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1、实用标准文档 文案大全 集合 【知识清单】 1. 性质：确定性、互易性、无序性. 2. 元素和集合的关系：属于“”、不属于“”. 3. 集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”） . 4. 集合子集个数= n 2；真子集个数=12 n . 5. 交集：BxAxxBA且| 并集：BxAxxBA或| 补集：AxUxxACU且| 6. 空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： 要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； 元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义 (2) 当Zx时 , 求A的非空真子集个
2、数; (3) 当 Rx 时, 没有元素x使 Ax 与 Bx 同时成立 , 求实数m的取值范围 . 分析：此问题解决要注意： (1)AB中的分类讨论； (2) 集合的非空真子集的个 数=12 n ； (3) 当Rx时, 没有元素 x 使Ax与Bx同时成立能得出 A与 B 没有 交集，当中还要考虑B是否为. 详解：(1) 当121mm即2m时,B满足AB. 当121mm即2m时, 要使AB成立 , 需 51 , 121 m mm 可得32m. 综上所得实数m的取值范围3m. (2) 当Zx时 ,5 ,4,3 ,2, 1 ,0 , 1,2A, 所以 ,A的非空真子集个数为2542 28 . (3)
3、Rx, 且52|xxA,121|mxmxB, 又没有元素x使Ax与 Bx同时成立 则若B即121mm, 得2m时满足条件 ; 若B, 则要满足条件有: 51 , 121 m mm 或 212 ,121 m mm 解之 , 得4m. 综上有2m或4m. - - 【No.3 集合 vs. 方程】 5. 已知集合06| 2 xxxP,01|axxQ满足QP, 求a所取的一切值. 分析： 这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母, 一般需分类讨论 . 要 从0a和0a两个方面进行解题 . 实用标准文档 文案大全 详解：因3,206| 2 xxxP, 当 0a 时 ,01|axxQ,Q P成立 .
4、又当0a时, a axxQ 1 01|, 要QP成立 , 则有2 1 a 或3 1 a , 2 1 a或 3 1 a. 综上所述 , 0a 或 2 1 a或 3 1 a. 6已知集合RxxaxxA,043| 2 (1) 若A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2) 若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围 分析：A中元素的个数代表方程043 2 xax的根的个数，不过首先要讨论 a 是 否为 0. 详解： (1) A中有两个元素， 方程043 2 xax有两个不等的实数根， a a 169 0 ，即 16 9 a 16 9 a，且0a. (2) 当0a时， 3 4 A； 当0a时，若关于x的
5、方程043 2 xax有两个相等的实数根，a169，即 16 9 a； 若关于x的方程无实数根，则0169a， 即 16 9 a； 故所求的a 的取值范围是 16 9 a或0a. 7. 已知集合0132| 2 xxxA，012| 22 xmxmxB，若ABA， 实用标准文档 文案大全 求实数m的取值范围 分析：与第 7 题类似，第 7 题是先讨论 a 是否为 0，而本题的答案中先讨论的是 B 是否为，在这种类型题中，两种方法兼可. 详解： 2 1 , 10132| 2 xxxA， ABA，AB， 当B， 若0m，不成立； 若0m，则0， 3 2 m或2m； 当1B或 2 1 ， 若0m， 2
6、1 x，成立； 若0m，则0， 3 2 m或2m， 经检验， 2m 成立； 当 2 1 , 1B， 则 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 m m m ，无解，不成立 综上： 3 2 m或2m或0m = 题型四、韦恩图像 解决此类型题应注意：会用韦恩图表示集合关系与运算 1某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13 ，同时参加数学和物理小组的有6 人， 同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 实用标准文档 文案大全 分析： 解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法. 解
7、析： 设单独加数学的同学为x 人，参加数学化学的为y 人，单独参加化学的为z 人 依题意 21 134 26 zyx zy zyx ，解得 1 8 12 z y x 同时参加数学化学的同学有8 人， 答：同时参加数学和化学小组的有8 人 2. 设全集U是实数集R，函数 4 1 2 x y的定义域为M，11log| 2 xxN，则 如 图所示阴影部分所表示的集合是（） A12|xx B22|xx C21|xx D2| xx 分析： 本题要注意 y 的定义域：04 04 04 2 2 2 x x x 答案：C 实用标准文档 文案大全 详 解： 由 题 意 易 得22|xxxM或，31|xxN， 而
8、 阴 影 部 分 表 示 21|xxNMCU，选 C 3. 设全集 U=R ， 12| 2xx xA，xyxB1ln|，则右图中阴影部分表示的集合 为 （） A.1| xx B.21|xx C.10|xx D.1| xx 分析： 由图可知所求为ABCU，还要注意解A, B 集合时应遵循指对运算的规 则. 答案：B 详解： 02 212 xx ，因为 x y2是增函数， 所以02xx， 故20x，2,0A，1 ,B. 阴影部分表示的集合为21|xxABCU . = 题型五、创新题型 解决此类型题应注意：要充分理解题目中给出的新定义. 1. 对于集合M、N， 定义：NxMxxNM且|，MNNMNM
9、， 实用标准文档 文案大全 设RxxxyyA,3| 2 ，xyxB 2 log|，则BA= （） A0 , 4 9 B 0 , 4 9 C ,0 4 9 , D ,0 4 9 , 分析： 创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得， ABBABA，BxAxxBA且|，AxBxxAB且|.A 集合所求的是xxy3 2 的值域， B集合所求的是xy 2 log的定义域 . 答案：C 详解：本题考查集合的运算 由 4 9 2 3 3 2 2 xxxy得 4 9 | yyA； 由xy 2 log得0x，则0| xxB； 由NxMxxNM且|得,00| xxBA， 4 9 , 4 9
10、| xxAB， 由MNNMNM得 4 9 ,0BA. 故正确答案为C. 2. 定义集合 A与B的运算“ * ”为 : BAxBxAxxBA但或,|. 设X是偶数 集,5 ,4 ,3,2, 1Y, 则YYX=（） AX BY 实用标准文档 文案大全 CYX DYX 分析：YYX整体算上去比较复杂，所以要分开先计算YX. 答案：A 详解：首先求出4,2YX，YX ,的并集再去掉交集即得 ,10, 8,6,5, 3, 1YX. 同理可得XYYX,10,8 ,6,4,2 3. 定义一个集合 A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为AP ，用An表示有 限集A的元素个数，给出下列命题： 对于任意集合
11、A，都有APA； 存在集合 A，使得3APn ； 用表示空集，若BA，则BPAP； 若BA，则BPAP； 若1BnAn，则BPAPn2其中正确的命题个数为（） A4 B 3 C2 D1 分析： 已知幂集AP为子集所组成的集合，An表示有限集 A的元素个数，那 么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析. 答案：B 详解： 对于命题，AA，因此APA，命题正确； 对于命题，若集合 A的元素个数为m，则集合A的子集共 m 2个，若3APn，则 32 m ，解得Nm3log 2 ，命题错误； 对于命题，若BA，由于A，B，因此AP，BP，所以 BPAP，则BPAP，命题错误； 对于命题，若BA，对集合
12、A的任意子集AE，即对任意APE，则BE， 实用标准文档 文案大全 则BPE，因此BPAP，命题正确； 对于命题，设nBn，则1nAn，则集合A的子集个数为 1 2 n ，即 nn APn222 1 ，集合B的子集个数为 n 2，即 n BPn2，因此 BPAPn2，命题正确， 故正确的命题个数为3，选 B. = PS ：课后练习 一、选择题 1. 下列命题中正确的是（） A.数 0 不能构成集合 B.数 0 构成的集合是0 C.数 0 构成的集合是 D.数 0 构成的集合的元素是0 2 22, ,babbaa 构成集合M，则M中元素的个数最多是（） A.6 B.5 C.4 D.3 3. 下列
13、表示方法正确的是（） A.Nnnyy, 1|3 2 B.NyNxyxyx,0|),(0 22 C.Nxxx,09|3 2 D. Nnnxx,|2 4. 集合 * , 5,|Nqpqp q p ttA且其中的所有真子集的个数为（） A.3 B.7 C.15 D.31 5. 已知方程015 2 pxx与05 2 qxx的解集分别为A 与 B，且3BA，则 qp（） A.14 B.11 C.7 D.2 实用标准文档 文案大全 6. 若aaa,3, 2, 1, 3, 3 ,2 ,1 2 ，则a的取值集合为（ ) A.1,0 B. 2, 1, 0 C. 2, 1 D. 2,2, 1,0 7. 设全集RU
14、, 12| 2xx xA，xyxB1ln|，则图中阴影部分表示的集合 为 （） A1| xx B21|xx C10|xx D1| xx 8. 设全集RU，02|xxxA，01ln|xyxB，则图中阴影部分表示 的集合为 ( ) A10|xx B21|xx C1| xx D1| xx 9. 给定集合A,B，定义一种新运算：BAxBxAxxBA但或,|*, 又已知 实用标准文档 文案大全 2, 1 ,0A,3 ,2 ,1B，则BA*等于（） A. 0 B. 3 C.3 ,0 D.3 ,2, 1 ,0 10. 设 P和 Q是两个集合，定义集合QxPxxQP且|，如果1log| 2 xxP， 12|
15、xxQ，那么QP等于 ( ) A10|xx B10|xx C21|xx D32|xx 11. 定义 ByAx y x xyzzBA,|，设集合2,0A，2, 1B， 1C， 则集合CBA的所有元素之和为（） A.3 B.9 C.18 D.27 二、填空题 1. 下列命题正确的是 . (1) 空集没有子集. (2) 空集是任何一个集合的真子集. (3) 任一集合必有两个或两个以上子集. (4) 若AB, 那么凡不属于集合A的元素 , 则必不属于B. 2. 用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？ 由所有非负奇数组成的集合； 平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； 所有周长等于c
16、m10的三角形组成的集合； 方程01 2 xx的实数根组成的集合 3. 用列举法表示集合 5, 1 2 |nN n n NnA为 实用标准文档 文案大全 450 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30 名， 参加乙项的学生有25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为_ 5. 集合012|xxA，21| xxB，则BA= . 三、解答题 1. 已知集合043| 2 xxRxA,0431| 2 xxxRxB, 要使 ABP,求满足条件的集合P. 2. 设集合7127|xxA，231|mxmxB， （1）当3m时，求BA与BCA R ； （2）若 BBA ，求实数m的取
17、值范围 3. 若关于 x 的不等式06 22 txtx的解集, 1,a，求 a 的值 4. 已知不等式：1 1 3 2 x x 的解集为 A （1）求解集A； （2）若Ra，解关于x的不等式：xaax11 2 ； （3） 求实数a的取值范围， 使关于x的不等式：xaax11 2 的解集C满足AC 实用标准文档 文案大全 课后练习答案 一、选择题 1. 答案：D 提示：数 0 只能构成一个只含有元素0 的集合， 这个集合不是， 因为中没有任何元素. 2. 答案：C 提示：当 22 ,baba不等式M中含有的元素个数最多. 3. 答案：D 提示：判断元素是否在集合内 . 4. 答案：C 提示：集合
18、的真子集个数为12 n . 5. 答案：A 提示：3x为两方程的公共根. 6. 答案：D 提示：计算出a的值后要带回aaa, 3, 2, 1, 3,3, 2, 1 2 验证 . 7. 答案：B 提示：因为图中阴影部分表示的集合为)(BCA U . 8. 答案：B 提示：图中阴影部分表示的集合为BCA U . 9. 答案：C 提示：依题意BAx, 但BAx, 而3 ,2, 1 ,0BA， 实用标准文档 文案大全 2, 1BA故3 ,0BA. 10. 答案： B 提示：20|xxP，31|xxQ由QP定义可知10|xxQP 11. 答案：C 提示：5 ,4,0BA ，10,8 , 0CBA，故CB
19、A的所有元素和为18. 二、填空题 1. 答案：(4) 提示：空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 答案：Nnnxx, 12|，是无限集 0,0|,yxyx，是无限集 的三角形是周长等于cmxx10|，是无限集 方程01 2 xx没有实数根，即其组成的集合，是有限集 2. 答案：2 提示： 1 3 1 1 2 nn n ，分别令5,4, 3 ,2, 1 ,0n代入即得结果 . 3. 答案：45 提示： 4. 答案：3, 2 1 提示：先化简，再取交集 三、解答题 实用标准文档 文案大全 1. 答案：由043| 2 xxRxA, 4, 1 , 10431| 2 xxxRxB, 由
20、A BP知集合 P非空 , 且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为 1或1或4或1 , 1或4, 1或4,1或4, 1 , 1. 提示：要解决该题 , 必须确定满足条件的集合P的元素 ,而做到这点 , 必须明确A、B,充分把 握子集、真子集的概念, 准确化简集合是解决问题的首要条件. 2. 答案：（1）当3m时，7, 2B，,72,BCR， 4,2BA， ,74,BCAR （2）ABBBA， 当B时， 2 1 m； 当B时，即 2 1 m时，2 2 1 423 31 m m m 综上2m 提示：AB，要对B进行分类讨论 3. 答案：06 22 txtx的解集是,1,a 0t 1x代入得06
21、2 tt 解得： 3t 或2t（舍去） 31ta 3a 提示：因为不等式的解集为, 1,a，所以0t. 4. 答案： （1）去分母化简得 02 2 xx ， 12x，1 ,2A 实用标准文档 文案大全 （2）xaax11 2 等价于011 2 xaax，即011 xax 1 ）当0a时，011 2 xaax等价于01 1 x a xa，即11 1 x a x， 所以：当1a时，1 1 x a ；当1a时，x；当10a时， a x 1 1； 2）当0a时，1x 3）当0a时，1x或 a x 1 （3）若AC，则： 当1a时， 1 , 1 a C，不可能成立； 当1a时，x，成立； 当10a时， a x 1 1，成立； 2）当0a时，1x，成立； 3）当0a时， ,1 1 , a C，须有2 1 a ，则0 2 1 a 综上： 1 , 2 1 a.