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1、第1页（共 16页） 第 22 章 二次函数 一、选择题 1在下列关系式中，y 是 x 的二次函数的关系式是（） A2xy+x 2=1 By2ax+2=0 Cy+x 22=0 Dx2y2+4=0 2设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则 y 与 x 的函数关系式是（） Ay=x 2 By=Cy= D y= 3已知抛物线y=x 28x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 等于（） A4 B8 C 4 D16 4若直线y=ax+b 不经过二、四象限，则抛物线y=ax 2+bx+c（ ） A开口向上，对称轴是y 轴B开口向下，对称轴是y 轴 C开口向下，对称轴平行于y 轴D开口向上，对称轴平行于y
2、 轴 5一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是（ ） AB CD 6已知抛物线y=x 2+mx+n的顶点坐标是（ 1， 3），则 m和 n 的值分别是（） A2， 4 B 2， 4 C2， 4 D 2，0 7对于函数y=x 2+2x2，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（） Ax 1 Bx 0 Cx0 Dx 1 8抛物线y=x 2（ m+2 ）x+3（m 1）与 x 轴（ ） A一定有两个交点B只有一个交点 C有两个或一个交点 D没有交点 第2页（共 16页） 9二次函数y=2x 2+mx5 的图象与 x 轴交于点A（x1， 0）、
3、B（x2，0），且 x1 2+x 2 2= ，则 m的值 为（） A3 B 3 C3 或 3 D以上都不对 10对于任何的实数t，抛物线y=x 2+（2t ）x+t 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A（ 1，0） B （ 1，0）C（ 1，3）D（ 1，3） 二、填空题 11抛物线y= 2x+x 2+7 的开口向 _ ，对称轴是 _ ，顶点是 _ 12若二次函数y=mx 23x+2m m2 的图象经过原点，则m=_ 13如果把抛物线y=2x 21 向左平移 1 个单位，同时向上平移4 个单位，那么得到的新的抛物线是 _ 14对于二次函数y=ax2，已知当x 由 1 增加到 2 时，函数值减
4、少4，则常数a 的值是 _ 15已知二次函数y=x26x+n 的最小值为1，那么 n 的值是 _ 16抛物线在y=x 2 2x3 在 x 轴上截得的线段长度是 _ 17设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S（m 2）与窗户宽 x（m ）之间的函数关系式是_，自 变量 x 的取值范围是_ 18设 A、B、C三点依次分别是抛物线y=x 22x5 与 y 轴的交点以及与 x 轴的两个交点，则ABC 的面积是 _ 19抛物线上有三点（2， 3）、（ 2， 8）、（ 1，3），此抛物线的解析式为_ 20已知一个二次函数与x 轴相交于A、B，与 y 轴相交于 C，使得 ABC为直角三角形，这样的函 数有许
5、多，其中一个是_ 三、解答题 21已知抛物线的顶点坐标为M （1， 2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式 22把抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移 2 个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x 2+4x+1 重合请求出a，b，c 的值 23二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分如图，已知它的顶点 M在第二象限，且经过点A（1，0） 和点 B（ 0，1） （1）请判断实数a 的取值范围，并说明理由； 第3页（共 16页） （2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C，当 AMC 的面积为 ABC面积的倍时，求a 的值 24对于抛物线y=x 2+bx+c，给
6、出以下陈述： 它的对称轴为x=2； 它与 x 轴有两个交点为A、B； APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点） 求、得以同时成立时，常数b、c 的取值范围 25分别写出函数y=x2+ax+3（ 1x1）在常数a 满足下列条件时的最小值： （l ）0a；（ 2）a2.3 （提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a 的代数式表示） 26已知 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点， 点 A在 x 轴上， 点 C在 y 轴上， OA=10 ，OC=6 ， （1）如图甲： 在 OA上选取一点D，将 COD 沿 CD翻折， 使点 O落在 BC边上， 记为 E求折痕 CD 所 在直线的解
7、析式； （2）如图乙：在OC上选取一点F，将 AOF沿 AF翻折，使点O落在 BC边，记为G 求折痕AF所在直线的解析式； 再作 GH AB交 AF于点 H，若抛物线过点 H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直 线 AF的公共点的个数 （3）如图丙：一般地，在以OA 、OC上选取适当的点I 、J，使纸片沿IJ 翻折后，点O落在 BC边上， 记为 K请你猜想：折痕IJ 所在直线与第（2）题中的抛物线会有几个公共点；经过K作 KL AB与 IJ 相交于 L，则点 L 是否必定在抛物线上将以上两项猜想在（l ）的情形下分别进行验证 第4页（共 16页） 第 22 章 二次函数 参考答案 一、选择题
8、1在下列关系式中，y 是 x 的二次函数的关系式是（） A2xy+x 2=1 By2ax+2=0 Cy+x 22=0 Dx2y2+4=0 【解答】解： A、2xy+x 2=1当 x 0 时，可化为 y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式， 故本选项错误； B、y2ax+2=0 可化为 y 2=ax2 不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误； C、y+x 22=0 可化为 y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确； D、x 2y2+4=0可化为 y2=x2+4 的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误 故选 C 2设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则 y 与
9、 x 的函数关系式是（） Ay=x 2 By=Cy= D y= 【解答】解：作出BC边上的高AD ABC是等边三角形，边长为x， CD= x， 高为 h=x， y=xh=x 2 故选： D 第5页（共 16页） 3已知抛物线y=x 28x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 等于（） A4 B8 C 4 D16 【解答】解：根据题意，得=0， 解得 c=16 故选 D 4若直线y=ax+b 不经过二、四象限，则抛物线y=ax 2+bx+c（ ） A开口向上，对称轴是y 轴B开口向下，对称轴是y 轴 C开口向下，对称轴平行于y 轴D开口向上，对称轴平行于y 轴 【解答】解：直线y=ax+b 不经过二
10、、四象限，a0，b=0， 则抛物线y=ax 2+bx+c 开口方向向上，对称轴 x=0 故选 A 5一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是（ ） ABC D 第6页（共 16页） 【解答】解： A、由一次函数y=ax+b 的图象可得： a0，此时二次函数y=ax2+bx+c 的图象应该开口 向上，错误； B、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上， 对称轴 x=0，错误； C、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下， 对称轴
11、 x=0，正确 D、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下， 错误； 故选 C 6已知抛物线y=x 2+mx+n的顶点坐标是（ 1， 3），则 m和 n 的值分别是（） A2， 4 B 2， 4 C2， 4 D 2，0 【解答】解：根据顶点坐标公式，得 横坐标为： = 1，解得 m= 2； 纵坐标为： = 3，解得 n=4 故选 B 7对于函数y=x 2+2x2，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（） Ax 1 Bx 0 Cx0 Dx 1 【解答】解：y= x 2+2x2=（ x1）2 1， a=10，抛物线开口向
12、下，对称轴为直线x=1， 当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大， 故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围， 故选： C 8抛物线y=x 2（ m+2 ）x+3（m 1）与 x 轴（ ） A一定有两个交点B只有一个交点 C有两个或一个交点 D没有交点 第7页（共 16页） 【解答】解：根据题意，得 =b 24ac=（ m+2 ）241 3（m 1）=（ m 4）2 （1）当 m=4时， =0，即与 x 轴有一个交点； （2）当 m 4 时， 0，即与 x 轴有两个交点； 所以，原函数与x 轴有一个交点或两个交点，故选C 9二次函数y=2x 2+mx5 的图象与
13、 x 轴交于点A（x1， 0）、 B（x2，0），且 x1 2+x 2 2= ，则 m的值 为（） A3 B 3 C3 或 3 D以上都不对 【解答】解：二次函数y=2x 2+mx 5 的图象与 x 轴交于点A （ x1，0）、B （x2，0），且 x1 2+x 2 2= ， x1 2+x 2 2=（x 1+x2） 22x 1x2=2（）=， 解得： m= 3， 故选： C 10对于任何的实数t，抛物线y=x 2+（2t ）x+t 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A（ 1，0） B （ 1，0）C（ 1，3）D（ 1，3） 【解答】解：把y=x 2+（2t ）x+t 变形得到（ 1x）t=
14、y x22x， 对于任何的实数t ，抛物线y=x 2+（2 t ）x+t 总经过一个固定的点， 1x=0 且 yx 22x=0， x=1，y=3， 即这个固定的点的坐标为（1，3） 故选 D 二、填空题 11抛物线y= 2x+x 2+7 的开口向 上，对称轴是x=1 ，顶点是（1，6） 【解答】解：y=x 22x+7=（x1）2+6， 二次项系数a=10，抛物线开口向上， 顶点坐标为（ 1，6），对称轴为直线x=1 故答案为：上，x=1，（ 1，6） 第8页（共 16页） 12若二次函数y=mx 23x+2m m2 的图象经过原点，则m= 2 【解答】解：由于二次函数y=mx 23x+2m m
15、2的图象经过原点， 代入（ 0，0）得： 2mm 2=0， 解得： m=2 ，m=0 ； 又 m 0， m=2 故答案为： 2 13如果把抛物线y=2x 21 向左平移 1 个单位，同时向上平移4 个单位，那么得到的新的抛物线是 y=2（x+1） 2+3 【解答】解：原抛物线的顶点为（0， 1），向左平移1 个单位，同时向上平移4个单位，那么新 抛物线的顶点为（1，3）； 可设新抛物线的解析式为y=2（xh） 2+k，代入得： y=2（x+1）2+3 14对于二次函数y=ax 2，已知当 x 由 1 增加到 2 时，函数值减少4，则常数a 的值是 【解答】解：当x=1 时， y=ax 2=a；
16、 当 x=2 时， y=ax 2=4a， 所以 a 4a=4，解得 a= 故答案为： 15已知二次函数y=x 26x+n 的最小值为 1，那么 n 的值是10 【解答】解：原式可化为：y=（x3） 29+n， 函数的最小值是1， 9+n=1， n=10 故答案为： 10 16抛物线在y=x 2 2x3 在 x 轴上截得的线段长度是 4 第9页（共 16页） 【解答】解：设抛物线与x 轴的交点为：（x1，0），（ x2，0）， x1+x2=2，x1 ?x 2=3， |x 1x2|= =4， 抛物线在y=x 22x3 在 x 轴上截得的线段长度是 4 故答案为： 4 17 设矩形窗户的周长为6m
17、， 则窗户面积S （m 2） 与窗户宽 x （m ）之间的函数关系式是S=x 2+3x ， 自变量 x 的取值范围是0 x3 【解答】解：由题意可得：S=x（3 x）=x 2+3x 自变量 x 的取值范围是：0 x3 故答案为： S=x 2+3x，0x3 18设 A、B、C三点依次分别是抛物线y=x 22x5 与 y 轴的交点以及与 x 轴的两个交点，则ABC 的面积是5 【解答】解：令x=0，则 y=5，即 A（0， 5）； 设 B （b，0）， C（c，0） 令 y=0，则 x 22x5=0， 则 b+c=2，bc= 5， 则|b c|=2， 则 ABC的面积是5=5 故答案为5 19 抛
18、物线上有三点 （ 2，3）、 （2， 8） 、 （1， 3） ，此抛物线的解析式为y=x 2 x+ 【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c，把点（ 2，3）、（ 2， 8）、（ 1，3）代入得 ， 第10页（共 16页） 解得 所以此抛物线的解析式为y=x 2 x+， 故答案为： y=x 2 x+ 20已知一个二次函数与x 轴相交于A、B，与 y 轴相交于 C，使得 ABC为直角三角形，这样的函 数有许多，其中一个是y=x 2+3 【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（ 3， 0）， B（3，0）， C（0，3）， 则设抛物线解析式为：y=ax 2+3，故 0=9a+3， 解得
19、： a=， 即抛物线解析式为：y=x 2+3 故答案为： y=x 2+3 三、解答题 21已知抛物线的顶点坐标为M （1， 2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式 【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1， 2）， 设此二次函数的解析式为y=a（x1） 22， 把点（ 2，3）代入解析式，得： 第11页（共 16页） a2=3，即 a=5， 此函数的解析式为y=5（x1） 22 22把抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移 2 个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x 2+4x+1 重合请求出a，b，c 的值 【解答】解：将y=2x 2+4x+1 整理得 y=2x 2+
20、4x+1=2（x+1）21 因为抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向下平移1 个单位得y=2x 2+4x+1=2（x+1）2 1， 所以将 y=2x 2+4x+1=2（x+1）21 向右平移 2 个单位，再向上平移1 个单位即得y=ax 2+bx+c， 故 y=ax2+bx+c=2（x+12） 1+1=2（x1） =2x24x+2， 所以 a=2，b=4，c=2 23二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分如图，已知它的顶点 M在第二象限，且经过点A（1，0） 和点 B（ 0，1） （1）请判断实数a 的取值范围，并说明理由； （2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个
21、交点为C，当 AMC 的面积为 ABC面积的倍时，求a 的值 【解答】解：（1）由图象可知：a 0 图象过点（ 0， 1）， 所以 c=1，图象过点（ 1，0）， 则 a+b+1=0 当 x=1 时，应有y0，则 ab+10 将 a+b+1=0 代入，可得a+（a+1）+10， 解得 a 1 所以，实数a 的取值范围为1a 0； 第12页（共 16页） （2）此时函数y=ax 2（ a+1）x+1， M点纵坐标为： =， 图象与 x 轴交点坐标为：ax 2（ a+1）x+1=0， 解得； x 1=1，x 2= ， 则 AC=1 =， 要使 SAMC=SABC=? 可求得 a= 24对于抛物线y
22、=x 2+bx+c，给出以下陈述： 它的对称轴为x=2； 它与 x 轴有两个交点为A、B； APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点） 求、得以同时成立时，常数b、c 的取值范围 【解答】解：抛物线y=x 2+bx+c=（x+ ） 2+ ，抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为 x=2， =2，则 b= 4， P点的纵坐标是=c4， 又它与x 轴有两个交点为A、B， =b24ac=164c0，且 AB=2 解得 c 4， 又 APB的面积不小于27， 2|c 16| 27，即|c 16| 27 由解得 c 5 综上所述， b 的值是 4，c 的取值范围是c 5 第13页（共 16页） 25分别
23、写出函数y=x 2+ax+3（ 1x1）在常数 a 满足下列条件时的最小值： （l ）0a；（ 2）a2.3 （提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a 的代数式表示） 【解答】解：对称轴x=， （1）当 0a时，即 0，当 x=时有最小值，最小值y=（）2+a（） +3=3， （2）当 a2.3 即 1.1 ，在 1x1 范围内， y 随 x 的增大而增大， 当 x=1 时，y 最小， 最小值 y=（ 1） 2+a（ 1）+3=4a 26已知 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点， 点 A在 x 轴上， 点 C在 y 轴上， OA=10 ，OC=6 ， （1）如图甲： 在
24、OA上选取一点D，将 COD 沿 CD翻折， 使点 O落在 BC边上， 记为 E求折痕 CD 所 在直线的解析式； （2）如图乙：在OC上选取一点F，将 AOF沿 AF翻折，使点O落在 BC边，记为G 求折痕AF所在直线的解析式； 再作 GH AB交 AF于点 H，若抛物线过点 H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直 线 AF的公共点的个数 （3）如图丙：一般地，在以OA 、OC上选取适当的点I 、J，使纸片沿IJ 翻折后，点O落在 BC边上， 记为 K请你猜想：折痕IJ 所在直线与第（2）题中的抛物线会有几个公共点；经过K作 KL AB与 IJ 相交于 L，则点 L 是否必定在抛物线上将以上
25、两项猜想在（l ）的情形下分别进行验证 【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC 是正方形， OD=OC=6 ， D（6，0）， C（0，6）， 设直线 CD的解析式为y=kx+b ， 第14页（共 16页） 则，解得， 直线 CD的解析式为y=x+6 （2）在直角ABG中，因 AG=AO=10 ， 故 BG=8， CG=2 ， 设 OF=m ，则 FG=m ，CF=6 m ， 在直角 CFG中， m 2=（6m ）2+22，解得 m= ， 则 F（0，）， 设直线 AF为 y=kx +，将 A（10，0）代入，得k=， AF所在直线的解析式为：y=x+ GH AB ，且 G （2，6），可
26、设 H（2，yF）， 由于 H在直线 AF上， 把 H（ 2，yF）代入直线AF ：yF=2+=， H（2，）， 又 H在抛物线上， = 2 2+h，解得 h=3， 抛物线的解析式为y=x 2+3， 将直线 y=x+，代入到抛物线y=x 2+3， 得x 2+ x=0， = 4（）（）=0， 直线 AF与抛物线只有一个公共点 （3）可以猜想以下两个结论： 折痕 IJ 所在直线与抛物线y=x 2+3 只有一个公共点； 经过 K作 KL AB与 IJ 相交于 L，则点 L 一定在抛物线y=x 2+3 上 验证，在图甲的特殊情况中，I 即为 D，J 即为 C ， G即为 E，K也是 E，KL即为 ED ，L 就是 D， 将折痕 CD ：y= x+6 代入 y=x 2+3 中，得 x 2+x3=0， 第15页（共 16页） =14（）（ 3）=0， 折痕 CD所在的直线与抛物线y=x 2+3 只有一个公共点 验证，在图甲的特殊情况中，I 就是 C，J 就是 D ，那么 L 就是 D（6，0）， 当 x=6 时， y=6 2+3=0， 点 L 在这条抛物线上 第16页（共 16页）