？并请证明你的论断 4 2001 年北京市中学生数学竞赛 初中二年级初赛试题答案 （2001 年 4 月 1 日 8：3010：

8、30） 一、选择题（满分36 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入卷首指定的地 方，答对得6 分，答错或不答均记0 分） 1 B 因为是等边三角形的一个内角，所以60 是顶角为 30 的等腰三角形的一个底角， 所以75 是等腰直角三角形的一个底角， 所以45 而 456075 ，即选 B 2 B 4 216 ，16 的平方根为4选 B 3A 如果已知角不是三角形两边夹角时，这两个三角形未必全等 C1 B1 A1 C B A 如ABC与 111 A BC中， 11 ABAB ， 11 ACAC ， 111 ABCA BC ，但ABC并不全等于 111 A BC 即是假命题

9、由两个三角形全等的判定条件知，与都是真命题 如果ABC中， 11 BCBC，此时ABC与 11 ABC中三个内角分别对应相等但ABC与 11 ABC不全等即是假命题所以选A B1C1 CB A 4D 采取验算法： 2 2969982001xxxx，其中98p，排除 A 2 23871102001xxxx，其中110p，排除 B 2 23871102001xxxx，其中110p，不是两位正整数排除C 2 2969982001xxxx，其中98p，是两位正整数所以选D 5D 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，反之亦真排除A 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，反之亦真排除B 5 一组对边平行

10、、一组对角相等的四边形是平行四边形，反之亦真排除C 而一组对边平行另一组对边相等的四边形，可以是等腰梯形，所以不正确的命题是D 6 C 由计算知 22 3.142857143 7 ， 355 3.14159292 113 所以 35522 1137 ，选 C 二、填空题（满分64 分，每小题8 分，请将答案填在指定的地方） 165 由 2 441936 ，当p为负整数时，20012001p又要是一个完全平方数 2 441936200165 ，65p， 2 4318492001152 ，152p， , 可见，负整数p的最大值是65 2 30 由 ABCD 是正方形，90ADC 又CDE是正三角形

11、，60CDEDEC 所以9060150ADE 又ADE中 ADDCDE ， 所以 11 18018015015 22 DEADAEADE 同法可求得15CEB 所以60151530AEBDECDEACEB 3 9 无论 b 为任何正整数，500b 的个位数字是0，于是 143a 的个位数字是1，可知a的个位数字是7 显然a为 17，27，37，, 等个位是7 的数时，等式1435002001ab不成立，所以7a，进而求 得2b，所以9ab 4125 由 1 12 2 xyzxyz ，得 22122xyzxyz 于是221220xyzxyz 2121122210xxyzyzz 即 222 111

12、210xyz 所以11xx，112yy，213zz 于是 333 1235125xyz 5 7 过F作 FHBC 于H即HFAD，又 FGAE ， 所以GFHDAE （如图） 在 RtGHF与 RtEDA中，GFHDAE ，FHAD， 所以 RtRtGHFEDA 13AEFG（厘米），又12AD（厘米） 在 RtEDA中，应用勾股定理，得 2222 13125DEAEAD（厘米） 所以1257CECDDE（厘米） 6 2 H A B C D E F G 6 由2121121nn nnnnn 2 11nnn n 所以原式 2222 21324354 2222 65768798 213243546

13、5 768798 91312 7 6 令1234567891019971998199920002001a，a被 99 除的余数等于 a的数字和被 9 除的余数而 1199721996319959981000999999，所以1 1998 这 1998 个数的数字和被9 整 除又知 19992000200133被 9 除余数是6，所以a被 9 除的余数是6 8 32 由 22 23 2 6 xxyy xy 变形为 2 23 2 (1) 26(2) xyxy xyxy (1)2(2) 得 2 2106 2xyxy 2 21106 21xyxy 22 2 2 1116 2323 2232xy 所以

14、132xy 初中二年级复赛试题答案 （2001 年 4 月 15 日 8：3010：30） 一、填空题（满分40 分，每小题8 分） 169 由方程 11 2001 2001 1 x x 两边比较可知，0 1 x x ，但10x， 故只能0x 所以 0 3 4 20012001 69 2929 x x x 2 8 24 37 连接BF， CF ，易知 DBFC 为梯形 8 8 32 2 DBFDBCSS A B C D E F G O 7 66 18 2 BFG S 868 56 2 DBG S 设 BOD Sx ，则32 BOF Sx 易知: BODDBGBOFBFG SSSS 即:5632

15、:18xx 18563256xx ，所以 741792x， 解得 17928968 24 743737 x（平方厘米） 32 由 2 22 68abababab ，其中0ab， 同理可得 2 4abab，其中0ab 所以 2 2 2 8 2 4 ababab abab ab 由于0 ab ab ，所以2 ab ab 4 625 先比较a与 33 13117160a的大小 由于 3333 1311716013117161313131aaaa ， 所以 33 13117160aa，因此， 33 131171600aa 4 33 4 4 33 13117160 6615625 13117160 aa

16、 aa 5 3 12 设 0 BPx ，则 0 1PC x ， 1 1 2 x CP， 1 1211 1 222 xxx AP； 2 1 4 x AP， 2 13 1 44 xx BP； 3 3 8 x BP 当 30 PP ，则 30 BPBP 列得方程 31 83 x xx 因此 1 P ， 2 P ， 3 P 依次为 BC 、 CA 、AB的一个三等分点即312 1 3 BPCPAP 3 4 ABCS ， 3 13 312 ABPABCSS ， 3 23 2233 331218 BP PABPSS ， 1 232 3 333 33 41812 P P PABCBP P SSS 二、 （满

17、分 15 分） 证明：因为 2 4 4422 2ababaabb 222 22222222 222aba baabbaabb 2222 2222222222 22abaabbaabbaabba b P3 P2 P1 P0 C B A 8 222222 222322abababaabbaba b 2222 2223220abababaabbab 所以 2 4 4422 2ababaabb 三、 （满分 15 分） 证明：设6 张卡片正面写的数是 1 a ， 2a ，3a ，4a ，5a ，6a ， 反面写的数对应为 1 b ， 2 b ， 3 b ， 4 b ， 5 b ， 6 b （ i a

18、， i b 分别取值为1，2，3，4，5，6123456i， ， ， ， ， ） 则这 6 张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为 11ab ，22ab ，33ab ，44ab ，55ab ，66ab 设这 6 个数两两都不相等，则它们只能取0， 1，2，3，4，5 这 6 个值 于是 112233445566 01234515abababababab是个奇数（ *） 另一方面， ii ab 与123456 ii abi， ， ， ， ，的奇偶性相同， 所以 112233445566 abababababab与 112233445566 abababababab 123456123456a

19、aaaaabbbbbb 1234561234560的奇偶性相同，是个偶数，与（*）矛盾！ 所以 11 ab ， 22 ab， 33 ab ， 44 ab ， 55 ab ， 66 ab 这 6 个数中至少有两个是相同的 四、 （满分 15 分） 证明：由图及已知条件，ADE中，ADED，ADE为 等腰三角形，其底角 EAD必为锐角，所以等腰三角形 ABC 中， BAC 为钝角，必是顶角所以AB， AC 是腰，有 ABAC 过 C 作AD的平行线，与过D所作 BC 的平行线交于点F， 连接EF， 易知 BCFD 为平行四边形 因此， DBCF ，BCDF ， EADECF 在ADE与CEF中 A

20、DCE ， AEDBCF ，EADECF 则ADECEF，所以，EDEF 但 EDBCDF ，DEF是个等边三角形 60EDF 设BAC，则 180 2 ADFABC - ，180DAE， 18021802 1802180ADEDAE 由60ADFADEEDF 得 180 218060 2 ， 解得100 ，即100BAC 五、 （满分 15 分） 证明：很明显，101 是个质数 下面证明， 1 101010013 k Nk 个 都是合数（中间有1k个 0） 2111 1111 10101011111111111101 k kkk N 个个个 （1）当 k 为不小于3 的奇数时，根据被11 整

21、除的判别法可知 11 不整除 1 1111 k个 ，所以 11|101 k 即 1 101 1 11 k M F A B C D E 9 所以， 1 11 101 11111111 11 k kk NM 个个 ， N 是个合数 （2）当 k 为不小于3 的偶数时，易知 1 111111 k个 ，即 1 2 1111 1 11 k M 个 所以 1 2 1111 101101 11 k kk NM 个 ， N 是个合数 综合（ 1） 、 （2）可得，当3k时， 1 1010101 K N 个 必为合数 所以，在101， 10101，1010101，101010101，, 中，只有101 一个数是质数