初二数学辅助线专题.pdf

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1、实用标准文案 精彩文档 辅助线专题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等 变换中的“对折” 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用 的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三 角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠” 5) 特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角

2、形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延 长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应 用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而 旋转 180 度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的 平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形

3、旋转一定 的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有 时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或 高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 实用标准文案 精彩文档 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 五、截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与 特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目 构造全等三角形几种方法 一、

4、延长中线构造全等三角形 例 1. 如图 1，AD是ABC的中线，求证： AB AC 2AD 。 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例 2. 如图 3，在 ABC 中， 12，ABC 2C 。求证： AB BD AC 。 实用标准文案 精彩文档 三、作平行线构造全等三角形 例 3. 如图 5，ABC中，AB AC 。E是 AB上异于 A、B的任意一点，延长AC 到 D，使 CD BE ，连接 DE交 BC于 F。求证： EF FD 。 四、作垂线构造全等三角形 例 4. 如图 7，在ABC中，BAC 90，AB AC 。M是 AC边的中点。 AD BM 交 BC于 D，交 BM 于 E。求证：

5、AMB DMC 。 实用标准文案 精彩文档 五、沿高线翻折构造全等三角形 例 5. 如图 9，在 ABC 中，AD BC于 D ，BAD CAD 。求证： AB AC 。 六、绕点旋转构造全等三角形 例 6. 如图 11，正方形 ABCD 中，12，Q在 DC上，P在 BC上。求证： PA PB DQ 。 实用标准文案 精彩文档 例 7. 如图，四边形ABCD 中，BAD= BCD=90 0,AB=AD,若四边形 ABCD的面积是 24cm 2. 则 AC 长是 cm. 8如图，两个边长相等的两个正方形ABCD和 OEFG ，若将正方形OEFG 绕 点 O按逆时针方向旋转150，两个正方形的重

6、叠部分四边形OMCN 的面积 ( ) A不变 B先增大再减小 C先减小再增大 D不断增大 七、截长法与补短法， 例 7：如图甲，ADBC，点E在线段 AB上，ADE=CDE ，DCE=ECB。 求证： CD =AD +BC 。 M A D B C O E F G N 实用标准文案 精彩文档 练习 12 （4 分）如图，已知ABC中， ABC=90 ， AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直 线 l1，l2，l3上，且 l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则点 B到 AC的距离是 （） A 5 BCD 考点 ： 全 等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 专题 ：

7、计 算题 分析：过 A作 AD l3于 D，过 B作 BFAC于 F，过 C作 CE l3于 E ，则 BF的长就是点B到 AC的距离，根据AAS证 DAB EBC ，求出 BE=3 ，根据勾股定理求出BC 、AB 、AC ， 根据三角形的面积即可求出答案 解答： 解： 过 A作 AD l3于 D，过 B作 BFAC于 F，过 C作 CE l3于 E ，则 BF的长就是点B到 AC的距离 AD l3，CE l3， ADB= ABC= CEB=90 ， DAB+ ABD=90 ， ABD+ CBE=90 ， DAB= CBE ， 在 DAB和 EBC中 ， DAB EBC ， AD=BE=3 ，

8、 CE=3+1=4 ， 在 CEB中，由勾股定理得：AB=BC=5 ，AC=5， 由三角形的面积公式得：SABC=AB BC= ACBF， 即 5 5=5BF， 实用标准文案 精彩文档 即 BF=， 故选 C 点评：本 题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰直角三角形，勾股定理等 知识点的应用，关键是正确作辅助线后能求出BE 、AB 、BC 、 AC的长，主要考查了学 生的推理能力和计算能力 18 （4 分）如图，过边长为1 的等边 ABC的边 AB上一点 P，作 PE AC于 E，Q为 BC延长 线上一点，当PA=CQ 时，连 PQ交 AC边于 D，则 DE的长为 考点 ： 等

9、边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题 ： 压 轴题 分析：过 P作 PF BC交 AC于 F，得出等边三角形APF ，推出 AP=PF=QC，根据等腰三角形性 质求出 EF=AE ，证 PFD QCD ，推出 FD=CD ，推出 DE= AC即可 解答：解 ：过 P作 PFBC交 AC于 F PFBC ， ABC是等边三角形， PFD= QCD ， APF是等边三角形， AP=PF=AF ， PE AC ， AE=EF ， AP=PF ，AP=CQ ， PF=CQ 在 PFD和 QCD 中， ， PFD QCD （AAS ） ， FD=CD ， AE=EF ， EF+FD=AE+

10、CD， AE+CD=DE=AC ， AC=1 ， DE= 故答案为： 实用标准文案 精彩文档 18如图， 在 ABC中，BC=2，ABC=45 =2ECB ，BD CD ，则（2BD ） 2= 168 【考点】 勾股定理 【分析】 延长 BD至 F，使得 DF=BD ，连结 CF交 AB于 G 根据中垂线的性质和等腰直角三角 形的判定和性质得到CF=2，BG=CG=2 ，根据线段的和差求得FG=22， 在 RtBGF中，根据勾股定理即可求解 【解答】 解：延长BD至 F，使得 DF=BD ，连结 CF交 AB于 G BDCD ，DF=BD ， CF=CB=2， DCF= ECB ， ABC=4

11、5 =2 ECB ， BCG=45 ， BCG是等腰直角三角形， BC=2， BG=CG=BC=2 ， FG=2 2， 在 RtBGF中， （2BD ） 2=BF2=BG2+FG2=22+（2 2） 2=168 故答案为： 168 【点评】 考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作出 辅助线构造直角三角形，难度较大 24正方形ABCD中， E点为 BC中点，连接AE ，过 B点作 BF AE ，交 CD于 F 点，交 实用标准文案 精彩文档 AE于 G点，连结GD ，过 A点作 AH GD交 GD于 H点. (1) 求证： ABE BCF ； (2) 若正方形边长

12、为4，AH= 5 16 ，求 AGD 的面积 . 24.证明： (1) 正方形 ABCD中， ABE=90 ， 1+2=90， 又 AEBF ， 3+2=90， 则 1=3 （2 分） 又四边形ABCD 为正方形， ABE=BCF=90 ， AB=BC 在 ABE和 BCF中， BCFABE 31 BCAB ABE BCF(ASA) （ 5分） 来源:z,zs, （2）延长 BF交 AD延长线于M点， MDF=90 （6 分） 由（ 1）知 ABE BCF ， CF=BE E点是 BC中点， BE= 2 1 BC ，即 CF= 2 1 CD=FD ， 在 BCF和 MDF中， FDFC DFC

13、F MDFBCF MB BCF MDF(ASA) BC=DM ，即 DM=AD ，D是 AM中点（8 分） 又 AG GM ，即 AGM 为直角三角形， GD= 2 1 AM=AD 又正方形边长为4， GD=4 实用标准文案 精彩文档 S AGD= 2 1 GD AH= 2 1 4 5 16 = 5 32 1、 在ABC中， AB=AC ， D为射线 BC上一点，DB=DA ， E为射线 AD上一点，且 AE=CD, 连接 BE 。 （1）如图 2，若 BE=2CD ，连接 CE并延长，交 AB于点 F，求证：CE=2EF. （2）如图 3，若 BE AD ，垂足为点 E,求证： 222 11

14、 44 AEBEAD 24如图 1， ABC中， BEAC于点 E ，ADBC于点 D，连接 DE 实用标准文案 精彩文档 （1）若 AB=BC ， DE=1 ，BE=3 ，求 ABC的周长； （2）如图 2，若 AB=BC ，AD=BD ， ADB的角平分线DF交 BE于点 F，求证： BF=DE； （3）如图 3，若 AB BC ，AD=BD ，将 ADC沿着 AC翻折得到 AGC ，连接 DG 、EG ，请猜想线 段 AE 、BE 、DG之间的数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE= AC=AE ，AC=2DE=2 ，AE=1 ，由勾股 定理求出A

15、B ，得出 BC ，即可得出结果； （2） 连接 AF ， 由等腰三角形的性质得出3=4， 证出 ABD是等腰直角三角形， 得出 DAB= DBA=45 ， 3=22.5 ，由 ASA证明 ADF BDF ，得出 AF=BF ， 2=3=22.5 ，证出 AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE ，即可得出结论； （3）作 DH DE交 BE于 H，先证明 ADE BDH ，得出 DH=DE ，AE=BH ，证出 DHE是等腰 直角三角形，得出DEH=45 ， 3=45，由翻折的性质得出DE=GE ， 3=4=45，证出 DH=GE ，DH GE ，证出四边形DHEG 是平行四边形，得出DG=E

16、H ，即可得出结论 【解答】 （1）解：如图1 所示： AB=BC ，BE AC ， AE=CE ， AEB=90 ， ADBC ， ADC=90 ， DE= AC=AE ， AC=2DE=2 ，AE=1， AB=， BC=， ABC的周长 =AB+BC+AC=2+2； （2）证明：连接AF ，如图 2 所示： AB=BC ，BE AC ， 3=4， ADC=90 ， AD=BD ， ABD是等腰直角三角形， DAB= DBA=45 ， 3=22.5 ， 实用标准文案 精彩文档 1+C= 3+ C=90 ， 1=3=22.5 ， DF平分 ABD ， ADF= BDF ， 在 ADF和 BDF

17、中， ， ADF BDF （ SAS ）， AF=BF ， 2=3=22.5 ， EAF= 1+2=45， AEF是等腰直角三角形， AF=AE ， DE=AE ， BF=DE ； （3）解： BE=DG+AE；理由如下： 作 DH DE交 BE于 H ，如图 3 所示： BEAC ，AD BC， 1+ACD= 2+ACD=90 ， 1=2， ADE=90 ADH= BDH ， 在 ADE和 BDH中， ， ADE BDH （ ASA ）， DH=DE ，AE=BH ， DHE是等腰直角三角形， DEH=45 ， 3=90 DEH=45 ， ACD翻折至 ACG ， DE=GE ， 3=4=4

18、5， 实用标准文案 精彩文档 DEG= EDH=90 ， DH=GE ， DH GE ， 四边形DHEG 是平行四边形， DG=EH ， BE=EH+BH=DG+AE 实用标准文案 精彩文档 2、已知：正方形 ABCD 中，45MAN， MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别 交CBDC，（或它们的延长线）于点MN， 当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1） ，易证BMDNMN （1）当 MAN 绕点 A旋转到BMDN时（如图 2） ，线段BMDN， 和MN之间有怎样 的数量关系？写出猜想，并加以证明 （2）当MAN绕点A旋转到如图3 的位置时，线段BMDN，和MN之间又有怎样的数 量关系？请直接写出你的猜想 B B M B C N C N M C N M 图 1 图 2 图 3 A A A D D D