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1、2017学年第二学期镇海中学5 月校模拟考 高三年级数学学科 注意事项： 1本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答答题前，请在答题卷 的密封线内填写学校、班级、学号、姓名； 2 本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分。 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 参考公式： 如果事件 A, B 互斥 , 那么柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件 A, B 相互独立 , 那么其中 S表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 P(A B)=P(A) P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p, 那么 nV= 1 3 Sh 次独立重复
2、试验中事件A 恰好发生 k 次的概率其中 S表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 Pn(k)=C k np k (1p)n-k (k = 0,1,2, , n) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4 R2 1 () 11 22 3 Vh SS SS球的体积公式 其中 S1, S2分别表示台体的上、下底面积, V= 4 3 R3 h 表示台体的高其中 R 表示球的半径 第卷（选择题，共 40 分） 一、 选择题： 本大题共10 小题，每小题4分，共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的 1已知全集= RU,集合0| xxA，10|xxB，则BACU( ) A1| x
3、xB10|xxC0| xxDR 2已知i是虚数单位，复数2zi，则(12 )zi的共轭复数为( ) A2iB43iC43iD43i 3已知直线, ,a b m,其中,a b在平面内则 “,ma mb” 是 “m” 的( ) A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A3B 8 3 C 10 3 D 11 3 5记 77 017 211xaaxax，则 0126 aaaa的值为 ( ) A 1 B 2 C 129 D 2188 6已知不等式组 210, 2, 10, xy x xy 表示的平面区域为D，若
4、函数|1|yxm的图象上存 在区域 D 上的点，则实数m 的取值范围是 ( ) A 2,1B 1 2, 2 C 1 0, 2 D 3 1, 2 7甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至 少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ) A 18 种B 12 种C 36 种D 24 种 8设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F,椭圆C上的两点,A B关于原点对称， 且满足0,| | 2 |FA FBFBFAFB，则椭圆C的离心率的取值范围是( ) 2552 .,.,1).,31.31,1) 2332 ABCD 9已知函数 1 ln1
5、,1 21,1 x xx fx x ，则方程 3 20 4 ffxfx的实根个数 为( ) A 3 B 4 C 5 D 6 10已知直三棱柱 111 ABCA B C的侧棱长为6，且底面是边长为2 的正三角形，用一平面 截此棱柱， 与侧棱 1 AA, 1 BB, 1 CC分别交于三点 M, N, Q,若MNQ为直角三角形， 则 该直角三角形斜边长的最小值为( ) A 2 B 4 C2 2D2 3 第卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共7 小题 , 多空题每小题6 分，单空题每小题4 分, 共 36 分 11双曲线:C 2 2 1 4 x y的渐近线方程为_，设双曲线 22 22
6、1(0,0) xy ab ab 经 过点 (4,1),且与C具有相同渐近线, 则C的方程为 12 设数列 n a满足 12 3(21)2 n aanan n a的通项 n a，数列的 M A P B C N Q D 21 n a n 前n项和是 13随机变量X 的分布列如下： X 1 来源 学。科。网Z。X。X 。K 01 P a b c 来源 学 科网 Z|X|X|K 其中 a， b，c 成等差数列，则P(|X|1)，方差的最大值是 14 函数sinfxA x(0,0, 0)A的部分图 像如图所示，则 ，为了得到cosg xAx的图像，需将 函数yfx的图象最少向左平移个单位 15若实数 ,
7、 x y满足 11 4422 xyxy+ +=+ ，则 22 xy S=+ 的取值范围是 16已知 2 4yx抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于,A B两点，则 2 AF BF 的最小值为 17如图，在四边形ABCD中，1ABCD，点,M N分别是边 ,AD BC的中点，延长 BA和CD交NM的延长线于不同 的两点 ,P Q，则PQABDC的值为 三、解答题：本大题共5 小题 , 共 74 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 18.（本题满分14 分） 已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且3a， sinsin sin BAbc Cab （1）求角A的
8、大小； （2）求bc的取值范围 19 （本题满分15 分） 在三棱锥ABCD中，2ABADBD，2BCDC， 2AC （1）求证：BDAC； （2） 若点P为AC上一点， 且3APPC， 求直线BP与平面ACD所形成的角的正弦值 20（本题满分15 分）已知函数 2 ( )(2) xx fxaeaex （ 1）讨论( )f x的单调性； （ 2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 21已知椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab ， 2 1, 2 P 在椭圆上，离心率 2 2 e， 左、右焦点分别为 12 FF、 （1）求椭圆C的方程； （2）直线ykx（0k）与椭圆C交于A，
9、B，连接 1 AF， 1 BF并延长交椭圆C于D， E，连接 DE ，求 DE k与k之间的函数关系式 22我们称满足： 2 1 1 k nnn akaa（ * nN）的数列 na 为 “k级梦数列 ” （1）若 n a是“1级梦数列 ” 且 1 2a求： 23 11 11aa 和 43 11 11aa 的值； （2）若 na 是“1级梦数列 ” 且满足 1 3 1 2 a， 122017 111 2 aaa ，求 20 181 4aa的 最小值； （ 3） 若 n a是 “0级 梦 数 列 ” 且 1 1 2 a， 设 数 列 2 n a的 前n项 和 为 n S 证 明 ： 11 2221
10、 n S nnn （ * nN） 2017学年第二学期镇海中学5 月校模拟考 高三年级数学答案 A,C,B,C,C A,D,A,B,D 8.作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形， 又，即，故平行四边形为矩形，所以， 设，则在直角中，得， 整理得，令，得， 又由，得，所以， 所以离心率的取值范围是，故选 A. 11. 2 x y 22 1 123 xy 12. 22 21 21 n nn 13. 2 2 3 3 14. 63 15.(2, 4 16. 2 2217.0 18.（本题满分14 分） 已知锐角 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3a， sins
11、in sin BAbc Cab （1）求角A的大小； （2）求 bc的取值范围 【解析】： （1）由 sinsin sin BAbc Cab 及正弦定理得bababc c， 所以 222 abcbc 1 cos 2 A ， 3 A . （2）3a， 3 A ，所以 sinsinsin abc ABC 3 2 sin 3 ， 2 sinsinbcBC 2 2 sinsin 3 BB 23cos 3 B ， ABC 为锐角三角形，B的范围为 , 62 ，则 , 366 B ， cos 3 B 的取值范围是 3 ,1 2 ， 3,2 3bc . 19 （本题满分15 分） 在三棱锥ABCD中，2AB
12、ADBD，2BCDC， 2AC （1）求证：BDAC； （2）若点P为AC上一点， 且3APPC，求直线BP与平面ACD所形成的角的正弦值 【解析】（1）取BD中点E，连接AE，CE， 2ABADBD，又E为BD中点， AE BD， 同理可得：CEBD， 又AECEE，BD平面ACE， 又AC平面ACE，BDAC （2） 2ABADBD ，2BCDC， BCD为直角三角形，且3AE，1CE， 222 AEECAC， 2 AEC，即AEEC， 又AEBD，所以AE平面BCD， 以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系 010B,，010D,，10 0C, ,， 0 0
13、3A, ,， 设 000 ,P xyz,，01APAC，1 03AC， 000 3APxyz,， 000 ,310303xyz， 0 0 0 0 33 x y z ，即 0 0 0 0 33 x y z ， 033P, ,， =133BP,， 013DA， ，110DC,， 设 111 ,x y zn是平面ACD的法向量， 11 11 030 00 DAyz xyDC n n ，令 1 1x，得 1 1y， 1 3 3 z， 3 11 3 ,n， 2 2 2 26 sincos 7 7232 1 31 3 , BP BP BP n n n ， 由01，可知 2 7 2322 8 ， 214 3
14、 sin 77 ，sin的最大值为 4 3 7 3APPC，即 3 4 时，sin的值为 4 3 7 20（本题满分15 分）已知函数 2 ( )(2) xx fxaeaex （ 1）讨论( )f x的单调性； （ 2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 【解析】： （1）( )(21)(1) xx fxea e 若0a时，( )(21)(1)0 xx fxea e，所以( )f x在R上为减函数 若0a时，( )(21)(1)=0 xx fxea e，则 1 ln()x a 则：( )f x在 1 (,ln a 上为减函数， 1 ln,) a 上为增函数 （2） 1 (ln)0f a
15、即可 2 111111 (ln)()(2)ln1ln0faa aaaaaa 令 1 t a ，令( )1lng ttt在(0,)上为减函数 又因为：(1)0g，所以1t，所以 1 1 a ， 所以： a 的取值范围为01a 21已知椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab ， 2 1, 2 P 在椭圆上，离心率 2 2 e， 左、右焦点分别为 12 FF、 （1）求椭圆C的方程； （2）直线ykx（0k）与椭圆C交于A，B，连接 1 AF， 1 BF并延长交椭圆C于D， E，连接 DE ，求 DE k与k之间的函数关系式 【解析】（1）由 2 1, 2 P 在椭圆上，可得 22 11
16、 1 2ab ， 2ac， 又 222 abc，可得2a，1b，1c， 所以椭圆C的方程为 2 2 2 1 x y （2）设 00 ,A xy，则 00 ,Bxy，直线 0 0 1 :1 x MDxy y ， 代入 2 2 :1 2 x Cy，得 2 222 00000 12210xyyxy yy ， 因为 2 2 0 0 1 2 x y，代入化简得 22 0000 21320xyxy yy， 设 11 ,D x y， 22 ,E xy，则 2 0 01 0 23 y y y x ，所以 0 1 0 23 y y x ， 0 11 0 1 1 x xy y ， 直线 0 0 1 :1 x NE
17、 xy y ，同理可得 0 2 0 23 y y x ， 0 22 0 1 1 x xy y ， 所以 121212 00001212 12 1212 00000012 1 111 DE yyyyyy k xxxxyyyy xx yyyy yyyyyyyy 0 000 00 1 33 41 6 y k xxx yy ， 22我们称满足： 2 1 1 k nnn akaa（ * nN）的数列 n a为 “k级梦数列 ” （1）若 n a是“1级梦数列 ” 且 1 2a求： 23 11 11aa 和 43 11 11aa 的值； （2）若 n a是“1级梦数列 ” 且满足 1 3 1 2 a， 1
18、22017 111 2 aaa ，求 20181 4aa的 最小值； （ 3） 若 n a是 “0级 梦 数 列 ” 且 1 1 2 a， 设 数 列 2 n a的 前 n项 和 为 n S 证 明 ： 11 2221 n S nnn （ * nN） 【解析】： （1） n a是“1 级梦数列” ,所以 2 1 1 nnn aaa，当 n=2,3,4,时，代入可 求得 2343 111111 , 113117aaaa ； （2）由条件可得： 1 111 11 nnn aaa ， 12201712018 11111 2 11aaaaa 解得 1 2018 11 2111 322232 a a aa 201811 1 11117 42 32626 223222 aaa a 当且仅当 1 5 4 a时取等号 . （3）根据 2 1nnn aaa，可得 11nn saa 又由 2 1nnn aaa得 11 11 1,2 n nnn a aaa 累加得： 11 11 2 n nn aa ， 所以 1 11 212 n a nn 由得 *11 2221 n S nN nnn