初二轴对称习题以及问题详解.pdf

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1、一选择题（共6 小题） 1如图， O 是ABC 的两条垂直平分线的交点，BAC=70 ，则 BOC=（） A120 B125 C130 D140 2如图，等边 ABC 中，点 D、E 分别为 BC、 CA 上的两点， 且 BD=CE ，连接 AD 、BE 交于 F 点，则 FAE+AEF 的度数是（） A60B110C120D135 3如图，等腰RtABC 中， AB=AC ， A=90 ，点 D 为 BC 边的中点， E、F 分别在 AB、AC 上，且 EDFD， EGBC 于 G 点， FHBC 于 H 点，下列结论： DE=DF ； AE+AF=AB ； S四边形AEDF=SABC； E

2、G+FH=BC其中正确结论的序号是（） A只 有B只有C只有D 4如图所示，ABC 是等边三角形，AQ=PQ， PRAB 于 R 点， PSAC 于 S点， PR=PS，则四个结论： 点 P 在 A 的平分线上； AS=AR ； QPAR ； BRP QSP，正确的结论是（） A B只有，C只有D只有 5如图， C 为线段 AE 上一动点（不与点A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边ABC 和等边 CDE，AD 与 BE 交 于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ则下列结论： AD=BE ； PQAE； AP=BQ ； DE=DP 其中正确的是（） 实用

3、标准文案 精彩文档 A只 有B只有C只有D只有 6如图， ABC ， ACB 的平分线相交于F，过点 F 作 DEBC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 AF，那么下列 结论正确的是（） BDF，CEF 都是等腰三角形； BFC=90 +BAC ； ADE 的周长为AB+AC ； AF 平分 BAC A B C D 二填空题（共2 小题） 7如图， BAC=30 ，AD 平分 BAC ，DEAB 于 E，DFAB，已知 AF=4cm ，则 DE=_ 8如图， D 为等边三角形ABC 内一点， AD=BD ，BP=AB ， DBP= DBC，则 BPD=_度 三解答题（共10 小题） 9

4、如图，已知点P是 O 外一点， PS，PT 是 O 的两条切线，过点P 作 O 的割线 PAB，交 O 于 A、B 两点， 并交 ST 于点 C 求证： 实用标准文案 精彩文档 10在 ABC 中，点 P 为 BC 的中点 （1）如图 1，求证： AP（ AB+AC ） ； （2）延长 AB 到 D，使得 BD=AC ，延长 AC 到 E，使得 CE=AB ，连接 DE 如图 2，连接 BE，若 BAC=60 ，请你探究线段BE 与线段 AP 之间的数量关系写出你的结论，并加以证明； 请在图 3 中证明： BC DE 11 如图，在四边形ABCD 中，已知 BAD=60 ，ABC=90 ， B

5、CD=120 ， 对角线 AC ， BD 交于点 S， 且 DS=2SB， P为 AC 的中点 求证： （1） PBD=30 ； （2）AD=DC 12 如图，ABC 是等腰三角形， D， E 分别是腰AB 及 AC 延长线上的一点， 且 BD=CE ，连接 DE 交底 BC 于 G 求 证 GD=GE 13如图， ABC 中， BD AC 于点 D，点 F 为 BC 边上的中点，点E 在 AB 边上，若EF=DF ，判断 CE 与 AB 的 位置关系，并说明理由 实用标准文案 精彩文档 14如图，在等腰RtABC 中， ACB=90 ，AC=CB ，F 是 AB 边上的中点，点D、E 分别在

6、 AC、 BC 边上运动， 且始终保持AD=CE 连接 DE、 DF、EF （1）求证： ADF CEF （2）试证明 DFE 是等腰直角三角形 15如图， AB=AC ，E 在线段 AC 上， D 在 AB 的延长线上，且有BD=CE，连 DE 交 BC 于 F，过 E 作 EG BC 于 G， 求证： FG=BF+CG 16如图， ABC 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足ADB=60 ， （1）当 D 点在 AC 的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB ； （2）当 D 点不在 AC 的垂直平分线上时， （1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）当 D 点在如图的位置时，直

7、接写出DA ，DC， DB 的数量关系，不必证明 实用标准文案 精彩文档 17已知，在 ABC 中， CA=CB ，CA 、CB 的垂直平分线的交点O 在 AB 上， M、N 分别在直线AC 、BC 上， MON= A=45 （1）如图 1，若点 M、N 分别在边AC 、BC 上，求证： CN+MN=AM ； （2）如图 2，若点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 边的延长线上，试猜想CN、 MN 、AM 之间的数量关系，请写出你 的结论（不要求证明） 18已知，如图，BD 是 ABC 的角平分线，AB=AC ， （1）若 BC=AB+AD ，请你猜想A 的度数，并证明； （2）若 BC=

8、BA+CD ，求 A 的度数？ （3）若 A=100 ，求证： BC=BD+DA 实用标准文案 精彩文档 一选择题（共6 小题） 1如图， O 是ABC 的两条垂直平分线的交点，BAC=70 ，则 BOC=（） A120B125C130D140 考点 ： 线段垂直平分线的性质。 专题 ： 计算题。 分析：根据线段垂直平分线性质，OA=OB=OC 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，先求出 OBC+ OCB， 再求 BOC 解答：解： O 是ABC 的两条垂直平分线的交点， OA=OB=OC ， OAB= OBA ， OAC= OCA， OBC= OCB BAC=70 ， OBA+ OCA=7

9、0 ， OBC+OCB=40 BOC=180 40 =140 故选 D 点评：此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想 方法，难度不大 2如图，等边 ABC 中，点 D、E 分别为 BC、 CA 上的两点， 且 BD=CE ，连接 AD 、BE 交于 F 点，则 FAE+AEF 的度数是（） A60B110C120D135 考点 ： 等边三角形的性质。 专题 ： 几何图形问题。 分析： FAE+AEF 可转化为 FAE+EBC+ C，由 EBC= BAD ，所以又可转化为FAE+BAD+ C，进 而可求解 解答：解：在等边 ABC 中， AB

10、C= C=60 ，AB=BC ，又 BD=CE ， ABD BCE， BAD= CBE ， FAE+AEF= FAE+EBC+ C=FAE+BAD+ C=60 +60 =120 ， 故选 C 点评：题中重点在于由BAD= CBE 而得 FAE+ EBC+ C=FAE+BAD+ C 的过程，即角的转化 实用标准文案 精彩文档 3如图，等腰RtABC 中， AB=AC ， A=90 ，点 D 为 BC 边的中点， E、F 分别在 AB、AC 上，且 EDFD， EGBC 于 G 点， FHBC 于 H 点，下列结论： DE=DF ； AE+AF=AB ； S四边形AEDF=SABC； EG+FH=

11、BC其中正确结论的序号是（） A只 有B只有C只有D 考点 ： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析：考查直角三角形及等腰三角形的性质及判定问题，利用全等三角形判断线段相等，例如在 中，可求解 Rt EGDRtDHF ，同样后面几问也都可用全等解答 解答：解：如图所示， DEDF， EDG+ FDH=90 EDG+GED=90 GED=FDH， RtEGDRt DHF， DE=DF ， 正确； 连接 AD ，由 得， DE=DF， DC=AD ， FDC= ADE ， 可证 AED CFD， FC=AE ， AE+AF=AB ， 正确， BE=AF ， CAD= B=45 ，AD

12、为公共边， ADF DEB ，又 AED CFD， 也正确， 中由 得 GD=FH ，又 B=45 BG=EG，EG+FH=BC， 正确 都正确，故选D 点评：熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质，能够通过全等求角相等，线段相等 4如图所示，ABC 是等边三角形，AQ=PQ， PRAB 于 R 点， PSAC 于 S点， PR=PS，则四个结论： 点 P 在 A 的平分线上； AS=AR ； QPAR ； BRP QSP，正确的结论是（） A B只有，C只有D只有 考点 ： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析：考查等边三角形的性质，在等边三角形中，角平分线即为中线，也为垂线，然后

13、再利用全等，角相等进行 判断 实用标准文案 精彩文档 解答：解： ABC 是等边三角形，PRAB ，PSAC ，且 PR=PS， P在 A 的平分线上， 正确； 由 可知， PB=PC， B= C，PS=PR， BPR CPS， AS=AR ， 正确； AQ=PQ， PQC=2PAC=60 =BAC ， PQAR， 正确； 由 得， PQC 是等边三角形，PQS PCS，又由 可知， BRP QSP， 也正确 都正确，故选A 点评：熟练掌握等边三角形的性质 5如图， C 为线段 AE 上一动点（不与点A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边ABC 和等边 CDE，AD 与 BE 交 于点 O，

14、AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ则下列结论： AD=BE ； PQAE； AP=BQ ； DE=DP 其中正确的是（） A只 有B只有C只有D只有 考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题 ： 动点型。 分析：利用三角形全等，得到结论，利用排除法即可求解 解答：解：等边 ABC 和等边 CDE ， AC=BC ，CD=CE ， ACB= DCE=60 ， ACB+ BCD= DCE+ BCD ，即 ACD= BCE， ACD BCE（SAS） ， AD=BE 成立，排除C， 由（ 1）中的全等得CBE= DAC ， 又 ACB= DCE=60

15、 ， BCD=60 ，即 ACP=BCQ， 又 AC=BC ， CQB CPA（ ASA） ， CP=CQ， 又 PCQ=60 可知 PCQ 为等边三角形， PQC=DCE=60 ， PQAE 成立，排除D， 由 CQB CPA 得 AP=BQ 成立，排除A 故选 B 点评：作为选择题出现，应掌握这类型题基本的做题思路，判断出两对三角形全等，中间的三角形为等边三角形 等 6如图， ABC ， ACB 的平分线相交于F，过点 F 作 DEBC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 AF，那么下列 结论正确的是（） BDF，CEF 都是等腰三角形； BFC=90 +BAC ； ADE 的周长为

16、AB+AC ； AF 平分 BAC 实用标准文案 精彩文档 A B C D 考点 ： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质。 分析： 根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出DBF= DFB ，即 BDF 是等腰三角形， 同理 CEF 都是等腰三角形； 利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的BFC 和 BAC 之间的关系式； 由 可得 ADE 的周长为AB+AC ； 三角形的三条角平分线交于一点，可知AF 平分 BAC 解答：解： BF 是 ABC 的角平分线， ABF= CBF， 又 DEBC， CBF= DFB ， DB=DF 即BDF 是

17、等腰三角形， 同理 ECF=EFC， EF=EC， BDF ，CEF 都是等腰三角形； 在ABC 中， BAC+ ABC+ ACB=180 （ 1） 在 BFC 中 CFB+ FBC+FCB=180 即 CFB+ABC+ACB=180 （ 2） （ 2） 2（ 1）得 BFC=90 +BAC ； BDF，CEF 都是等腰三角形 BD=DF ，EF=EC， ADE 的周长 =AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC； F 是 ABC ， ACB 的平分线的交点 第三条平分线必过其点，即AF 平分 BAC 故选 C 点评：本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角

18、和定理解答，涉及面较广，需同学们仔 细解答 二填空题（共2 小题） 7如图， BAC=30 ，AD 平分 BAC ，DEAB 于 E，DFAB，已知 AF=4cm ，则 DE=2cm 考点 ： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定。 实用标准文案 精彩文档 专题 ： 计算题。 分析：由角平分线的定义和平行线的性质易得DF=AF=4m ， DFC= BAC=30 ，作 DGAC 于 G，根据角平分 线的性质可得，DG=DE ，在 RtFDG 中，易得DG=DF=2cm，即可求得DE 解答：解：作 DGAC 于 G， AD 平分 BAC ， BAD= CAD ，D

19、E=DG ， DFAB ， ADF= BAD ， DFC=BAC=30 ， ADF= CAD ， DF=AF=4m ， RtFDG 中， DG=DF=2cm， DE=2cm 故答案为： 2cm 点评：此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中30 锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关 键 8如图， D 为等边三角形ABC 内一点， AD=BD ，BP=AB ， DBP= DBC，则 BPD=30度 考点 ： 等边三角形的性质。 专题 ： 几何图形问题。 分析：作 AB 的垂直平分线，再根据等边三角形的性质及全等三角形的性质解答即可 解答：解：作 AB 的垂直平分线， ABC 为等边

20、三角形，ABD 为等腰三角形； AB 的垂直平分线必过C、D 两点， BCE=30 ； AB=BP=BC ， DBP=DBC，BD=BD ； BDC BDP ，所以 BPD=30 故应填 30 点评：此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线，再利用等边三角形的性质求解 三解答题（共10 小题） 实用标准文案 精彩文档 9如图，已知点P是 O 外一点， PS，PT 是 O 的两条切线，过点P 作 O 的割线 PAB，交 O 于 A、B 两点， 并交 ST 于点 C 求证： 考点 ： 切割线定理；勾股定理；相交弦定理。 专题 ： 证明题。 分析：根据 C、E、O、D 四点共圆，根据切割线定理可得：

21、PC?PE=PD?PO，并且可以证得RtSPDRt OPS， 即可证得PS2=PD?PO， 再根据切割线定理即可求解 解答：证明：连PO 交 ST 于点 D，则 POST； 连 SO，作 OEPB 于 E，则 E 为 AB 中点， 于是 因为 C、E、O、D 四点共圆， 所以 PC?PE=PD?PO 又因为 RtSPD RtOPS 所以 即 PS2=PD?PO 而由切割线定理知PS2=PA?PB 所以 即 点评：本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键 10在 ABC 中，点 P 为 BC 的中点 实用标准文案 精彩文档 （1）如图 1，求证： AP（ AB+

22、AC ） ； （2）延长 AB 到 D，使得 BD=AC ，延长 AC 到 E，使得 CE=AB ，连接 DE 如图 2，连接 BE，若 BAC=60 ，请你探究线段BE 与线段 AP 之间的数量关系写出你的结论，并加以证明； 请在图 3 中证明： BC DE 考点 ： 平行四边形的判定与性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位 线定理。 专题 ： 分类讨论。 分析：（ 1）可通过构建平行四边形求解；延长AP 至 H，使 PH=AP ；则 AH 、BC 互相平分，四边形ABHC 是平 行四边形；在ACH 中，由三角形三边关系定理知：AH AC+CH ，而 HC

23、=AB ，AH=2AP ，等量代换后即 可证得所求的结论； （ 2） 可按照（ 1）题的思路求解；过B 作 AE 的平行线，交DE 于 H，连接 AH 、CH；易知 AD=AE ，若 BAC=60 ，则ADE 是等边三角形， 易证得 DBH 也是等边三角形，此时 DB=BH=AC ， 则四边形ABHC 的一组对边平行且相等，则四边形 ABHC 是平行四边形； 由此可证得P是平行四边形ABHC 对角线的交点， 且 AH=2AP ；下面可通过证DBE DHA 得出 AH=DE ，从而得出DE=2AP 的结论； 分两种情况： 一、 AB=AC 时，由题意易知AB=AC=BD=CE ，则 BC 是三角

24、形 ADE 的中位线，此时DE=2BC ； 二、AB AC 时，仿照 的思路，可以 BC、 BD 为边作平行四边形DBCG， 连接 GE； 易证得 ABC CEG， 则 AB=GE ；而根据平行四边形的性质易知BC=DG ，那么在等腰 DGE 中，DG=GE ，根据三角形三边关系 定理知： DG+GE DE，即 2BCDE； 综合上述两种情况即可证得所求的结论 解答：（ 1）证明：延长AP 至 H，使得 PH=AP ，连接 BH 、HC，PH； BP=PC； 四边形ABHC 是平行四边形； AB=HC ； 在 ACH 中， AH HC+AC ； 2APAB+AC ； 即 （ 2） 答： BE=

25、2AP 证明：过B 作 BHAE 交 DE 于 H，连接 CH、AH ； 1=BAC=60 ； DB=AC ， AB=CE ， AD=AE ， AED 是等边三角形， D=1=2=AED=60 ； BDH 是等边三角形； BD=DH=BH=AC； 四边形ABHC 是平行四边形； 点 P 是 BC 的中点， 点 P 是四边形ABHC 对角线 AH 、BC 的交点， 点 A，P，H 共线， AH=2AP ； 在 ADH 和 EDB 中，； 实用标准文案 精彩文档 ADH EDB ； AH=BE=2AP ； 证明：分两种情况： ）当 AB=AC 时， AB=AC=DB=CE； BC=； ）当 AB

26、AC 时， 以 BD、 BC 为一组邻边作平行四边形BDGC （如图） DB=GC=AC ， BAC= 1，BC=DG ， AB=CE ； ABC CEG； BC=EG=DG ； 在 DGE 中， DG+GE DE； 2BCDE，即； 综上所述， BC 点评：此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，综 实用标准文案 精彩文档 合性强，难度较大 11 如图，在四边形ABCD 中，已知 BAD=60 ，ABC=90 ， BCD=120 ， 对角线 AC ， BD 交于点 S， 且 DS=2SB， P为 AC 的中点 求证： （1） PBD=30 ；

27、 （2）AD=DC 考点 ： 四点共圆；全等三角形的判定与性质。 专题 ： 证明题。 分析：（ 1）连接 PD，四边形ABCD 中，已知 BAD=60 ， ABC=90 ， BCD=120 ，根据内角和定理可求 ADC=90 ，则 A、B、C、 D 四点共圆，对角线AC 为直径， P 点为圆心， PBD 为等腰三角形，根据圆 周角定理 BPD=2 BAD ，可证 PBD=30 ； （ 2）作 SNBP 于点 N，由（ 1）的结论可知SN=SB，利用线段之间个关系证明MS=SB=SN，从而判 断 RtPMSRtPNS，得出 MPS= NPS=30 ，由圆周角定理得PAB=NPS，则 DAC= B

28、AD PAB=45 ，又 AC 为直径，故AD=DC 解答：证明：（1）由已知得 ADC=90 ， 从而 A，B，C，D 四点共圆， AC 为直径， P 为该圆的圆心， 作 PM BD 于点 M，知 M 为 BD 的中点， 所以 BPM=BAD=60 ， 从而 PBM=30 ； （ 2）作 SNBP 于点 N，则 又， ， RtPMSRtPNS， MPS=NPS=30 ， 又 PA=PB，所以， 故 DAC=45 =DCA ， 所以 AD=DC 点评：本题考查了四点共圆，三角形全等的判定与性质关键是判断ABC ，ADC ，公共斜边AC ，利用圆周角 定理求相关的角 实用标准文案 精彩文档 12

29、 如图，ABC 是等腰三角形， D， E 分别是腰AB 及 AC 延长线上的一点， 且 BD=CE ，连接 DE 交底 BC 于 G 求 证 GD=GE 考点 ： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题 ： 证明题。 分析：过 E 作 EFAB 且交 BC 延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出F=FCE，从而可得 到 BD=CE=EF ，再根据AAS 判定 BDG FEG，根据全等三角形的性质即可证得结论 解答：解：过 E 作 EFAB 且交 BC 延长线于F AB=AC ， B=ACB ， EFAB ， F=B， ACB= FCE， F=FCE， CE=EF， BD

30、=CE ， BD=EF ， 在 DBG 与 GEF 中， DBG GEF（AAS ） ， GD=GE 点评：此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用 13如图， ABC 中， BD AC 于点 D，点 F 为 BC 边上的中点，点E 在 AB 边上，若EF=DF ，判断 CE 与 AB 的 位置关系，并说明理由 实用标准文案 精彩文档 考点 ： 直角三角形斜边上的中线。 分析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，再结合已知EF=DF ，可得 BC=2EF，根据直角三角形的判定 可知 BEC 是直角三角形，从而得证CE 与 AB 的位置关系是垂直 解答：解： BDAC

31、BDC=90 ，即 BDC 是直角三角形 点 F 为 BC 边上的中点， BC=2DF EF=DF BC=2EF BEC 是直角三角形，即BEC=90 CE 与 AB 的位置关系： CEAB 点评：灵活运用直角三角形的性质和判定是解决此类问题的关键 14如图，在等腰RtABC 中， ACB=90 ，AC=CB ，F 是 AB 边上的中点，点D、E 分别在 AC、 BC 边上运动， 且始终保持AD=CE 连接 DE、 DF、EF （1）求证： ADF CEF （2）试证明 DFE 是等腰直角三角形 考点 ： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。 专题 ： 证明题。 分析：（ 1）根据在等腰直

32、角ABC 中， ACB=90 ，AC=BC ，利用 F是 AB 中点， A= FCE=ACF=45 ，即 可证明： ADF CEF （ 2）利用 ADF CEF，AFD+ DFC= CFE+DFC ，和 AFC=90 即可证明 DFE 是等腰直角三角 形 解答：证明：（1）在等腰直角 ABC 中， ACB=90 ，AC=BC ， A=B=45 ， 又 F 是 AB 中点， ACF= FCB=45 ， 即， A=FCE=ACF=45 ，且 AF=CF ， 在 ADF 与 CEF 中， ADF CEF（ SAS） ； （ 2） ADF CEF， DF=FE， DFE 是等腰三角形， 又 AFD=

33、CFE， AFD+ DFC= CFE+DFC， AFC= DFE， AFC=90 ， DFE=90 ， DFE 是等腰直角三角形 点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有点难度，属于中档 实用标准文案 精彩文档 题 15如图， AB=AC ，E 在线段 AC 上， D 在 AB 的延长线上，且有BD=CE，连 DE 交 BC 于 F，过 E 作 EG BC 于 G， 求证： FG=BF+CG 考点 ： 全等三角形的判定与性质。 专题 ： 证明题。 分析：可在 BC 上截取 GH=GC ，可得 EHC 是等腰三角形，进而得出AB EH，再证 BDF HE

34、F，通过线段 之间的转化即可得出结论 解答：证明：在BC 上截取 GH=GC ，连接 EH， EGBC，GH=GC ， EH=EC ， EHC= C， 又 AB=AC ， ABC= C， EHC= ABC ， EHAB ， DBF= EHF， D=DEH ， 又 EH=EC=BD ， BDF HEF， BF=FH ， FG=FH+HG=BF+GC 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握 16如图， ABC 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足ADB=60 ， （1）当 D 点在 AC 的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB ； （2）当 D 点不在 AC 的垂直平分

35、线上时， （1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 实用标准文案 精彩文档 （3）当 D 点在如图的位置时，直接写出DA ，DC， DB 的数量关系，不必证明 考点 ： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质。 专题 ： 证明题。 分析：（ 1）根据线段垂直平分线和等边三角形的性质可得AD=DC ， ABD=30 ，再由正弦定理可以证明 DA+DC=DB ； （ 2）延长 DA 到 E，使得 EBD=60 ，由已知可知 EBD 是一个等边三角形，再证明EBD CBD， 得出 EA=DC ，从而证明BD=ED=EA+AD=DC+AD； （ 3）可直接得DA ，DC，DB 的数量关系 解答：

36、证明：（1）点 D 只能在 AC 的下边，容易得到BD 是 AC 的中垂线，因此AD=DC ， ABD=30 ， 在三角形内由正弦定理可以得到=， 可以很快得到BD=2AD=AD+AC； （ 2）延长 DA 到 E，使得 EBD=60 ， 又 ADB=60 因此 EBD 是一个等边三角形， 所以 BE=ED=BD ，又 AB=BC ， 所以 EBD CBD ， 因此 EA=DC ， 所以 BD=ED=EA+AD=DC+AD； （ 3）DCDA+DB 点评：本题综合考查了线段垂直平分线和等边三角形的性质，同时考查了正弦定理和全等三角形的判定与性质， 由于等边三角形的特殊性第（2）题的结论在等边三

37、角形的其它边同样适用 17已知，在 ABC 中， CA=CB ，CA 、CB 的垂直平分线的交点O 在 AB 上， M、N 分别在直线AC 、BC 上， MON= A=45 （1）如图 1，若点 M、N 分别在边AC 、BC 上，求证： CN+MN=AM ； （2）如图 2，若点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 边的延长线上，试猜想CN、 MN 、AM 之间的数量关系，请写出你 的结论（不要求证明） 实用标准文案 精彩文档 解答：解： （1）连接 OC，在 AM 上截取 AQ=CN ，连接 OQ， O 为 CA 、CB 的垂直平分线的交点， OC=OA=OB ， AC=BC ， OCAB

38、 ，CO 平分 ACB ， A=B=45 ，即 ACB=90 ， OCN=45 ，即 OCN= A=45 ， 在 AOQ 和 CON 中， AQ=CN ， A=OCN，OA=OC ， AOQ CON， OQ=ON ， AOQ= CON， OCAB ， AOC= AOQ+ COQ=90 ， CON+COQ=90 ，即 QON=90 ， 又 MON=45 ， QOM=45 ， 在 QOM 和NOM 中， OQ=ON ， MON= QOM ，OM=OM ， QOM NOM （ SAS） ， QM=NM ， 则 AM=AQ+QM=CN+MN； （ 2）MN=AM+CN 点评：此题考查了全等三角形的判定

39、与性质，线段的和、差、倍、分问题通常情况下先在较长的线段上截取一段 与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出 AQ=CN ，构造全等三角形，证明QM=NM 18已知，如图，BD 是 ABC 的角平分线，AB=AC ， （1）若 BC=AB+AD ，请你猜想A 的度数，并证明； （2）若 BC=BA+CD ，求 A 的度数？ （3）若 A=100 ，求证： BC=BD+DA 实用标准文案 精彩文档 考点 ： 角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定 与性质。 专题 ： 证明题。 分析：（ 1）

40、在 BC 上截取 BE=BA ， 连接 DE， 证 ABD EBD ， 推出 AD=DE=CE ， A= DEB， 证出 A=2C， 因为 C=B，根据三角形内角和定理求出即可； （ 2）在 BC 上截取 CF=CD ，连接 DF，证 ABD FBD ，推出 A= DFB，推出 2A C=180 ，根 据三角形内角和定理得到A+2C=180 ，解方程组即可求出答案； （ 3） BC 上截取 BQ=BD ， 连接 DQ， 延长 BA 到 W 使 BW=BQ ， 连接 DW ， 求出 CQ=DQ ， 证 WBD CBD ， 推出 W= DQB，证 AD=DW ，即可推出答案 解答：解： （1）答：

41、 A=90 理由如下： 在 BC 上截取 BE=BA ，连接 DE BC=AB+AD ， CE=AD ， BD 是 ABC 的角平分线， ABD= EBD， AB=BE ，D=BD ， ABD EBD ， AD=DE=CE ， A= DEB ， C=EDC ， A=DEB= C+EDC=2 C， AB=AC ， C=B， A+ABC+ C=180 ， 4C=180 ， C=45 ， A=2C=90 ， 即 A=90 ； （ 2）解：在BC 上截取 CF=CD，连接 DF BC=BA+CD ， BF=BA ， ABD= FBD，BD=BD ， ABD FBD ， A=DFB ， CD=CF， C

42、DF= CFD， C+2DFC=180 ， A+DFC=180 ， 2A C=180 ， A+2C=180 ， 解得： A=108 ， 答： A 的度数是108 实用标准文案 精彩文档 （ 3）证明： 在 BC 上截取 BQ=BD ，连接 DQ，延长 BA 到 W 使 BW=BQ ，连接 DW A=100 ，AC=AB ， C=ABC=40 ， BD 平分 ABC ， DBQ=20 ， BD=BQ ， DQB= BDQ=（180 DBQ ）=80 ， CDQ=DQB C=40 =C， DQ=CQ ， 在 WBD 和QBD 中 ， WBD QBD， W= DQB=80 ，DW=DQ=CQ ， BAC=100 ， WAD=180 100 =80 =W， AD=DW=DQ=CQ ， BC=BD+DA 点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质 和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 实用标准文案 精彩文档