湖南省四大名校高三数学模拟试卷(理科)(3月份)Word版含解析.pdf

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1、2016 年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（理科）（3 月份） 一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1已知集合P=x|x 22x 3 ，Q=x|2 x4，则 P Q=（ ） A3，4）B （2，3C （ 1，2）D （ 1， 3 2下列命题中，真命题是（） A?x0 R， 0 B?x R，2 x x 2 Ca+b=0 的充要条件是=1 Da1，b1 是 ab1 的充分条件 3以下四个命题中： （1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效 果越好； （2）若两个随机变量的线性相

2、关性越强，则相关系数r 越接近于 1； （3）若统计数据x1 ，x 2 ， x 3， ，xn的方差为 1，则 2x1， 2x2，2x3， ，2xn的方差为 2； （4）对分类变量x 与 y 的随机变量k2的观察值k0来说， k0越小，判断 “ x 与 y 有关系 ” 的把 握程度越大 其中真命题的个数为（） A1 B2 C3 D4 4已知双曲线C：（a0， b 0）的离心率为 ， 则 C 的渐近线方程为 （） Ay= By= Cy= x D y= 5已知 S1=xdx，S2=exdx， S3=x 2dx，则 S 1 ，S 2 ， S 3的大小关系为（ ） AS1S2S3BS1S3S2C S3S

3、2S1DS2S3S1 6在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F，若=， = ，则 =（ ） A + B + C + D + 7将函数y=cos2x 的图象向左平移 个单位，得到函数y=f （x） ?cosx 的图象，则f（x） 的表达式可以是（） Af（x）=2sinx Bf（x）=2sinx Cf（x）=sin2x Df（x）=（ sin2x+cos2x） 8某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为： （x1 ，y 1） ， （x2 ，y 2） ， ， （xn， yn） ， 若程序运行中输出的一个数组是（

4、 x， 10） ，则数组中的x=（） A32 B24 C18 D16 9 在直角坐标系中， P 点的坐标为， Q 是第三象限内一点， |OQ|=1 且， 则 Q 点的横坐标为（） ABCD 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B C D 11现定义： e i =cos +isin ，其中 i 为虚数单位，e为自然对数的底， R，且实数指数幂 的运算性质对ei都适用如果， ，那么复数a+bi 等于（） Acos5 +isin5 Bcos5 isin5 C sin5 +icos5 Dsin5 icos5 12已知 f（x）=x（1+lnx） ，若 k Z，且 k（x 2） f

5、（x）对任意 x2 恒成立，则k 的 最大值为（） A3 B4 C5 D6 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上. 13若抛物线y 2=2px（ p0）的准线经过双曲线 x 2 y 2=1 的一个焦点， 则 p= 14已知实数x、y 满足，则目标函数z=3x+y 的最大值为 15若函数 f （x）=x 2+a|x2|在（0，+）上单调递增， 则实数 a的取值范围是 16已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余 各边均在此直线的同侧），且 AB=2 ，BC=4 ，CD=5，DA=3 ，则平面四边形ABCD 面积的

6、最 大值为 三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 an与bn满足 an+1 a n=2（bn+1 b n） （n N * ） （1）若 a1=1，bn=3n+5，求数列 an的通项公式； （2）若 a1=6，bn=2n（n N *）且 a n 2 n+n+2对一切 n N*恒成立，求实数 的取值范围 18如图，四棱锥P ABCD 中， ABC= BAD=90 ，BC=2AD ，PAB 与 PAD 都是等 边三角形 （1）证明： PBCD； （2）求二面角APD B 的余弦值 19 “ 根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血

7、液酒精浓度在20 80mg/100mL （不含 80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含 80）以上 时，属醉酒驾车” 2015 年 9 月 26 日晚 8 时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点， 对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60 名，如图是用酒精测试仪 对这 60 名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图 （1）求这 60 名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点） （2）求这 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值； （3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组， ，第七组，

8、在第 五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL ） ，则 事件 |x y| 10 的概率是多少？ 20如图， 在平面直角坐标系xoy 中，已知 F1 ，F 2分别是椭圆 E： 的 左、右焦点， A，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且 （1）求椭圆E 的离心率； （2）已知点D（1， 0）为线段OF2的中点， M 为椭圆 E 上的动点（异于点A、 B） ，连接 MF1并延长交椭圆 E 于点 N，连接 MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点 P、Q，连接 PQ，设 直线 MN 、PQ 的斜率存在且分别为k1 、k 2，试问是否存在常数 ，使得 k1+ k2

9、=0 恒成立？ 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 21已知函数f（x）=（2ax2+bx+1 ）e x（ e为自然对数的底数） （1）若 a=，求函数f（x）的单调区间； （2）若 f（1）=1，且方程f（x）=1 在（ 0，1）内有解，求实数a 的取值范围 请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分， 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修 4-1 几何 证明选讲 22如图， EP 交圆于 E，C 两点， PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且PG=PD，连接 DG 并延 长交圆于点A，作弦 AB 垂

10、直 EP，垂足为F （）求证： AB 为圆的直径； （）若 AC=BD ，求证： AB=ED 选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 =4sin（ ） （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）若 P（x，y）是直线l 与圆面 4sin（ ）的公共点，求x+y 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 24已知函数f（x）=|2xa|+a （1）若不等式f（ x） 6 的解集为 2， 3，求实数 a 的值； （2）在（ 1）的条件下，若存在实数n，使得 f（n） mf（ n）成立，求实数m

11、 的取值 范围 2016 年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（理科）（3 月 份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1已知集合P=x|x 22x 3 ，Q=x|2 x4，则 P Q=（ ） A3，4）B （2，3C （ 1，2）D （ 1， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合 P，然后求解交集即可 【解答】 解：集合 P=x|x 22x 3=x|x 1 或 x 3， Q=x|2 x 4， 则 P Q=x|3 x4=3 ，4） 故选： A 2下列命题中，真命题是（） A?x0 R，

12、 0 B?x R，2 x x 2 Ca+b=0 的充要条件是=1 Da1，b1 是 ab1 的充分条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与 应用 【分析】 利用指数函数的单调性判断A 的正误； 通过特例判断，全称命题判断B 的正误； 通过充要条件判断C、D 的正误； 【解答】 解：因为y=ex0，x R 恒成立，所以A 不正确； 因为 x=5 时 25（ 5） 2，所以 ?x R，2x x 2 不成立 a=b=0时a+b=0，但是 没有意义，所以 C不正确； a1，b1 是 ab1 的充分条件，显然正确 故选 D 3以下四个命题中： （1）在回归

13、分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效 果越好； （2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 越接近于 1； （3）若统计数据x1，x2， x3， ，xn的方差为1，则 2x1， 2x2，2x3， ，2xn的方差为2； （4）对分类变量x 与 y 的随机变量k2的观察值k0来说， k0越小，判断 “ x 与 y 有关系 ” 的把 握程度越大 其中真命题的个数为（） A1 B2 C3 D4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】（1）根据相关指数R2的值的性质进行判断， （2）根据线性相关性与r 的关系进行判断， （3）根据方差关系进行判断， （4）根据

14、分类变量x 与 y 的随机变量k 2 的观察值k0的关系进行判断 【解答】 解： （1）用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大， 模型的拟合效果越好， 故（ 1）正确； （2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故（2）错误； （3）若统计数据x1 ，x 2 ， x 3， ，xn的方差为 1，则 2x1， 2x2，2x3， ，2xn的方差为 4， 故（ 3）错误； （4）对分类变量x 与 y 的随机变量k2的观察值k0来说， k0越大，判断 “ x 与 y 有关系 ” 的把 握程度越大错误； 故选： A 4已知双曲线C：（a0， b 0）的离心率为， 则

15、C 的渐近线方程为 （） Ay= By= Cy= x D y= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由离心率和 abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=x，代入可得答案 【解答】 解：由双曲线 C： （ a0，b0） ， 则离心率e=，即 4b2=a2， 故渐近线方程为y= x=x， 故选： D 5已知 S1=xdx，S2=exdx， S3=x 2dx，则 S 1 ，S 2 ， S 3的大小关系为（ ） AS1S2S3BS1S3S2C S3S2S1DS2S3S1 【考点】 定积分 【分析】 先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可 【解答】 解： S1= xdx=x2|

16、=（41） = ，S 2= exdx=e x| =e2e=e（e1） ， S3=x 2dx= |=（81） =， e（e 1） ， S 1S3S2 故选： B 6在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F，若=，= ，则=（） A + B + C + D + 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF 与 DC 的比，再利用平面向量的线性 运算与表示，即可求出要求的向量 【解答】 解：如图所示， ?ABCD 中， DEF BEA ， =， 再由 AB=CD 可得=， =；

17、又=，=， =， =； 又=+， =+=（+）+（）=+ 故选： C 7将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x） ?cosx 的图象，则f（x） 的表达式可以是（） Af（x）=2sinx Bf（x）=2sinx Cf（x）=sin2x Df（x）=（ sin2x+cos2x） 【考点】 函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换 【分析】 将函数 y=cos2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（ 2x+） =sin2x=2cosx?sinx，利用条件，可得结论 【解答】解：将函数 y=cos2x 的图象向左平移个单位，可得 y=cos2 （x

18、+） =cos （ 2x+） =sin2x=2cosx?sinx， y=f（x）?cosx， f（ x）=2sinx 故选： A 8某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为： （x1 ，y 1） ， （x2 ，y 2） ， ， （xn， yn） ， 若程序运行中输出的一个数组是（ x， 10） ，则数组中的x=（） A32 B24 C18 D16 【考点】 程序框图 【分析】 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作 用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x 是每次变为原来的2 倍， y 每次 减小 2，依次写出每次循环输出的数组，即可得解

19、 【解答】 解：模拟程序的运行过程，可得： 运行第一次，输出（1，0） ，n=3， x=2，y=2； 运行第二次，输出（2， 2） ，n=5，x=4， y=4； 运行第三次，输出（4， 4） ，n=7，x=8， y=6； 运行第四次，输出（8， 6） ，n=9，x=16，y= 8； 运行第五次，输出（16， 8） ，n=11，x=32，y=10； 运行第六次，输出（32， 10） ，n=13，x=64 ，y=12 故选： A 9 在直角坐标系中， P 点的坐标为， Q 是第三象限内一点， |OQ|=1 且 ， 则 Q 点的横坐标为（） ABCD 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 设

20、xOP= ，根据三角函数的坐标法定义，得到的三角函数值，然后利用三角函 数公式求 Q 的横坐标 【解答】 解：设 xOP= ，则， ； 故选： A 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图， 可得该几何体是由一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体， 进而可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可得该几何体是： 一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体， 其直观图如下图所示： 三棱柱的体积V=2， 挖去的棱锥体积V=， 故该几何体的体积为2=， 故选： C 11现定义： e i =cos +isin ，其中

21、i 为虚数单位，e为自然对数的底， R，且实数指数幂 的运算性质对ei都适用如果， ，那么复数a+bi 等于（） Acos5 +isin5 Bcos5 isin5 C sin5 +icos5 Dsin5 icos5 【考点】 复数乘法的棣莫弗公式；有理数指数幂的化简求值；二项式定理的应用 【分析】 利用复数单位i 幂的运算，化简a+bi 构造二项式定理的形式，然后求出值即可 【解答】 解： a+bi= =（cos +isin ） 5 =cos5 +isin5 故选 A 12已知 f（x）=x（1+lnx） ，若 k Z，且 k（x 2） f（x）对任意 x2 恒成立，则k 的 最大值为（） A

22、3 B4 C5 D6 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 f（x）=x（1+lnx ） ，所以 k（ x2）f（x）对任意 x 2 恒成立，即k 对任意 x2 恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k 的最大值 【解答】 解： f（x）=x（1+lnx） ，所以 k（ x2） f（ x）对任意x2 恒成立， 即 k对任意 x 2 恒成立 令 g（x）=，则 g （x）=， 令h（x）=x2lnx4（x2） ，则 h （x）=1= ， 所以函数h（x）在（ 2， +）上单调递增 因为 h（ 8）=42ln80， h（9）=52ln9 0， 所以方程h（x） =0 在（ 2，+）上存在唯一实根x0，

23、且满足x0 （8，9） 当 2xx0时， h（x） 0，即 g（x） 0，当 xx 0时， h（x） 0，即 g（x） 0， 所以函数g（x） =在（ 2，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增 又 x02lnx0 4=0，所以 2lnx0=x04，故 1+lnx 0=x01， 所以 g（x）min=g（x0 ）= =x0 （4，4.5） 所以 k g（x）min=x0 （4， 4.5） 故整数 k 的最大值是 4 故选： B 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上. 13若抛物线y 2=2px（p0）的准线经过双曲线 x 2 y 2=1 的一个

24、焦点，则 p=2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先求出 x 2 y2=1 的左焦点， 得到抛物线 y 2=2px 的准线， 依据 p 的意义求出它的值 【解答】 解：双曲线 x2 y 2=1 的左焦点为 （ ，0） ，故抛物线y 2=2px 的准线为 x=， = ， p=2， 故答案为： 2 14已知实数x、y 满足，则目标函数z=3x+y 的最大值为7 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出约束条件不是的可行域，判断目标函数结果的点，然后求解目标函数的最大值 即可 【解答】 解：作出可行域如图所示： 作直线 l0：3x+y=0 ，再作一组平行于l0的直线 l：3x+y=z ，当直线l

25、 经过点 M 时， z=3x+y 取得最大值，由得：，所以点M 的坐标为，所以 故答案为： 7 15若函数 f（x）=x2+a|x2|在（0，+）上单调递增， 则实数 a 的取值范围是4，0 【考点】 二次函数的性质 【分析】 先通过讨论x 的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得 到不等式组，解出即可 【解答】 解：解： f（x）=x 2+a|x 2|= ， 要使 f（x）在 0，+）上单调递增， 则：，解得 4 a 0； 实数 a的取值范围是4，0 故答案为： 4，0 16已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余 各边均在此直线的同

26、侧），且 AB=2 ，BC=4 ，CD=5，DA=3 ，则平面四边形ABCD 面积的最 大值为2 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 在ABC 和ACD 中使用余弦定理求出cosB，cosD 的关系， 得出四边形的面积S 关于 sinB，sinD 的函数表达式，利用余弦函数的性质求出S的最大值 【解答】 解：设 AC=x ，在 ABC 中，由余弦定理得：x2=22+422 2 4cosB=2016cosB， 同理，在 ADC 中，由余弦定理得：x 2=32+52 2 3 5cosD=3430cosD， 15cosD 8cosB=7， 又平面四边形ABCD 面积为， 8sinB+15sinD

27、=2S ， 2+2 得： 64+225+240（sinBsinD cosBcosD） =49+4S2， S 2=6060cos（B+D ） ， 当 B+D= 时， S 取最大值= 故答案为： 2 三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 an与bn满足 an+1an=2（bn+1bn） （n N*） （1）若 a1=1，bn=3n+5，求数列 an的通项公式； （2）若 a1=6，bn=2n（n N *）且 an 2 n+n+2对一切 n N*恒成立，求实数 的取值范围 【考点】 数列的求和；函数恒成立问题 【分析】（1）求得 an+1a

28、n=4?3n，由 an=a1+（a2a1）+（a3a2）+ +（an an1） ，运用等 比数列的求和公式，即可得到所求通项； （2）由 an+1 an=2（bn+1bn）=2（2n+12n）=2n+1，an=a1+（a2 a 1）+（a3 a 2）+ +（an a n1） ，运用等比数列的求和公式可得 an=2+2 n+1， a n 2 n+n+2 对一切 n N*恒成立，即 为 2 1+，运用单调性可得右边的最大值，即可得到所求范围 【解答】 解： （1） a1=1，bn=3n+5，可得 an+1 a n=2（ bn+1 b n）=2（3 n+1 3 n）=4?3n， 即有 an=a1+（

29、a2a1）+（a3a2）+ +（ ana n1） =1+12+36+ +4?3n 1=1+4? =2?3n5； （2）a1=6，bn=2 n（n N* ） ，可得 an+1an=2（ bn+1bn）=2（2n+12n）=2 n+1， 即有 an=a1+（a2a1）+（a3a2）+ +（ anan1） =6+4+8+2n=4+=2+2n+1， an2 n+n+2 对一切 n N*恒成立， 即为 2 1+， 由=， 显然 n+1 2n， 1， 即有= ， 则 n=1 或 2，取得最大值， 则2 1+，解得 即有实数 的取值范围是（，+） 18如图，四棱锥P ABCD 中， ABC= BAD=90

30、，BC=2AD ，PAB 与 PAD 都是等 边三角形 （1）证明： PBCD； （2）求二面角APD B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】（1）取 BC 的中点 E，连接 DE，过 P 作 PO平面 ABCD ，垂足为O，连接 OA ， OB，OE，OD，推出 OEPB，证明 OE CD，得到 PBCD （2）由 OE，OB，OP 两两垂直以O 为原点， OE 方向为 x 轴正方向， OB 方向为 y 轴正 方向， OP 方向为 z 轴正方向， 建立空间直角坐标系Oxyz，求出相关点的坐标，求出平面PAD 的法向量，平面PBD 的 法向量为，利用空间向

31、量的数量积求解即可 【解答】 解： （1）证明：取BC 的中点 E，连接 DE，则 ADEB 为正方形， 过 P 作 PO平面 ABCD ，垂足为 O， 连接 OA ，OB，OE，OD， 由 PAB 和PAD 都是等边三角形可知PA=PB=PD， 所以 OA=OB=OD ， 即点 O 为正方形ADEB 对角线的交点 故 OEBD ，从而 OE平面 PBD，所以 OE PB， 因为 O 是 BD 的中点， E 是 BC 的中点， 所以 OE CD，因此 PBCD （2）由（ 1）可知， OE，OB，OP 两两垂直 以 O 为原点， OE 方向为 x 轴正方向， OB 方向为 y 轴正方向， OP

32、 方向为 z 轴正方向， 建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 设|AB|=2 ，则， ， ， 设平面 PAD 的法向量， 取 x=1，得 y=1，z=1，即， 因为 OE平面 PBD，设平面PBD 的法向量为，取， 由图象可知二面角APDB 的大小为锐角， 所以二面角APDB 的余弦值为 19 “ 根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20 80mg/100mL （不含 80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含 80）以上 时，属醉酒驾车” 2015 年 9 月 26 日晚 8 时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点， 对过往的车辆进行抽查

33、，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60 名，如图是用酒精测试仪 对这 60 名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图 （1）求这 60 名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点） （2）求这 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值； （3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组， ，第七组，在第 五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL ） ，则 事件 |x y| 10 的概率是多少？ 【考点】 频率分布直方图；众数、中位数、平均数 【分析】（1）根据频率 =，计算所求的频数即可； （2）利用频

34、率分布直方图求出数据的平均值即可； （3）用列举法计算基本事件数与对应的概率值 【解答】 解： （1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL （含 80）以上者， 共有 0.05 60=3 人； （2）由图知60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值为 =25 0.25+35 0.15+45 0.2+55 0.15+65 0.1+75 0.1+85 0.05=47（mg/100 mL） ； （3）第五组和第七组的人分别有：60 0.1=6 人， 60 0.05=3 人， |xy| 10 即选的两人只能在同一组中； 设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；

35、 则从 9 人中抽出2 人的一切可能结果组成的基本事件如下： ab； ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB； cC； de； df； dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC； fA ；fB；fC；AB ；AC ；BC 共 36 种； 其中两人只能在同一组中的事件有18 种， 用 M 表示 |xy| 10 这一事件， 则概率 P（M）= 20如图， 在平面直角坐标系xoy 中，已知 F1 ，F 2分别是椭圆 E： 的 左、右焦点， A，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且 （1）求椭圆E 的离心率； （2）已知点D（1，

36、 0）为线段OF2的中点， M 为椭圆 E 上的动点（异于点A、 B） ，连接 MF1并延长交椭圆 E 于点 N，连接 MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点 P、Q，连接 PQ，设 直线 MN 、PQ 的斜率存在且分别为k1 、k 2，试问是否存在常数 ，使得 k1+ k2=0 恒成立？ 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 【考点】 函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质 【分析】（1）由，得，从而有a+c=5（ac） ，结合离心率定义 即可求得答案； （2）由点 D（1，0）为线段OF2的中点可求得c 值，进而可求出a 值、 b 值，得到椭圆方 程，设 M（x1 ， y 1） ， N

37、 （x2 ， y 2） ，P （x3 ， y 3） ，Q （x4 ， y 4） ， 则直线 MD 的方程为 ， 与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q 坐标用 M、N 坐标表示出来，再根据三点M、F1 、N 共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案 【解答】 解： （1） ， a+c=5（a c） ，化简得2a=3c， 故椭圆 E 的离心率为 （2）存在满足条件的常数 ， 点 D（1，0）为线段OF2的中点， c=2，从而 a=3， ， 左焦点 F1（ 2，0） ，椭圆 E 的方程为 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，P （x3，y3） ，Q（ x4，y4） ，则直线 MD

38、的方程为， 代入椭圆方程，整理得， ， 从而，故点同理，点 三点 M、F1、N 共线， ，从而 x1y2 x 2y1=2（y1 y 2） 从而 故，从而存在满足条件的常数 ， 21已知函数f（x）=（2ax 2+bx+1 ）ex（ e为自然对数的底数） （1）若 a=，求函数f（x）的单调区间； （2）若 f（1）=1，且方程f（x）=1 在（ 0，1）内有解，求实数a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】（1）若 a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（ x） 的单调区间； （2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导

39、数，利 用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可 【解答】 解： （1）若 a=，f（x） =（x 2+bx+1 ）ex， 则 f（ x）=（2x+b）e x（ x2+bx+1） ex=x2+（b2）x+1 bex=（ x1） x（ 1 b）e x， 由 f（ x）=0 得（ x1） x（ 1 b）=0，即 x=1 或 x=1b， 若 1b=1，即 b=0 时， f （ x）=（ x1） 2ex 0，此时函数单调递减，单调递减区间 为（ ，+） 若 1b1，即 b 0 时，由 f （x）=（ x1）x（1 b）e x0 得（ x1）x（ 1 b）0，即 1 x1b， 此时函数单调递增，单

40、调递增区间为（1， 1b） ， 由 f（ x）=（ x1） x（ 1 b）e x0 得（ x1）x（ 1b）0，即 x1，或 x 1b， 此时函数单调递减，单调递减区间为（，1） ， （1b，+） ， 若 1b1，即 b 0 时，由 f （x）=（ x1）x（1 b）e x0 得（ x1）x（ 1 b）0，即 1 bx1， 此时函数单调递增，单调递增区间为（1 b，1） ， 由 f（ x）=（ x1） x（ 1 b）e x0 得（ x1）x（ 1b）0，即 x1b，或 x1， 此时函数单调递减，单调递减区间为（，1b） ， （1，+） （2）若 f（1）=1，则 f（1）=（2a+b+1）e

41、1=1， 即 2a+b+1=e，则 b=e1 2a， 若方程 f（ x）=1 在（ 0，1）内有解， 即方程 f（ x）=（2ax2+bx+1）ex=1 在（ 0，1）内有解， 即 2ax2+bx+1=e x 在（ 0，1）内有解， 即 e x2ax2bx1=0， 设 g（x）=ex2ax2bx1， 则 g（x）在（ 0，1）内有零点， 设 x0是 g（x）在（ 0，1）内的一个零点， 则 g（0）=0， g（1）=0，知函数g（x）在（ 0， x0）和（ x0，1）上不可能单调递增，也不 可能单调递减， 设 h（x）=g （x） ， 则 h（x）在（ 0，x0）和（ x0，1）上存在零点，

42、即 h（x）在（ 0，1）上至少有两个零点， g （x）=ex4axb，h （x）=ex4a， 当 a 时， h（x） 0，h（x）在（ 0，1）上递增， h（x）不可能有两个及以上零点， 当 a 时， h（x） 0，h（x）在（ 0，1）上递减， h（x）不可能有两个及以上零点， 当a时，令 h（x）=0，得 x=ln （4a） （0， 1） ， 则 h（x）在（ 0，ln（4a） ）上递减，在（ln（4a） ， 1）上递增， h（x）在（ 0，1）上存在最 小值 h（ ln（ 4a） ） 若 h（x）有两个零点，则有h（ln（4a） ） 0，h（0） 0，h（1） 0， h（ln（4a）

43、）=4a4aln（4a） b=6a4aln（4a）+1e，a， 设 （x）=xxlnx+1 x， （1xe） ， 则 （x）=lnx， 令 （x）=lnx=0 ，得 x=， 当 1x时， （x） 0，此时函数 （ x）递增， 当xe 时， （x） 0，此时函数 （ x）递减， 则 （x）max= （ ）= +1e0， 则 h（ln（4a） ） 0 恒成立， 由 h（0）=1 b=2ae+20， h（1）=e4a b0， 得a， 当a时，设 h（x）的两个零点为x1 ，x 2，则 g（x）在（ 0，x1）递增， 在（ x1，x2）上递减，在（x2，1）递增， 则 g（x1） g（0）=0， g（

44、x2） g（1）=0， 则 g（x）在（ x1， x2）内有零点， 综上，实数a 的取值范围是（，） 请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分， 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修 4-1 几何 证明选讲 22如图， EP 交圆于 E，C 两点， PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且PG=PD，连接 DG 并延 长交圆于点A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为F （）求证： AB 为圆的直径； （）若 AC=BD ，求证： AB=ED 【考点】 圆周角定理；与圆有关的比例线段 【分析】（）证明AB 为圆的

45、直径，只需证明BDA=90 ； （）证明Rt BDA RtACB ，再证明 DCE 为直角，即可证明AB=ED 【解答】 证明： （） PG=PD， PDG=PGD， PD 为切线， PDA= DBA ， PGD=EGA ， DBA= EGA ， DBA+ BAD= EGA+ BAD ， BDA= PFA， AFEP， PFA=90 BDA=90 ， AB 为圆的直径； （）连接BC，DC，则 AB 为圆的直径， BDA= ACB=90 ， 在 RtBDA 与 RtACB 中， AB=BA ，AC=BD ， RtBDA RtACB ， DAB= CBA ， DCB= DAB ， DCB= CBA ， DCAB， ABEP， DCEP， DCE 为直角， ED 为圆的直径， AB 为圆的直径， AB=ED 选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 =4sin（ ） （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）若 P（x，y）是直线l 与圆面 4sin（ ）的公共点，求x+y 的取值范围 【考点】 直线的参数方程；参数方程化成普通方程 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C 的直角坐标方程； （2）将代入 z=x+y得z=t，又直线l过C