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1、2011 年普通高等学 校招生全国统一考试 (湖南卷 ) 数学 (文史类) 本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分,共 6 页,时量 120 分钟 ,满分 150 分 参考公式 :(1) () (|) () P AB P BA P A ,其中,A B为两个基本事件,且( )0P A. (2)柱体体积公式VSh,其中S为底面面积 ,h为高 . (3)球的体积公式 3 4 3 VR,其中R为球的半径 . 一、选择题 :本大题共8 小题 ,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 . 1.设全集1,2,3, 4,5,2, 4, U UMNMC NUI则N
2、（） A.1,2,3B.1,3,5C.1,4,5D. 2,3,4 2.若,a bR i为虚数单位 ,且()ai ibi, 则 ( ) A.1,1abB. 1,1abC. 1,1abD. 1,1ab 3.“ 1x ”是“| 1x”的 ( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.设图 1 是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 ( ) A.942B.3618C. 9 12 2 D. 9 18 2 5.通过询问110 名性别不同的的大学生是否爱好某项运动, 得到如下 的列联表 . 由 2 2() ()()()() n adbc K ab cda
3、c bd 算得 , 2 2 110(40302020) 7.8 60506050 K , 附表如右下 , 参照附表 , 得到的正确 结论 ( ) A. 有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下 , 认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下 , 认为“爱好该项运动与性别无关” 6.设双曲线 22 2 1(0) 9 xy a a 的渐近线方程为320xy, 则a的值为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.曲线 sin1 sincos2 x y
4、 xx 在点(,0) 4 M 处的切线的斜率为( ) 男女总计 爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110 2 ()P Kk0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 A.- 1 2 B. 1 2 C. - 2 2 D. 2 2 8.已知函数 2 ( )1, ( )43. x f xeg xxx若有( )( )f ag b, 则b的取值范围为 ( ) A.2-2,2+2 B.(2-2,2+2)C. 1,3 D.(1,3) 二、填空题 : 本大题共 8 小题 , 考生作答7 小题 , 每小题 5 分 , 共 35 分. 把答案填在答题卡中
5、对应题 号后的横线上. ( 一) 选做题 (请考生在第9、10 两题中任选一题作答, 如果全做 , 则按前一题记分) 9.在直角坐标系xOy中, 曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 3 sin x y 为参数 ), 在极坐标系 ( 与直角 坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点 O为极点 , 以x轴正半轴为极轴 ) 中 , 曲线 2 C的方程 为(cossin)10, 则 1 C与 2 C的交点个数为. 10.已知某试验范围为10,90, 若用分数法进行4 次优选试验 , 则第二次试点可以是（只 写出其中一个也正确）. ( 二) 必做题 (11 16 题) 11.若执行如图2 所示的框图
6、 , 输入 1234 1,2,4,8,xxxx 则输出的数等于 . 12.已知( )f x为奇函数 ,( )( )9g xf x,( 2)3g, 则(2)f . 13.设向量 a,b 满足 | a|=25,b=(2,1), 且 a 与 b 的方向相反 , 则 a 的坐标为 . 14.设1m, 在约束条件 , , 1 yx ymx xy 下 , 目标函数5zxy 的大值为 4, 则m的值为。 15.已知圆 22 :12,Cxy直线:4325.lxy (1) 圆C的圆心到直线 l的距离为 ; (2) 圆C上任意一点 A到直线l的距离小于 2 的概率为 . 16.给定 * ,kN设函数 * :fN
7、* N满足 : 对于任意大于k的正整数, n ( )f nnk. (1) 设1,k则其中一个函数f在 1n 处的函数值为 ; (2) 设4,k且当 4n 时,2( )3f n, 则不同的函数f的个数为 . 三、解答题：本大题共6 个小题 , 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ( 本小题满分12 分) 在 ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为a, b, c, 且满足sincoscAaC. ( ) 求角C的大小； ( ) 求3 sincos() 4 AB的最大值 , 并求取得最大值时角,A B的大小 . 18. ( 本小题满分12 分) 某河流上一座水
8、力发电站, 每年六月份的发电量Y( 单位 : 万千瓦时 ) 与该河上游在六月份的降雨量 X( 单位 : 毫米 ) 有关 . 据统计 , 当70X时 ,460Y;X每增加 10,Y增加 5. 已知近 20 年X的值 为 :140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. ( ) 完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 ( ) 假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为概率, 求今 年六月份该水力发电站的发电量低于490( 万千瓦时 )
9、或超过 530( 万千瓦时 ) 的概率 . 19.( 本小题满分12 分) 如图 3, 在圆锥PO中. 已知2PO, O的直径2,AB点C在 AB上, 且 0 30CAB,D是AC的中点 . ( ) 证明 : AC平面POD； ( ) 求直线OC和平面PAC所成角的正弦值. 20.( 本小题满分13 分) 某企业在第1 年初购买一台价值为120 万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少. 从第 2 年到第 6 年, 每年初M的价值比上年初减少10 万元 ; 从第 7 年开始 ,每年初M的价值为上年初的 75%. ( ) 求第n年初M的价值 n a的表达式 ; ( ) 设 12n n aaa
10、A n L , 若 n A大于80 万元 , 则M继续使用 , 否则须在第n年初对M更新 . 证明 : 须在第 9 年初对M更新 . 降雨量70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 21.( 本小题满分13 分) 已知平面内一动点P到点(1,0)F的距离与点P到y轴距离的差等于1. ( ) 求动点P的轨迹C的方程 ; ( ) 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 ,l l, 设 1 l与轨迹C相交于 2 ,A B l与轨迹C相交 于点,D E求AD EB uuu r u uu r 的最小值 . 22.( 本小题满分13 分) 设函数 1 ( )ln
11、().f xxax aR x ( 讨论( )f x的单调性； ( ) 若( )f x有两个极值点 1 x和 2 x, 记过点 1122 (,(),(,()A xfxB xf x的直线的斜率为k. 问: 是 否存在,a使得2?ka若存在 ,求出a的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 2011 年湖南省文科数学参考答案 一、选择题 二、填空题 9. 2 10. 40 或 60 11. 15 4 12. 6 13. (-4,-2) 14. 3 15.(1) 5 ; (2) 1 6 16.(1) a(a 为正整数 ) ,(2) 16 17 【解析】 ( )由正弦定理得sinsinsincosCAAC
12、.因为0A, 所以sin0A. 从而 sincosCC. 又cos0C, 所以tan1C, 则 4 C. （）由 ( ) 知, 3 . 4 BA, 于是 3sincos()3sincos() 4 ABAA3sincos2sin() 6 AAA 因为 3 0, 4 A所以 11 . 6612 A从而当 62 A, 即 3 A时 ,2sin() 6 A取得最 大值 2. 综上所述 ,3 sincos() 4 AB的最大值为2. 此时 3 A, 12 B. 18 【解析】 ( )在所给的数据中,降雨量为110 毫米的有3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米有 3 个.故近 20 年六
13、月份降雨量频率分布表为 ( )由题知 P( “发电量低于490 万千瓦时或超过530 万千瓦时” ) =(490P Y或530)Y=(130P X或210)X=(70)(110)(220)P XP XP X = 1323 20202010 19 【解析】 ( 一法 ) ( )因为OA OC,D是AC的中点 ,所以ACOD. 又PO底面O,AC底面O, 所以ACPO. 因为,OD PO 是平面POD内的两条相交直线, 所以AC平面POD. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C A D ACB B 降雨量70 110 140 160 200 220 频率 1 20 3 20 4 20 7
14、 20 3 20 2 20 ( ) 由( )知, AC 平面POD, 而AC平面PAC, 所以平面 POD 平面PAC. 在平面POD中, 过O作OHPD于H, 则OH平面PAC, 连结CH, 则CH是OC在平面 PAC上的射影 .所以OCH是直线OC和平面PAC所成角 . 在Rt ODA中, 0 1 sin30 2 ODOA 在Rt POD中, 22 1 2 2 2 3 1 2 4 PO OD OH POOD . 在Rt OHC中, 2 sin 3 OH OCH OC , 故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为 2 3 . 20 【解析】 ( ) 当6n时, 数列 n a是首项为120, 公
15、差为 -10 的等差数列 , 120(1)1013010 n ann 当 6n 时 , 数列 n a是以 6 a为首项 , 公比为 3 4 的等比数列 , 又 6 70a, 所以 6 3 70( ) 4 n n a 因此 , 第n年初M的价值 n a的表达式 6 13010 ,6 3 70(),7 4 n n n n a n ( ) 设 n S表示数列 n a的前n项和 , 由等差及等比数列的求和公式得 当16n时,1205 (1),1205(1)1255 ; nn Snn nAnn 当7n时 , 由于 6 570,S 故 66 678 333 ()570704 1( )780210( ),
16、444 nn nn SSaaaL 63 780210 () 4 n n A n . 因为 n a是递减数列 , 所以 n A是递减数列 . 又 23 89 33 780210 ( )780210 ( ) 4779 44 8280,7680, 864996 AA 所以须在第9 年初对M更新 . 21 【 解 析 】 ( ) 设 动 点P的 坐 标 为( ,)x y, 由 题 意 有 22 (1)| 1.xyx. 化 简 得 2 22 | .yxx当0x时, 2 4 ;yx当0x时,0y. 所以 , 动点P的轨迹C的方程为 2 4 (0)yx x和0(0)yx. ( ) 由题知 , 直线 1 l的
17、斜率存在且不为0, 设为k, 则直线 1 l的方程为(1)yk x 由 22 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 设 1122 (,),(,)A xyB xy, 则 12 ,x x是上述方程的两个实根, 于是 12122 4 2,1xxxx k 因为 12 ll, 所以 2 l的斜率为 1 k . 设 3344 (,),(,)D xyE xy, 则同理可得 2 3434 24,1xxkxx 故() ()AD EBAFFDEFFBAFEFAF FBFDEFFD FB u uu r uu u ru uu ruuu ruu u ruuu ruu u r uuu ru
18、uu r uuu ruu u r u uu ruuu r uu u r =|AFFBFDEF uuu ruuu ruuu ru uu r = 1234 (1)(1)(1)(1)xxxx = 2 12123434 2 4 11121 12+41x xxxx xxxk k = 22 22 11 84()84216.kk kk 当且仅当 2 2 1 ,k k 即1k时,AD EB u uu r uu u r 取得最小值16. 22 【解析】 ( )( )f x定义域为(0,). 2 22 11 ( )1. axax fx xxx 令 2 ( )1g xxax, 其判别式 2 4a. (1) 当| 2
19、a时,0( )0fx. 故( )f x在(0,)上单调递增 . (2) 当2a时,0,( )0g x的两根都小于0. 在(0,)上,( )0fx. 故( )f x在(0,)上 单调递增 . (3) 当 2a 时, 0,( )0g x 的两根 22 12 44 ,. 22 aaaa xx 当 1 0xx时,( )0fx; 当 12 xxx时,( )0;fx当 2 xx时,( )0fx. 故( )f x分别在 12 (0,),(,)xx上单调递增 , 在 12 (,)x x上单调递减 . ( ) 由( ) 知,2a, 因为 12 121212 12 ()()()(lnln), xx f xf xxxaxx x x 所以 , 1212 121212 ()()lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx 又由 () 知, 12 1.x x于是 12 12 lnln 2. xx ka xx 若存在a, 使得2ka, 则 12 12 lnln 1. xx xx 即 1212 lnlnxxxx. 亦即 222 2 1 2ln0(1)xxx x .(*) 再由 () 知, 函数 1 ( )2lnh ttt t 在(0,)上上单调递增 , 而 2 1x, 所以 22 2 11 2ln12ln10 1 xx x .这与 (*) 式矛盾 . 故不存在a, 使得2ka.