平方差公式与完全平方公式试题(含答案).pdf

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1、. ;. 乘法公式的复习 一、复习 :(a+b)(a-b)=a 2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，x yy xx 2 y 2 符号变化，x yx yx 2 y 2 x 2 y 2 指数变化，x 2 y 2 x 2 y 2 x 4 y 4 系数变化，2a b2a b4a 2 b 2 换式变化，xyz m xyz mxy 2 z m 2 x 2y2 z 2 2zm+m 2 x 2y2 z 2 2zm m 2 增项变化，x y z x y zx y 2 z 2 x 2 2xyy 2 z 2 连用公式变化，x

2、 y x y x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 4 y 4 逆用公式变化，x y z 2 x y z 2 x y zx y zx y zx y z 2x2y2z4xy4xz 例 1已知 2ba ， 1ab ，求 22 ba的值。 解： 2 )(ba 22 2baba 22 ba=abba2)( 2 2ba，1ab 22 ba=2122 2 例 2已知 8ba ， 2ab ，求 2 )(ba的值。 解： 2 )(ba 22 2baba 2 )(ba 22 2baba 2 )(ba 2 )(baab4 2 )(baab4= 2 )(ba 8ba，2ab 2 )(ba56248 2

3、 例 3：计算 1999 2 -2000 1998 解析此题中2000=1999+1，1998=1999-1 ，正好符合平方差公式。 解： 1999 2-2000 1998 =19992-（1999+1）（ 1999-1 ） =1999 2- （19992-12）=19992-19992+1 =1 例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a 2+b2 和(a-b) 2 的值。 解析此题可用完全平方公式的变形得解。 解： a 2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （ a-b) 2=(a+b)2-4ab=4-4=0 例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14。求 x 2-z2 的

4、值。 解析此题若想根据现有条件求出x、y、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z2 是由 x+z 和 x-z 的积得来的，所以 只要求出x-z 的值即可。 解：因为x-y=2 ， y-z=2 ，将两式相加得x-z=4 ，所以 x 2-z2=（x+z）(x-z)=14 4=56。 例 6：判断（ 2+1） （2 2+1） （24+1）（ 22048+1）+1 的个位数字是几？ 解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1 ）和上式可构成 循环平方差。 解： （ 2+1） （2 2+1） （24+1）（ 22048+1）+1 . ;. =（2-1 ） （ 2

5、2+1） （24+1）（ 22048+1）+1 =2 4096 =16 1024 因为当一个数的个位数字是6 的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。 例 7运用公式简便计算 （ 1）103 2 （ 2）198 2 解： （1）103 2 100 3 2 100 2 2 100 3 3 2 10000 600 9 10609 （2）198 2 200 2 2 200 2 2 200 2 2 2 40000 800 4 39204 例 8计算 （1）a4b3c a4b3c（2） 3x y2 3x y2 解： （1）原式a3c4ba3c4ba3c 2 4b 2 a

6、2 6ac9c 2 16b 2 （ 2）原式3xy23xy29x 2 y 2 4y49x 2 y 2 4y4 例 9解下列各式 （1）已知a 2 b 2 13，ab6，求a b 2， a b 2 的值。 （2）已知a b 2 7，a b 2 4，求 a 2 b 2，ab 的值。 （3）已知a a1a 2 b2，求 22 2 ab ab 的值。 （4）已知 1 3x x ，求 4 4 1 x x 的值。 分析：在公式a b 2 a 2 b 2 2ab中，如果把a b，a 2 b 2 和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道 了两个就可以求出第三个。 解： （1）a 2 b 2 13，

7、ab6 a b 2 a 2 b 2 2ab13 2 6 25 a b 2 a 2 b 2 2ab13 2 6 1 （2）a b 2 7，a b 2 4 a 2 2ab b 2 7 a 2 2ab b 2 4 得 2a 2 b 2 11，即 2211 2 ab 得 4ab3，即 3 4 ab （3）由a a1a 2 b2 得a b2 22 221 2 22 ab ababab 2211 22 22 ab （4）由 1 3x x ，得 1 9x x 即 2 2 1 29x x 2 2 1 11x x 2 2 1 121x x 即 4 4 1 2121x x 4 4 1 119x x 例 10四个连

8、续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ . ;. 分析：由于1 2 3 4 1 25 5 2 23 4 5 1 121 11 2 34 5 6 1 361 19 2 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。 解：设n，n1，n2，n3 是四个连续自然数 则n n1n2n31 n n3n1n21 n 2 3n 2 2n 2 3n1 n 2 3n n 2 3n21 n 2 3n1 2 n是整数， n 2，3n 都是整数 n 2 3n1 一定是整数 n 2 3n1 是一个平方数四个连续整数的积与1 的和必是一个完全平方数。 二、乘法公式的用法 ( 一) 、套用 : 这是最初的公式

9、运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨 认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。 例 1. 计算：5353 2222 xyxy 解：原式 53259 2 2 2 2 44 xyxy ( 二) 、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例 2. 计算： 1111 24 a aaa 解：原式 111 224 aaa 11 1 44 8 aa a 例 3. 计算：32513251xyzxyz 解：原式 25312531yzxyzx 2531 49252061 22 222 yzx yxzyzx 三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将

10、公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用 其解决问题。 例 4. 计算：578578 22 abcabc 解：原式 578578578578abcabcabcabc . ;. 101416 140160 abc abac 四、变用 : 题目变形后运用公式解题。 例 5. 计算：xyz xyz26 解：原式 xyzzxyzz2424 xyzz xyzxyxzyz 24 12244 22 222 五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几 个比较有用的派生公式： abbabababababaabbabaabba4.42.32.22

11、.1 22 22 22 22 2 22 2 灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。 例 6. 已知abab45，求ab 22 的值。 解：ababab 22 2 2 242526 例 7. 计算：abcdbcda 22 解：原式 bcadbcad 22 2 222244 22 2222 bcad abcdbcad 三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数” 例 1 计算 (-2x 2-5)(2 x 2-5) 分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“ 2x 2 ”符号相反，因而“-5 ”是公式 (a+b)(a-b)=a 2-

12、b 2 中的a，而“ 2x 2”则 是公式中的b 解：原式 =(-5-2x 2)(-5+2 x 2)=(-5)2-(2 x 2)2=25-4 x 4 例 2 计算 (-a 2+4b)2 分析：运用公式(a+b) 2= a 2+2ab+b2 时，“ -a 2 ”就是公式中的a，“ 4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a 2)2 时，则“ 4b”是公式中的a，而“a 2”就是公式中的 b（解略） （二）、注意为使用公式创造条件 例 3 计算 (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“ 5”两项同号，“y”、“z”两项异号， 因

13、而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式 解：原式 =(2x+5)+(y-z) (2x+5)-(y-z) =(2x+5) 2-( y-z) 2=4x2+20x+25- y+2yz-z 2 . ;. 例 5 计算 (2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1) 分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简 解：原式 =(2-1)(2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1) =（2 8-1 ）（ 28+1）=216-1 （三）、注意公式的推广

14、 计算多项式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2 ，可推广得到：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab +2ac+2bc 可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2 倍 例 6 计算 (2x+y-3) 2 解：原式 =(2x) 2+y2+(-3)2+22x y+22x(-3)+2 y(-3)=4x 2+y2+9+4xy-12 x-6y （四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例 7 (2)已知：x+2y=7，xy=6，求 (x-2y) 2 的值 分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x 2+y2=( x+y) 2-2 xy，x 3+ y 3=(

15、x+y) 3-3 xy(x+y) ， (x+y) 2-( x-y) 2=4xy ，问题则十分简单 解： (2)(x-2y) 2=( x+2y) 2-8 xy=7 2-8 6=1 例 8 计算 (a+b+c) 2+( a+b-c) 2+( a-b+c)+(b-a+c) 2 分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b) 2+( a-b) 2=2( a 2+b2) ，因而问题容易 解决 解：原式 =(a+b)+c 2+( a+b)-c 2+ c+(a-b) 2+ c-(a-b) 2=2( a+b) 2+c2 +2c 2+( a-b) 2 =2(a+b) 2+( a-b)

16、 2+4 c 2 =4a 2+4b2+4c2 （五）、注意乘法公式的逆运用 例 9 计算 (a-2b+3c) 2-( a+2b-3c) 2 分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多 解：原式 =(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c)=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac 例 10 计算 (2a+3b) 2-2(2 a+3b)(5b-4a)+(4a-5b) 2 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便 解：原式 =(2a+3b) 2+2(2 a+3b)(4a-5b)+

17、(4a-5b) 2=(2 a+3b)+(4a-5b) 2=(6 a-2b) 2=36a2-24 ab+4b 2 四、怎样熟练运用公式： （一） 、明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全 相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的 结构特征就能在各种情况下正确运用公式 （二） 、理解字母的广泛含义 乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛 的范围内正确运用公式如计算（x+2y3z） 2，若视 x+2y为公

18、式中的a，3z为b，则就可用（ab） 2=a22ab +b 2 来解了。 （三） 、熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化， 使其满 足公式特点 . ;. 常见的几种变化是： 1、位置变化如（ 3x+5y） （5y3x）交换 3x和 5y的位置后即可用平方差公式计算了 2、符号变化如（ 2m7n） （2m7n）变为（ 2m+7n） （2m 7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或 不这样变，可以吗？） 3、数字变化如 98102，99 2，912等分别变为（ 100 2） （100+2） ， （1001）2， （90+

19、1）2 后就能够用乘法公式加以 解答了 4、系数变化如（ 4m+ 2 n ） （2m 4 n ）变为 2（2m+ 4 n ） （2m 4 n ）后即可用平方差公式进行计算了 5、项数变化如（x+3y+2z） （x3y+6z）变为（x+3y+4z2z） （x3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式 来解了 （四） 、注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便如计算（a 2+1）2（ a 21）2， 若分别展开后再相乘，则比较繁琐， 若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便 即原式 =（a 2+1） （ a 21）2= （a 4 1）2=a8

20、2a4+1 对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用如计算（1 2 2 1 ） （1 2 3 1 ） （1 2 4 1 ）（ 1 2 9 1 ） （1 2 10 1 ） ，若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错若注 意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题 即原式 = （1 2 1 ）（ 1+ 2 1 ）（1 3 1 ）（1+ 3 1 ） （ 1 10 1 ）（1+ 10 1 ） = 2 1 2 3 3 2 3 4 10 9 10 11 = 2 1 10 11 = 20 11 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘

21、法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b2=（ a+b） 2 2ab，a 2+b2=（ ab） 2+2ab 等 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效 如已知m+n=7，mn=18，求m 2+n2， m 2mn + n 2 的值 面对这样的问题就可用上述变式来解， 即m 2+n2=（m +n） 2 2mn =7 22（ 18）=49+36=85， m 2 mn+ n 2= （m +n） 2 3mn =7 23（ 18）=103 下列各题，难不倒你吧？！ 1、若a+ a 1 =5，求（ 1）a 2+ 2 1 a ， （2） （a a 1 ） 2 的值 2、求（ 2+1） （2 2+1）

22、（24+1） （ 28+1） （216+1） （232+1） （264+1）+1 的末位数字 （答案： 1. （ 1）23； （2）212. 6 ） 五、乘法公式应用的五个层次 乘法公式： (a b)(a b)=a 2b2，(ab)=a22abb2， (a b)(a 2abb2)=a3 b 3 第一层次正用 . ;. 即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用 例 1 计算 (2)(2xy)(2x y) (2) 原式 =( y) 2x(y) 2x=y 24x2 第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用 例 2 计算 (1)1998 21998399419972； 解(1) 原式 =1

23、998 221998199719972 =(19981997) 2=1 第三层次活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵 活应用公式 例 3 化简： (2 1)(2 21)(241)(281) 1 分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“21”便可连续应用平方差公式， 从而问题迎刃而解 解原式 =(2 1)(2 1)(2 21)(241)(28 1) 1 =(2 21)(22 1)(2 41)(281) 1=216 例 4 计算： (2x 3y 1)( 2x3y5) 分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但

24、常数不符于是可创造条件“拆”数：1=2 3，5=23，使用公式巧解 解原式 =(2x 3y3 2)( 2x3y32) =(2 3y) (2x 3)(23y) (2x 3)=(2 3y) 2(2x 3)2=9y24x212x12y5 . ;. 第四层次变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a 2b2=(ab)22ab，a3 b 3=(a b)33ab(a b)等，则求解十分简单、明快 例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a 22b2 和 a 3b3 的值 解：ab=9，ab=14， 2a 2 2b 2=2(a b)22ab=2(922 14)=106 ， a 3b3

25、=(a b)33ab(a b)=933149=351 第五层次综合后用：将 (a b) 2=a22abb2 和(a b) 2=a2 2ab b 2 综合， 可得 (a b) 2(a b)2=2(a2 b 2) ； (a b)2(a b)2=4ab； 等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷 例 6 计算： (2x yz5)(2x yz5) 解：原式 = 1 4 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5) 2-1 4 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5) 2 =(2x 5) 2(y z)2=4x220x25y22yzz2 六、正确认识和使用乘法公式 1、数形结合的数学思想认识乘法公

26、式： 对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2 、完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2； (a-b) 2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设 a、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意 的面积来认识乘法公式。 如图 1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2；图 2 中的两个图阴影部分面积分别为 (a+b) 2 与(a-b) 2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全 平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 与

27、(a-b) 2=a2-2ab+b2。 . ;. 2、乘法公式的使用技巧： 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。 例1、运用乘法公式计算： （1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1) 2 解： （1） (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1 2-(3x)2=1-9x2. （2） (-2m-1) 2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1. 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例2、运用乘法公式计算： （1）( 1 3a- 1 4b

28、 )(- 1 4b - a 3 ); （2）(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 解： （1） ( 1 3a- 1 4b )(- 1 4b - a 3 )=(- 1 4b+ 1 3a )(- 1 4b - 1 3a ) =( 1 4b- 1 3a )( 1 4b + 1 3a )=( 1 4b) 2- ( 1 3a) 2 = 1 16b 2- 1 9a 2 (2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4) =(x 2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16. 逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，

29、得a 2-b2 = (a+b)(a-b) ，逆用积的乘方公式，得 a nbn=(ab)n, 等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。 例3、计算： （1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 解： （1） (x/2+5) 2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5) =(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x10=10x. （2）(a-1/2) 2(a2+1/4) 2 (a+1/2) 2 =(a-1/2)(a 2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2) (a+1/

30、2) (a 2+1/4) 2 =(a 2-1/4 ) (a 2+1/4) 2 =(a 4-1/16 ) 2 =a 8-a4/8+1/256. 合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符 号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。 . ;. 计算： （1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解： （1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1 2-(x+y)2 =1-(x 2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-

31、y2. （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z) = (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) = (2x+5) 2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y2-2yz+z2) = 4x 2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x 2-y2-z2+2yz +20x+25 . 七、巧用公式做整式乘法 整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂， 在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运 算就显得简便易行。 一. 先分

32、组，再用公式 例 1. 计算：()()abcdabcd 简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式()abcd运用加法交换 律和结合律变形为()()bdac；将另一个整式()abcd变形为()()bdac，则从其中找出了 特点，从而利用平方差公式即可将其展开。 解：原式 ()()bdacbdac ()()bdac bbddaacc 22 2222 22 二. 先提公因式，再用公式 例 2. 计算：8 2 4 4 x y x y 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数 关系，若将第一个多项式中各项提公因

33、数2 出来，变为2 4 4 x y ，则可利用乘法公式。 解：原式 2 4 4 4 4 x y x y 2 4 4 32 8 2 2 2 2 x y x y 三. 先分项，再用公式 例 3. 计算：232 236xyxy 简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同， y 的系数互 为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2 分解成 4 与2的和，将6 分解成 4 与 2 的和，再 . ;. 分组，则可应用公式展开。 解：原式 = ()()24232423xyxy ()2423 41612129 2 2 22 xy xxyy 四. 先

34、整体展开，再用公式 例 4. 计算：()()ab ab221 简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即()ab21 ，再将第一个整式与之相乘，利 用平方差公式即可展开。 解：原式 () ()abab221 ()()()ab abab abab 222 42 22 五. 先补项，再用公式 例 5. 计算：331 31 31 31 842 ()()()() 简析：由观察整式()31，不难发现，若先补上一项()31，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步 展开，使运算变得简便易行。 解：原式 3 31 31 31 31 31 2 842 ()()()()() 3 31 31 31

35、 31 2 3 31 31 31 2 3 31 31 2 3 31 2 5 2 3 2 8422 844 88 16 16 ()()()() ()()() ()() () 六. 先用公式，再展开 例 6. 计算：1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 10 2222 简析：第一个整式1 1 2 2 可表示为1 1 2 2 2 ，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类 似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。 解：原式 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 4 1 1 4 1 1 10 1 1 10 . ;. 3 2 1 2 4 3 2 3 5 4 3 4 11

36、 10 9 10 11 20 七. 乘法公式交替用 例 7. 计算：()()()()xz xxzzxzxxzz 2222 22 简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘 法公式展开。 解：原式 ()() ()()xz xxzzxxzzxz 2222 22 ()()() ()xz xzxzxz 22 () () ()() () xzxz xz xz xz xx zx zz 33 3 223 642246 33 八、中考与乘法公式 1. 结论开放 例 1.（02 年济南中考）请你观察图1 中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可

37、得到一 个你非常熟悉的公式，这个公式是_。 分析：利用面积公式即可列出xyxyxy 22 或xyxyxy 22 或xyxxyy 2 22 2 在上述公式中任意选一个即可。 例 2.（03 年陕西中考） 如图 2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（ab） ，把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通 过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是_。 . ;. 分析：利用面积公式即可列出ab abab 22 或abab ab 22 2. 条件开放 例 3. （03 年四川中考）多项式91 2 x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单 项式可以是 _（填上你认为正

38、确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。 分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出 91631 2 2 xxx或91631 2 2 xxx只要再动点脑筋，还会得出 91 81 4 9 2 1 9113 242 2 2 2 xxx xx 9191 222 xx故所加的单项式可以是6x，或 81 4 4 x，或1，或9 2 x等。 3. 找规律 例 4.（01 年武汉中考）观察下列各式： xxx xxxx xxxxx 111 111 111 2 23 324 由猜想到的规律可得 xxxxx nnn 11 12 _。 分析：由已知等式观察可知 xxxxxx nnnn 111 121 4.

39、 推导新公式 例 5.在公式aaa121 2 2 中，当 a 分别取 1，2，3， n 时，可得下列n 个等式 111211 212221 313231 121 2 2 2 2 2 2 2 2 nnn . ;. 将这 n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式： 123n_（用含 n 的代数式表示） 分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得： nnn1121222 2 2 移项，整理得： 123 1 2 1nn n 例 6. （04 年临汾中考） 阅读材料并解答问题：我们已经知道， 完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示， 实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：223 22 ab abaabb就可以用图4 或图 5 等图表 示。 （1）请写出图6 中所表示的代数恒等式_； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示： ab abaabb343 22 （3）请仿照上述方法另写一个含有a，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。 解： （1）22225 22 abbaabab （2）如图 7