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1、标准实用 文案大全 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点 3理解对数的概念及其运算性质 4重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6知道指数函数与对数函数互为反函数 (a 0，a1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1. 整数指数幂的概念及运算性质 2. 分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a0，n，m N
2、* ，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1 n n aa () m nmmn n aaa - 1 m n m n a a 3运算法则 当 a0,b 0 时有： （ 1） nmnm aaa； （ 2） mn n m aa； （ 3）0anma a anm n m ，； （ 4） mmm baab. 要点诠释： (1) 根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2) 根 式 运 算 中 常 出 现 乘 方 与 开 方 并 存 ， 要 注 意 两 者 的 顺 序 何 时 可 以 交 换 、 何 时 不 能 交 换 . 如 24 4 2 )4()4(； (3)
3、 幂指数不能随便约分. 如 2 1 4 2 )4()4(. 要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义： 若 x n=y(n N*，n1，yR)，则 x 称为 y 的 n 次方根，即 x= n y. n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为 n y；零的奇次方根为零，记为00 n ； n 为偶数时， 正数 y 的偶次方根有两个，记为 n y；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00 n . 2两个等式 标准实用 文案大全 （ 1）当1n且 * nN时， n n aa； （ 2） )( | )( , 为偶数 为奇数 na na a nn 要点诠释： 计算根式的结果关键取决于根
4、指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数 ，可先 写成|a的形式，这样能避免出现错误 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 底数是负数， 先确定符号， 底数是小数， 先要化成分数， 底数是带分数( 如) ， 先要化成假分数 （如 15/4 ） ， 然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质 在化简运算中，也要注意公式： a 2 b 2（ ab） （ab） ，a 3 b 3（ ab） （a 2 abb 2） ， a 3b3（ ab） （a 2 abb 2） ， （ab） 2 a 22abb2， （ ab） 3 a 33a
5、2b 3ab2 b 3，的运用，能够简化运算 . 指数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数 y=a x(a0 且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量， a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （ 1） 形式上的严格性： 只有形如y=a x(a0 且 a 1) 的函数才是指数函数 像2 3x y， 1 2 x y，31 x y 等函数都不是指数函数 （ 2）为什么规定底数a大于零且不等于1： 如果0a，则对于一些函数，比如( 4)x y，当 11 , 24 xx时，在实数范围内函数值不存在 如果1a，则 11 x y是个常量，就没研究的必要了。而a=0 时 y=0
6、没意义 要点二、指数函数的图象： y=a x 01 时图象 - 图象 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论。 （2）指数函数 x ya与 1 x y a 的图象关于y轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 x ya x yb x yc x yd 则： 0ba1dc 观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越 标准实用 文案大全 陡，而且指数函数都过点（0,1 ） 又即： x(0,+ ) 时， xxxx badc（底大幂大） x( ,0) 时， xxxx badc（底小幂小） 要点四、指数式大小比较方法 (1) 单调性法：化为
7、同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2) 中间量法： (3) 分类讨论法 (4) 比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 若0ABAB；0ABAB；0ABAB； 当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1 A B ，或1 A B 即可 对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1. 对数的概念 如果01 b aN aa，且， 那么数 b 叫做以 a 为底 N的对数，记作 :logaN=b. 其中 a 叫做对数的底数， N叫做真数 . 要点诠释： 对数式 logaN=b中各字母的取值范围是：a0 且 a 1， N0， bR. 2. 对数log0 a N a，
8、且a1具有下列性质 ： (1)0和负数没有对数，即0N； (2)1的对数为0，即log 10 a ； (3) 底的对数等于1，即log1 a a. 3两种特殊的对数 通常将以10 为底的对数叫做常用对数， NNlglog10简记作 . 以 e（ e 是一个无理数，2.7182e）为底的对数叫做自然对数， logln e NN简记作. 要点二、对数的运算法则 已知loglog010 aa MN aaMN，且，、 (1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； logloglog aaa MNMN (2)两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； logloglog aaa M M
9、N N (3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； loglog aa MM 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立. 如： log2(-3)(-5)=log 2(-3)+log2(-5) 是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3) 与 log2(-5) 是不存在的 . （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： 错误 1：loga(M N)=logaM logaN， 错误 2： (MN)=log aM logaN， 要点三、对数公式 1
10、对数恒等式： 标准实用 文案大全 log log a b N a aN aN Nb 2换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a 1， M0 的前提下有 : (1) )(loglogRnMM n a a n 令 logaM=b ， 则有 a b=M ， (ab)n=Mn，即nbn Ma )(， 则 n a Mb nlog 所以得出结论: n a a MMnloglog. (2) ) 1, 0( log log logcc a M M c c a ，令 logaM=b ， 则有 a b=M ， 则有 ) 1,0(loglogccMa c b c 即Mab cc loglo
11、g， 即 a M b c c log log ，即)1,0( log log logcc a M M c c a 当然，细心一些的同学会发现(1) 可由 (2) 推出，但在解决某些问题(1) 又有它的灵活性. 而且由 (2) 还可以得 到一个重要的结论: ) 1, 0, 1,0( log 1 logbbaa a b b a . 对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1函数 y=logax(a0 ，a1)叫做对数函数. 其中x是自变量，函数的定义域是0,，值域为R 2判断一个函数是对数函数是形如 log(0,1) a yx aa且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；
12、（2）底数为大于0 且不等于1 的常数； （3）对数的真数仅有自变量x 要点诠释： （1）只有形如 y=logax(a0 ，a1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log,log3 aaa yxyx yx 等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；对含有字 母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象 0a1 a1 图象 要点诠释： （1）关于对数式logaN的符号问题，既受a 的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错. 下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. （2）
13、以 1 为分界点，当a，N同侧时， logaN0；当 a，N异侧时， logaN0） ： （1） 2 aa； （2） 332 aa； （3）a a； 4.计算 63 4 25. 00 3 1 )32(28) 6 7 () 8 1 ( 指数函数的概念 5函数 2 (33) x yaaa是指数函数，求a的值 6求下列函数的定义域、值域. (1) 3 13 x x y； (2)y=4 x-2x+1；(3) 211 3 9 x ；(4) 2 1 1 x x ya(a 为大于 1 的常数 ) 指数函数的单调性及其应用 7讨论函数 2 2 1 ( ) 3 xx f x 的单调性 判断函数的奇偶性 8判断下
14、列函数的奇偶性： 9. 请做出的图象 标准实用 文案大全 10.将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)； 利用对数恒等式化简求值 11求值： 7 1 log5 7 积、商、幂的对数 12.zyx aaa log,log,log用表示下列各式 2 35 3 (1)log;(2)log();(3)log;(4)log aaaa xyxyx x y zyz z 换底公式的运用 13. 已知 18 log9,185 b a，求 36 log45 对数运算法则的应用 14. 求值 (1) 9 1 log 8 1 log 25 1 log32log53264 (2) 7 lg
15、142lglg 7lg18 3 (3)36log 4 3 log32(loglog 4 2 122 (4) 248125255 log 125log 25log 5 (log8log4log 2) 对数函数的概念 15. 下列函数中，哪些是对数函数？ （1） log(0,1) a yx aa； （2） 2 log2;yx （3） 2 8log (1)yx； （4） log 6(0,1) x yxx； （5） 6 logyx 对数函数的定义域 16. 求下列函数的定义域： (1) 2 logayx； (2)log (4-)(01) a yx aa且. 对数函数的单调性及其应用 17. 比较下列各
16、组数中的两个值大小： (1) 33 log 3.6,log 8.9； (2) 0.20.2 log1.9,log3.5； (3) 2 log 5与 7 log 5； (4) 3 log 5与 6 log 4 (5)log 4.2,log 4.8 aa （01aa且） 函数的奇偶性 18. 判断下列函数的奇偶性. 标准实用 文案大全 (1) 2 - ( )ln; 2 x f x x (2) 2 ( )lg( 1- )f xxx. 类型五、反函数 19求出下列函数的反函数 （1） 1 6 logyx； （2） 1 x y e 利用函数图象解不等式 20若不等式2log0 x ax ，当 1 0, 2 x 时恒成立，求实数a 的取值范围 对数函数性质的综合应用 21 （1）已知函数 2 lg(2)yxxa的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）已知函数 2 lg(2)yxxa的值域为R，求实数a的取值范围；