影院座位设计my.pdf

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1、实用标准文案 文档大全 数 学 建 模 论 文 班级：实验 1201 姓名： Schen 学号：2012013080 日期：2014/6/8 实用标准文案 文档大全 影院座位设计问题 摘要 通过研究电影院的座位设计问题， 根据观众对座位的满意程度主要取决于视 角与仰角这一前提条件，建立满意程度最大的相关模型， 并进行了相关求解。 问题一， 首先建立在满足仰角条件 （30） 情况下的优化模型，运用 Matlab 软件求解出当地板线的倾角为10时，最佳位置距离屏幕的水平距离为6.2275 米。接着分别对视角和仰角 赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度 函数建立了离散加权模型，最后运用Matla

2、b 软件求解出当地板线的倾角为10 时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635 米。 问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点， 建立满意度 函数平均值模型， 再利用 Matlab 软件解得，当地板线的倾角为0543.15时，所有 观众的平均满意程度最大。 问题三，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状， 即相邻 两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以5.2变化，增 加到20后保持不变，第一排抬高2 .1米。 关键词：离散分析加权平均满意度优化模型 Matlab 一、问题重述 下图-1 为影院的剖面示意图， 座位的满意程度主要取决于视角和仰角。 视

3、角是观众眼睛到屏幕上、 下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼 睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰， 引起 不舒适感，一般要求不超过30。 记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H , 影院的地板线通常与水平线 有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D，观众的平均座高 为 c（指眼睛到地面的距离） ，已知参数 h=1.8m, H=5m, d=4.5m, D=19m, c=1.1m. (1) 地板线倾角10，问最佳座位在什么地方。 (2) 求地板线倾角（一般不超过20） ，使所有观众的平均满意程度最大。 (3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众

4、的满意程度。 实用标准文案 文档大全 图-1 影院剖面示意图 二、问题的分析 电影院座位的设计应满足什么要求？是一个非常现实的问题。根据题意观众 对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小 越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意 程度达到最大。 本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系， 从而建立一个 线形型满意度函数。 针对问题一， 已知地板线倾角， 求最佳座位所在， 即将问题转化求综合满意 度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解； 针对问题二， 将所有观众视为离散的点， 要使所有观众的平均满意程

5、度达到 最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满 意度函数，将自变量转化为地板线倾角； 针对问题三， 对地板线形状进行优化设计， 使观众的平均满意程度可以进一 步提高。 本文为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。 三、模型假设 1. 观众的平均满意度只取决于视角和仰角 ，其他因素忽略不计； 2. 最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 3. 相邻两排座位间的间距相等，取为0.8 m ； 4. 对于同一排座位，观众的满意程度相同； 5. 所有观众的座位等高为平均座高； 6. 影院的的地板成阶梯状。 四、符号说明 实用标准文案 文档大全 五、模型的建立与求解

6、 5.1 问题一 每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取 决于两个因素： 水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线 的夹角，越大越好， 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使 人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过 0 30。 5.1.1 模型的建立：仰角在满足条件的范围内, 观众满意度只取决于视角 以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图-2 所示： 其中， AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则 水平视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 仰角S观众对水平视角为的满意程度 地板线与水平线的倾角 S观众对仰

7、角为的满意程度 d第一排离屏幕水平距离 S 平均满意程度 D最后一排离屏幕水平距离 cc ,视角、仰角在综合满意度 i S 中的权重 h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度 c tanxhcH h hH d dD E S tanx B O M N P 屏 幕 地面 地板 视觉线 x c 图-2 影院剖面坐标分析图 x y 实用标准文案 文档大全 由图可设视觉线OE上任意一点 P 的坐标为)tan,(xx，屏幕上下点的坐标分别 为),(cHdA，),(chHdB， AP 的斜率记为 APk, BP的斜率记为BPk。 由斜率公式得： )( tan tan dx

8、cHx kAP， )( tan )tan( dx chHx kBP (1.1) 则直线 AP 和 BP的斜率与夹角满足如下关系： )tan)(tan()( )( 1 tan 2 chHxcHxdx dxh kk kk APBP APBP (1.2) 仰角满足条件：30,0 所以：33 )( tan 033tan0 dx cHx tan tan33 33cH x dcH (1.3) 由公式 (1.1) (1.2)得到模型为： )tan)(tan()( )( arctanmax 2 chHxcHxdx dxh tan tan33 33 0 cH x dcH dDx ts 5.1.2 模型的求解 当

9、10时，用 Matlab 软件运算求解（程序见附录1） ，得最大视角为 =13.9172 ，仰角为 =30，x=1.7275米。即 P点的坐标为（ 1.7275,0.3046） 为最佳位置。离屏幕的水平距离为4.5+1.7275=6.2275米。 5.1.3 模型的建立：离散加权模型 在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间 距为l（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为cosl， 考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。 对模型进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到： )(cos)1( tancos)1( )( tan tan dlk cHlk

10、dx cHx (2.1) 实用标准文案 文档大全 )tancos) 1)(tancos) 1()cos) 1( )cos)1( tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh (2.2) 其中，nk,3 , 2, 1，n为地板线上的座位的总排数， 且191 cos 5.14 l n。 根据题意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角、仰角的 满意度函数 1 如下： minmax min tantan tantan k kS (2.3) minmax min tantan tantan 1 k k S (2.4) 式中 kk, 为第k排座位上观众视角和仰角， maxmax, 表示在给定的情

11、况 下最优满意度， minmin, 表示在给定的情况下最差满意度。 视角、仰角在综合满意度 k S 中的权重分别为cc ,，建立第k排座位综 合满意度函数如下： cc ScSc S kk k (2.5) 根据 地 板 线 倾 角10，通 过 计 算可 以 得 出8975.154210.5， 9149.400451.4，主观给定权重4. 0, 6.0CC，根据模型的建立，可 以得出： 1357. 0tan5025. 0tan1596.3 4 .06.0 4 .06. 0 kk kkkk k SS cc ScSc S (2.6) 将式(2.1)和式(2.2)带入公式 (2.6)得到优化模型为： 1

12、357.0 )cos) 1( tancos) 1( *5025.0 )tancos) 1)(tancos)1()cos) 1( )cos) 1( *1596.3max 2 dclk cHlk chHlkcHlkdlk dlkh Sk 19, 3, 2, 1, cos)1( tantan33 33 0 k lkx cH x dcH dDx ts 实用标准文案 文档大全 5.1.4 模型的求解 用 Matlab 软件运算求解（程序见附录2）可得： 3635. 2x米，4k排，最大满意度为6176.0 4S , 最大视角为 =13.128 ， 仰角为9084.26,最佳位置离屏幕的水平距离为4.5+

13、2.36235=6.8635 米。 5.2 问题二 5.2.1 模型的建立 要使所有观众的平均满意程度达到最大， 即需求S的最大值。由模型可知， 第k排观众的满意度为S, 则观众平均满意程度函数为：nSS n k k 1 ，平均满 意度S的大小由每一排的满意度所决定， 而又是由仰角和视角所决定。 所以， 要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面： (1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大； (2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。 由式(1.1) 可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大 小发生改变，且在某一座位( 即 x 取某一

14、定值 )，在逐渐增大的过程中仰角逐渐 减小，视角逐渐增大，见图2 所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角 越大, 仰角不超过条件的座位所占的比例越大。 02468101214161820 6.8 6.85 6.9 6.95 7 7.05 7.1 7.15 角变化 角 变 化 随 的变化曲线 实用标准文案 文档大全 02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 14 16 角变化 角 变 化 随 的变化曲线 图-3 视角 和仰角 随 变化的变化曲线 第一排观众的仰角为9149.40， 不满足仰角的条件，由模型可知第k排 座位所对应的仰角的正切值： nk dlk cHl

15、k k ,3, 2, 1, )(cos) 1( tancos)1( tan 其中 n为地板线上的座位的总排数：1 cos 5.14 l n，随着地板线倾角的变 化，相邻两排座位间的间距l不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。 由于地板线倾角不超过20，所以2019n，并限制最后一排观众的视高不 要超过屏幕的上边缘，即0543.15。 由模型知第k排座位所对应的水平视角的正切值为： )tancos)1)(tancos)1()cos)1( )cos)1( tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh 5.2.2 模型的求解 对一个取定的，判断 x 所在的位置仰角是否超过30，若超过，则该座

16、位 的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的 取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时 的平均满意度是否最大， 最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值 时的取值。 当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出8975.151143.5， 9149.400。 由模型的 (2.5) 式得 实用标准文案 文档大全 1357.0tan5025.0tan1596.3 4.06.0 4.06.0 kk kkkk k SS cc ScSc S （3.1） 所以，将式 (2.1)和式(2.2)带入公式 (3.1)得到平均满意度的优化模型为： n S

17、S n k k 1 max 取整数其中nnk lkx dDx n ts, 2, 1, cos)1( 0 0543.150 2019 . 用 Matlab 软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为， 4520.0S 对应地板线的倾角为0543.15。 5.3 问题三 5.3.1 模型的建立与求解 由上两问可知 , 观众的满意程度与仰角 , 视角和地板线倾角都有关 , 而每一 座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度， 就要考虑仰角， 视角 随着的变化情况。 引理地板线不管设计成什么形状 , 各排的间距不变，区别在于各排 的高度差如何变化，若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平

18、 距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上 时， 动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近， 动点与两定点形成的视角越大。 要使每一个座位所对应的视角取最大值, 对应的 y 值应在直线上 . 设计地板 线应考虑以下几个方面： (1) 第k排座位所在的位置应高于第1k排座位所在的高度； (2)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线； (3)视角尽可能大 , 即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近； (4)仰角的座位所占的比例尽可能大。 假设每排座位所在的点构成一条折线， 任意相邻两排座位水平间距为l， 第k 排座位地板线倾角为 k，第k 排座位与第1k排座位地

19、板线倾角变化为。从 而可得：)1(0k k ，故： )()1( )1tan( )() 1( tan) 1( tan 11 dlk cHkl dlk cHlk n k n k k k 同理可得： 实用标准文案 文档大全 )1tan(cos)()1tan(cos()cos)1( )cos)1( )tancos)1)(tancos) 1()cos)1( )cos) 1( tan 11 2 2 chHkllcHklldlk dlkh chHlkcHlkdlk dlkh n k n k ； 观众平均满意程度函数为：nSS n k k 1 ； 可算出地板线上的座位的总排数为：1 cos 5.14 l n，

20、则得出当5 .2时， max S =0.4622。 但此时455 .2) 119(，根据一般习惯，要求地板线倾角20，但 此时求得最后一排座位的地板线倾角为45，因此文中将对此进一步的修改： 当20)1(i时，令20)1(i。当20时，即将问题转化为问题 二中所建立的模型。由于5 .2，则地板线倾角增加到第9 排到达20，然后 保持不变。 对于这两种情况，分别代入不同的函数，求得：满意度函数的最大值。 max S =0.45930.4520 故报告厅座位的前9 排呈折线状，以5 .2递增,当倾角增加到20时 保持不变，且第一排应抬高2.1米。 六、模型的评价与推广 6.1 模型的评价 6.1.

21、1 模型的优点 : 模型抓住了影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角 ), 合理构造满意度函 数。 模型具有较好的通用性，对现实有较强的指导意义。 6.1.2 模型的不足以及需要改进的地方: 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同, 而实际情况并非如此, 这就 使得我们的模型在解决实际问题时存在一定的局限性。 模型建立的过程中 , 以观众眼睛所在的点为坐高点, 没有考虑前排观众额部 对后排观众的遮挡 , 需要进一步的考虑在内。 模型计算比较粗糙，精确度不够高！ 6.2 模型的推广 本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用, 有一定的参考 价值。 实用标准文案 文档大全 七、参考文

22、献 1 金炜东，线性型满意度及其组合运算，铁道学报 2 李祖苑，影院座位设计，中国科技论文在线 3 刘学智，影院座位的安排，中国科技论文在线 4 龚坚，计算机视觉，北京：科学技术出版社 八、附录： 附录一： clear; %clc; H=5; h=1.8; D=19; d=4.5; c=1.1; Q=0.1763; %tan(10/180*pi); a=0; for x=1.7275:0.0001:14.5000 % 仰角修正 t=h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c); if a=0 s=3.1596*a-0.5025*b+0.1357; %3.1596*a-0.5025*b+0.1357; %end sum=sum+s; end if ST=0 s=3.1596*a-0.5025*b+0.1357; %3.1596*a-0.5025*b+0.1357; %end sum=sum+s; end if ST=sum fprintf(nQ is:%dn,Q); end end ST/20