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1、解析几何最值范围问题专题训练 1直线l过点 P（2， 3）且与两坐标轴正半轴分别交于A、B 两点。 （1）若OAB的面积最小，则直线l的方程为。 （2）若 |OA|+|OB| 最小，则直线l的方程为。 （3）若 |PA|PB|最小，则直线l的方程为。 2已知定点P（3，2） ，M、N 分别是直线y=x+1 和 x 轴上的动点，则PMN 周长的最小值 为。 3已知点P 是直线3x+4y+8=0 上的动点， PA、PB 是圆0122 22 yxyx的两条切 线， A、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为。 4. 已知 P为抛物线xy8 2 上一点及点A（3,1） ， F为焦点，则 |PA|
2、+|PF|的最小值为。 5. 已知 P为抛物线xy8 2 上一点及点A（2,6） ，P点到 y 轴的距离为d，则 |PA|+d 的最小值 为。 6已知 P 为椭圆1 59 22 yx 上一点和定点A（1,1） ，F 为椭圆的右焦点，则|PA|+|PF|的最大 值为，最小值为。 7已知 P 为双曲线1 79 22 yx 右支上一点和定点A（1,1） ， F 为双曲线的左焦点，则|PA|+|PF| 的最小值为。 8.已知直线 1 l：063-4yx和直线1-: 2 xl， 抛物线xy8 2 上动点 P 到直线 1 l和直线 2 l 距离之和的最小值是。 9 P 是 双 曲 线1 169 22 yx
3、 的 右 支 上 一 点 ， M 、 N分 别 是 圆4)5( 22 yx和 1)5( 22 yx上的点，则 |PM|PN|的最大值为。 10.若点 P 为椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点， F1、 F2为左右两个焦点，则 （1）| 21 PFPF的最大值为，最小值为。 （2） 21 PFPF的最大值为，最小值为。 11已知点P 在抛物线xy8 2 上， A 在圆1y3-x 22 ）（上，则 |PA|的最小值是。 12已知椭圆1 936 22 yx 上两个动点P、Q 和定点 E（3，0） ，EQEP，则PQEP的最 大值为。 13椭圆 22 :1 43 xy C的左、
4、右顶点分别为 12 ,A A, 点P在C上且直线 2 PA的斜率的取值范 围是2, 1, 那么直线 1 PA斜率的取值范围是。 14过原点 O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P： 2 2 1 2 x y交于 A、C 与 B、D，则四 边形 ABCD 面积最小值为。 15.已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 ， 定点 A) 2 3 ,0(与椭圆上各点距离的 最大值为7，求椭圆方程。 16已知点 A（0， -2） ，椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆的焦点， 直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点 . （）
5、求E的方程； （）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程 . 17平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)右焦点的直线xy30 交 M 于 A，B 两点， P 为 AB 的中点，且OP 的斜率为 1 2. (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形ACBD 的对角线 CDAB，求四边形ACBD 面积的最大值 18已知椭圆方程为 y 2 2 x21，斜率为 k(k0)的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M(0，m) (1)求 m 的取值范围； (2
6、)求 MPQ 面积的最大值 解析几何中的定点定值问题专题训练 1对于任意实数m，直线04)2(mymmx恒过定点。 2已知椭圆1 2 2 2 y x ，定点) 3 1 ,0(M，过 M点的直线l交椭圆于AB两点，是否存在 定点 T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由。 3已知椭圆1 2 2 2 y x 的右焦点F，过 F 点作直线l交椭圆于AB两点，是否存在x 轴上 的定点 Q，使得 16 7 BQAQ？若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由。 4已知椭圆1 48 22 yx 的两个焦点分别为F1、 F2，Q （1， 0） ， 椭圆上是否存在一点P，
7、使得以 Q为圆心的圆与直线PF1、 PF2都相切？若存在， 求出 P点坐标及圆Q的方程，若不存在， 说明理由。 5已知抛物线C：y 22px(p0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线 l 交 C 于另一点B，交 x 轴的正半轴于点D，且有 |FA|FD|.当点 A 的横坐标为3 时， ADF 为 正三角形 (1)求 C 的方程； (2)若直线 l1 l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标 6如图，已知抛物线C：y 24x，过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP，AQ.若 APAQ，证明：直 线 PQ 过定点，并求出定点的
8、坐标 7已知抛物线E：x 22py (p0)，直线 2kxy与 E 交于 A、B 两点， 2OBOA，其中 O为原点。 （1）求抛物线E的方程。 （2）点 C的坐标为)2,0(，直线 CA 、CB的斜率分别为k1、 k2， 求证： 22 2 2 1 2kkk为定值。 8已知椭圆C: 2 2 a x + 2 2 b y = 1(a b 0) 的离心率为 2 1 ，以原点为圆 心， 椭圆的短半轴 长为半径的圆与直线75120xy相切 . (1) 求椭圆C的方程； (2) 设 A( -4,0)，过点R （ 3,0) 作与X轴不重合的直线L 交椭圆C于 P，Q两点，连接AP， AQ分别交直线X = 3
9、 16 于 M ，N两点，若直线MR 、NR的斜率分别为k1，k2, 试问: k1k2是 否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 17(2014 浙江卷 )已知 ABP 的三个顶点都在抛物线C：x 24y 上，F 为抛物线 C 的焦点， 点 M 为 AB 的中点， PF 3FM . (1)若 |PF| 3，求点 M 的坐标； (2)求 ABP 面积的最大值 17 （）解：由题意知焦点(0,1)F，准线方程为1y 设 00 (,)P xy，由抛物线定义知 0 |1PFy，得到 0 2y，所以(2 2,2)P或( 2 2,2)P 由3,PFFM，分别得 2 2 2 (,) 33 M或 2
10、 22 (,) 33 M （）解：设直线AB的方程为ykxm，点 112200 (,),(,),(,)A xyB xyC xy 由 2 4 ykxm xy 得 2 440xkxm于是 2 1212 16160,4 ,4kmxxk x xm 所以AB中点M的坐标为 2 (2 ,2)kkm由3PFFM，得 2 00 (,1)3(2 ,21)xykkm 所以 0 2 0 6 463 xk ykm 由 2 00 4xy得 214 515 km由0,0k得 14 33 m又因为 22 | 4 1ABkkm 点(0,1)F到直线AB的距离为 2 |1| 1 m d k 所以 23216 48 |1|351
11、 15 ABPABF SSmkmmmm 记 3214 ()351() 33 f mmmmm令 2 ( )91010fmmm，解得 12 1 ,1 9 mm 可得()f m在 1 1 (,) 3 9 上是增函数，在 1 (,1) 9 上时减函数，在 4 (1, ) 3 上是增函数， 又 12564 ( )() 92433 ff所以，当 1 9 m时，()f m取到最大值 256 243 ，此时 55 15 k所以，ABP面积的最大值为 256 5 135 16解： （1）设 F(C,0) ，由条件知， 22 3 ,c3 3c 得 又 2223 ,a2,b1 2 c ac a 所以 故 E的方程为
12、 2 1 4 x y 故设 l:y=kx-2,P(x 1,x2) 将 y=kx-2 代入 2 4 x +y 2=1得 （1+4k 2）x2-16kx+12=0 当 2 16(43)k0，即 2 k 3 4 时， 1.2 x= 2 2 82 43 41 kk k 从而 |PQ|= 2 1k| 12 xx |= 22 2 41*43 41 kk k 又点 O到直线 PQ的距离 d= 2 2 1k 。所以OPQ的面积 2 2 14 43 .| 241 opq k sdPQ k 9 分 设 2 43kt ，则 t 0, 2 44 4 4 opq t s t t t 因为 t+ 4 t 4. 当且仅当
13、t=2, 即 k= 7 2 时等号成立，且满足0. 所以， OPQ 的面积最大时， l 的方程为 .12 分 18 解(1)设直线 l 的方程为y kx1， 由 ykx1， y 2 2 x 21， 可得 (k 22)x22kx10. 设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x2 2k k 2 2，x1x2 1 k 22. 可得 y1 y2k(x1 x2)2 4 k 22. 设线段 PQ 的中点为 N，则点 N 的坐标为 k k 22， 2 k 22 ， 由题意有kMN k 1，可得 m 2 k 22 k k 22 k 1， 可得 m 1 k 2 2，又 k0， 0m 1 2. (2
14、)设椭圆上焦点为F， 则 SMPQ 1 2 |FM | |x1x2|2m 1m 3， MPQ 的面积为2m 1m 3 0m 1 2 . 设 f(m) m(1m) 3， 则 f(m)(1m) 2(1 4m) 可知 f(m)在区间0， 1 4 上单调递增，在区间 1 4， 1 2 上单调递减 当m 1 4时， f(m)有最大值 f 1 4 27 256. 即当 m 1 4时，MPQ 的面积有最大值 3 6 16 . 19(1)设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 x 2 1 a 2 y 2 1 b 21， x 2 2 a 2 y 2 2 b 21， y2y1 x2x1 1
15、， 由此可得 b 2 x2x1 a 2 y2y1 y2 y1 x2 x1 1， x1x22x0，y1y22y0， y0 x0 1 2， a 22b2. 又由题意知，M 的右焦点为 (3，0)，故 a2b2 3. 因此 a26，b23. M 的方程为 x 2 6 y 2 3 1. (2)由 xy30， x 2 6 y 2 3 1， 解得 x 4 3 3 ， y 3 3 ， 或 x0， y3. 因此 |AB| 46 3 . 由题意可设直线CD 的方程为 yxn 53 3 n 3 ， 设 C(x3， y3)，D(x4，y4)， 由 yxn， x 2 6 y 2 3 1， 得 3x24nx 2n260. 于是 x3,4 2n 2 9n2 3 . 直线 CD 的斜率为 1， |CD|2|x4x3| 4 3 9 n 2. 四边形ACBD 的面积 S 1 2|CD| |AB| 8 6 9 9n 2. 当 n0 时， S取得最大值，最大值为 86 3 . 四边形ACBD 面积的最大值为 86 3 .