2017年河南省郑州市中考数学二模试卷.pdf

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1、2017 年河南省郑州市中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 （3 分） 2017 的绝对值是（） A2017B2017CD 2 （3 分）下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （） ABCD 3 （3 分）随着信息技术的不断发展，微信已经成为人们生活中不可或缺的沟通 工具， 2017 年 2 月，腾讯公司发不了 2017 微信春节数据报告，报告中显 示， 全国今年除夕至初五微信红包收发总量约46 000 000 000个， 把 46 000 000 000 用科学记数法表示为（） A4.610 9 B4.610 10 C4

2、.610 11 D4610 8 4 （3 分）如图，把含30 角的直角三角板的直角顶点C 放在直线 a 上，其中 A=30 ，直角边 AC和斜边 AB分别与直线 b 相交，如果 ab，且 1=25 ，则 2 的度数为（） A20B25C30D35 5 （3 分）某校九年级一班全体学生2017 年中招理化生实验操作考试的成绩统 计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（） 成绩（分）3029282618 人数（人）324211 A该班共有 40 名学生 B该班学生这次考试成绩的平均数为29.4 分 C该班学生这次考试成绩的众数为30 分 D该班学生这次考试成绩的中位数为28 分 6 （3

3、 分）如图，两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，若 AB=3，BC=6 ， DE=2 ，则 DF的长为（） A4B5C6D7 7 （3 分）某校九年级学生从学校出发，到相距8 千米的科技馆参观，第一组学 生骑自行车先走，过了20 分钟，第二组学生乘汽车出发，结果两组学生同学 同时到达科技馆，已知第二组学生的速度是第一组学生速度的2 倍，设第一 组学生的速度为 x 千米/时，下面所列方程正确的是（） A=B=20C=D=20 8 （3 分）如图，等腰直角三角板ABC的斜边 AB与量角器的直径重合，点D 是 量角器上 60 刻度线的外端点，连接 CD交 AB于点 E， 则CEB的度数为

4、（） A60B65C70D75 9 （3 分）如图，四边形 AOBC和四边形 CDEF都是正方形，边 OA在 x轴上，边 OB在 y轴上，点 D在边 CB上，反比例函数 y=在第二象限的图象经过点E， 则正方形 AOBC和正方形 CDEF的面积之差为（） A12B10C8D6 10 （3 分）在平面直角坐标系中，若干个半径为1 的单位长度，圆心角为60 的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点 O 出发，向右沿这条曲线做上下起 伏运动（如图），点 P在直线上运动的速度为每秒1 个单位长度，点 P在弧线 上运动的速度为每秒个单位长度，则 2017 秒时，点 P的坐标是（） A （，） B （，）C

5、（2017，） D （2017，） 二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11 （3 分）计算：（ 1） 0+ = 12 （3 分）不等式组的最大整数解为 13 （3 分）如图，在平行四边形ABCD中，连接 AC ，按一下步骤作图，分别以 点 A，点 C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N， 作直线 MN 交 CD于点 E，交 AB 于点 F，若 AB=5，BC=3 ，则 ADE的周长 为 14 （3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 6，分别以 A、B为圆心，6 为半径画、 ，则图中阴影部分的面积为 15 （3 分）如图，在直角坐标系中，点A（2

6、，0） ，点 B（0，1） ，过点 A 的直线 l 垂直于线段 AB，点 P是直线 l 上一动点，过点 P作 PC x轴，垂足为 C，把 ACP沿 AP翻折 180 ，使点 C落在点 D 处若以 A，D，P 为顶点的三角形 与ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为 三、解答题（本大题共8 小题，共 75 分） 16 （8 分）先化简，再求值： 1，其中 a是方程 a 2a6=0的一个根 17 （9 分）为了进一步贯彻落实习近平总书记关于弘扬中华优秀传统文化的指 示精神，央视推出了一系列爱过益智竞赛节目，如中国谜语大会、 中国 成语大会、 中国汉字听写大会 、 中国诗词大会，节目受到了广大观

7、众的 普遍欢迎，我市某校拟举行语文学科节，校语文组打算模拟其中一个节目开 展一次竞赛活动，在全校范围内随机抽取了部分学生就“ 在这四个节目中，你 最喜欢的节目是哪一个？” 的问题进行了调查，要求只能从“A ： 中国谜语大 赛 ，B： 中国成语大会，C： 中国汉字听写大会 ，D： 中国诗词大会 ” 中选择一个选项，他们根据调查结果，绘制成了如下两幅不完整的统计图： 请你根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中， m=，D 选项所对应的圆心角度数为 ； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校共有 2000 名学生，请你估计其中选择D选项的学生有多少名？ （4）若九年级一班准备从甲、乙、丙

8、、丁四名同学中选择2 名同学代表班级参 加学校的比赛，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率 18 （9 分）四边形 ABCD的对角线交于点 E，且 AE=EC ，BE=ED ，以 AB为直径的 半圆过点 E，圆心为 O （1）利用图 1，求证：四边形ABCD是菱形 （2）如图 2，若 CD的延长线与半圆相切于点F，且直径 AB=8 ABD的面积为 的长 19 （9 分）已知关于 x 的方程 x 2（2k+1）x+k2+1=0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k=4，求该矩形的周长 20 （9 分）如图，高铁列车座位后面

9、的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂 直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图1、图 2 分别是小桌板收起时和 展开时的实物， 图 3 中的实线是小桌板展开后的示意图，其中 OB表示小桌板 桌面的宽度， BC表示小桌板的支架，连接OA，此时 OA=75厘米， AOB= ACB=37 ，且支架长 BC与桌面宽 OB 的长度之和等于OA 的长度，求点B 到 AC的距离 （参考数据 sin37 0.6，cos370.8，tan37 0.75） 21 （10 分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也 在逐年增加某商场从厂家购进了A、B 两种型号的空气净化器，两种净化器 的销售相关

10、信息见下表： A 型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元） 5102000 1052500 （1）每台 A 型空气净化器和 B型空气净化器的销售利润分别是多少？ （2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100 台，其中 B 型空气净化 器的进货量不少于A 型空气净化器的2 倍，为使该公司销售完这100 台空气 净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案； （3）已知 A 型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B 型空气净化器的净化能 力为 200m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为200m2，室内墙高 3m， 该场地负责人计划购买5 台空气净化器每天花费30 分钟将室内

11、空气净化一 新，若不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？ 22 （10 分）问题发现：如图1，在 ABC中， C=90 ，分别以 AC、BC为边向 外侧作正方形 ACDE和正方形 BCFG （1） ABC与DCF面积的关系是；（请在横线上填写 “ 相等” 或“ 不相等” ） （2）拓展探究：若 C 90 ， （1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2 给 出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，在四边形 ABCD中，AC BD，且 AC与 BD的和为 10， 分别以四边形 ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE 、正方形 BCHG 、正方 形 CDJI 、正

12、方形 DALK ，运用（ 2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最 大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由 23 （11 分）如图 1，抛物线 y=ax 2+bx+ 经过 A（1，0） ，B（7，0）两点，交 y 轴于 D 点，以 AB为边在 x 轴上方作等边三角形ABC （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴上方的抛物线上是否存在点M，是 SABM=SABC？若存在，请求 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，E是线段 AC上的动点， F是线段 BC上的动点， AF与 BE相交于点 P 若 CE=BF ，试猜想 AF与 BE的数量关系及 APB的度数，并说明

13、理由； 若 AF=BE ，当点 E由 A 运动到 C时，请直接写出点P经过的路径长 2017 年河南省郑州市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 【分析】 根据绝对值定义去掉这个数的负号 【解答】 解： 2017的绝对值是 2017 故选： A 【点评】此题考查了绝对值， 解题关键是掌握绝对值的规律一个正数的绝对值 是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 2 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转180 后能够与原图形完全重合即是中心 对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出 【解答】 解：A、此图形旋转 1

14、80 后能与原图形重合，此图形是中心对称图 形，也是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形旋转180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴 对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不 是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形旋转 180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是 轴对称图形，故此选项错误 故选： A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状 是解决问题的关键 3 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式， 其中 1| a| 10， n 为整数确 定 n 的值时，要看把

15、原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数 点移动的位数相同 当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：把 46 000 000 000用科学记数法表示为4.61010， 故选： B 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10 n 的 形式，其中 1| a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的 值 4 【分析】 先过点 B作 BDb，由直线 ab，可得 BDab，由两直线平行，内 错角相等，即可求得答案4 的度数，又由 ABC是含有 60 角的三角板，即 可求得 3 的度数，继而求得 2

16、 的度数 【解答】 解：过点 B作 BDb， 直线 ab， BD ab， 4=1=25 ， ABC=60 ， 3=ABC 4=60 25 =35 ， 2=3=35 故选： D 【点评】此题考查了平行线的性质 解题时注意辅助线的作法， 注意掌握两直线 平行，内错角相等定理的应用 5 【分析】 根据平均数、众数、中位数的定义进行计算即可 【解答】 解：A、32+4+2+1+1=40，该班共有 40名学生，故本选项错误； B、 （3032+294+282+1+181）40=29.4，故本选项错误； C、30 分出现的次数最多，众数为30，故本选项错误； D、第 20 和 21 两个数的平均数为30，

17、故中位数为 30，故本选项正确； 故选： D 【点评】本题考查了众数、 中位数以平均数， 掌握它们的计算方法是解题的关键 6 【分析】 根据平行线分线段成比例定理解答即可 【解答】 解：两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截， ， AB=3 ，BC=6 ，DE=2 ， EF=4 ， DF=DE +EF=2 +4=6， 故选： C 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比 例定理是解题的关键 7 【分析】设第一组学生的速度为xkm/h， 则第二组学生的速度为2xkm/h， 根据“ 第 一组学生所用时间比第二组学生所用时间多20 分钟” 列方程即可 【解答】

18、解：设第一组学生的速度为xkm/h，则第二组学生的速度为2xkm/h， 根据题意可列方程， 故选： A 【点评】本题主要考查根据实际问题列分式方程，理解题意找到题目蕴含的相等 关系是解题的关键 8 【分析】 先根据圆周角定理得到BCD= BOD=60 ，然后利用三角形内角和定 理即可求解 【解答】 解：如图， 一块直角三角板ABC的斜边 AB与量角器的直径重合， 点 A、B、C、D都在以 AB为直径的圆上， 点 D 是量角器上 60 刻度线的外端点，即 BOD=120 ， BCD= BOD=60 ， CEB=180 BCD ABC=75 故选： D 【点评】本题考查了圆周角定理： 在同圆或等圆

19、中， 同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半同时考查了三角形内角和定理 9 【分析】设正方形 AOBC的边长为 a， 正方形 CDEF的边长为 b， 则 E （ab， a+b） ， 所以 E点坐标为（ab， a+b） ， 再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（a+b） ?（ab）=8，因为 S正方形AOBC=a 2，S 正方形CDEF=b 2，从而求得正方形 AOBC和正 方形 CDEF的面积之差为 8 【解答】解：设正方形 AOBC的边长为 a，正方形 CDEF 的边长为 b，则 E （ab， a+b） ， （a+b）?（ab）=8， 整理为 a2b2=8， S正方形A

20、OBC=a 2，S 正方形CDEF=b2， S正方形AOBCS正方形CDEF=8， 故选： C 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k 为常 数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k， 即 xy=| k| ；也考查了正方形的性质 10 【分析】 设第 n 秒运动到 Pn（n 为自然数）点，根据点P 的运动规律找出部分 Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1（，） ，P4n+2（2n+1， 0） ，P4n+3（，） ，P4n+4（2n+2，0）” ，依此规律即可得出结论 【解答】 解：设第 n 秒运动到 Pn（n 为自然数

21、）点， 观察，发现规律： P1（，） ，P2（1，0） ，P3（，） ，P4（2，0） ，P5 （，） ， ， P4n+1（，） ，P4n+2（n+1，0） ，P4n+3（，） ，P4n+4（2n+2，0） 2017=4504+1， P2017为（，） 故选： A 【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属 于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标， 根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键 二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11 【分析】 任何不为零的零次幂都为1，所以（ 1）0=1，表示 4 的算术平方 根，是

22、2，相加即可 【解答】 解： （ 1）0+=1+2=3， 故答案为： 3 【点评】 本题考查了算术平方根和零次幂的计算，比较简单，熟记a0=1（a0） 是关键 12 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小 小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】 解：解不等式 2xx+1，得： x1， 解不等式2，得： x4， 不等式组的解集为 4x1， 则不等式组的最大整数解为0， 故答案为： 0 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组， 正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解 答此题的关键

23、13 【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3 ，CD=AB=5 ，再由垂直平分线的性 质得出 AE=CE ，据此可得出结论 【解答】 解：四边形 ABCD是平行四边形， AB=5，BC=3 ， AD=BC=3 ，CD=AB=5 由作图可知， MN 是线段 AC的垂直平分线， AE=CE ， ADE的周长 =AD+（DE +AE ）=AD+CD=3 +5=8 故答案为： 8 【点评】本题考查的是作图基本作图， 熟知线段垂直平分线的作法是解答此题 的关键 14 【分析】 如解答图，作辅助线，利用图形的对称性求解 【解答】 解：如图： 阴影部分的面积 =S正方形ABCDS扇形ABC2（长方形

24、 AFED的面积扇形 DAG的面积 三角形AGF 的面积） =362（363 3）=93 ， 故答案为： 93 【点评】本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据用图形的 对称性分析，主要考查学生的计算能力 15 【分析】求出直线 L 的解析式，证出 AOB PCA ，得出=，设 AC=m， 则 PC=2m ，根据 PCA PDA ，得出= ，当 PAD PBA 时，根 据=，AB=，求出 AP=2，m2+（2m）2=（2）2，得出 m=2， 从而求出 P点的坐标为（4， 4） 、（0， 4） ， 若PAD BPA ， 得出=， 求出 PA=，从而得出 m2+（2m） 2=（ ）2

25、，求出 m=，即可得出 P 点的坐标为（，1） 、 （，1） 【解答】 解：点 A（2，0） ，点 B（0，1） ， 直线 AB的解析式为 y=x+1 直线 l 过点 A（4，0） ，且 lAB， 直线 L的解析式为； y=2x4， BAO +PAC=90 ， PC x 轴， PAC +APC=90 ， BAO= APC ， AOB= ACP ， AOB PCA ， =， = ， 设 AC=m ，则 PC=2m ， PCA PDA ， AC=AD ，PC=PD ， = ， 如图 1：当 PAD PBA时， 则=， 则=， AB=， AP=2， m2+（2m）2=（2）2， m=2， 当 m=2

26、 时，PC=4 ，OC=4 ，P点的坐标为（ 4，4） ， 当 m=2 时，如图 2， PC=4 ，OC=0 ，P 点的坐标为（ 0，4） ， 如图 3，若 PAD BPA ， 则=， PA= AB=， 则 m2+（2m）2=（）2， m=， 当 m=时，PC=1 ，OC= ，P点的坐标为（，1） ， 当 m=时，如图 4，PC=1 ，OC= ，P点的坐标为（，1） ； 故答案为： P（4，4） ，p（0，4） ，P（，1） ，P（，1） 【点评】此题考查了一次函数的综合， 用到的知识点是相似三角形和全等三角形 的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意有 四个点 三、解

27、答题（本大题共8 小题，共 75 分） 16 【分析】原式第二项利用除法法则变形， 约分后两项通分并利用同分母分式的减 法法则计算得到最简结果，求出方程的解得到a 的值，代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 =1?=1=， 由方程 a2a6=0变形得： （a3） （a+2）=0， 解得： a=3或 a=2， a2，a=3， 则原式 = 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 【分析】 （1）求出 D 类所占的百分比即可求出m 的值；由 D 类的人数即可求出 D 选项所对应的圆心角度数； （2）求出 C选项的人数即可补全条形统计图； （3）由样本中 D 选项所

28、占的百分比即可求出该校共有2000 名学生，选择 D 选 项的学生数； （4）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解 【解答】 解： （1）总人数 =4422%=200人，所以 D 选项的百分比 =100%=36% ， 所以m=1 36% 22% 30%=12%； ，D 选项所对应的圆心角度数= 360 =129.6 故答案为： 12，129.6； （2）C选项的人数为 200244472=60人，补全条形统计图如图所示： （3）2000=720人； （4）画树形图得： 恰好抽到甲、乙两名同学的概率= 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及求 随机事件的概率

29、；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计 图，才能作出正确的判断和解决问题 18 【分析】 （1）先由 AE=EC 、BE=ED可判定四边形为平行四边形， 再根据 AEB=90 可判定该平行四边形为菱形； （2）连结 OF ，由切线可得 OF为ABD的高且 OF=4 ，从而可得 SABD，由 OE 为ABD的中位线可得 SOBE=SABD； 作 DHAB 于点 H，结合可知四边形OHDF为矩形，即 DH=OF=4 ，根据 sin DAB=知EOB= DAH=30 ，即 AOE=150 ，根据弧长公式可得答案 【解答】 解： （1）AE=EC ，BE=ED ， 四边形 ABCD是平行

30、四边形 AB为直径，且过点E， AEB=90 ，即 ACBD 四边形 ABCD是平行四边形， 四边形 ABCD是菱形 （2）连结 OF CD的延长线与半圆相切于点F， OF CF FC AB， OF即为 ABD中 AB边上的高 SABD=ABOF= 84=16， 点 O是 AB中点，点 E是 BD的中点， SOBE=SABD=4 过点 D 作 DHAB于点 H ABCD ，OFCF ， FO AB， F=FOB= DHO=90 四边形 OHDF为矩形，即 DH=OF=4 在 RtDAH中，sinDAB=， DAH=30 点 O，E分别为 AB，BD中点， OE AD， EOB= DAH=30

31、， 的长度 = 故答案为： 16， 【点评】本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质， 熟练掌握 其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键 19 【分析】 （1）根据关于 x 的方程 x2（2k+1）x+k2+1=0 有两个不相等的实数根， 得出 0，再解不等式即可； （2）当 k=4时，原方程 x29x+17=0，设方程的两根是x1、x2，则矩形两邻边的 长是 x1、x2，利用根与系数的关系得出x1+x2=9，再根据矩形的周长公式即可 得出该矩形的周长 【解答】解： （1）关于 x 的方程 x2（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根， 0， （2k+1） 24（k

32、2+1）0， 解得 k 则 k 的取值范围是 k； （2）当 k=4时，原方程可化为x29x+17=0， 设方程的两根是 x1、x2，则矩形两邻边的长是x1、x2， x1+x2=9， 该矩形的周长为2（x1+x2）=18 【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况 与判别式的关系：（1） 0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）=0 时，方程有两个相等的实数根； （3） 0 时，方程没有实数根 20 【分析】直接延长 OB交 AC于点 D，再表示出 BD，DO的长，进而得出 BD的长 【解答】 解：延长 OB交 AC于点 D， 由题可知： BD CA， 设 BC=

33、xcm ，则 BO=OA BC= （75x）cm， 在 RtCBD中， BD=BC?sin ACB=x?sin37=0.6x， DO=OB +BD=75x+0.6x=（750.4x）cm， 在 RtAOD中， DO=AO?cos AOD=75?cos37 =60cm， 750.4x=60， 解得： x=37.5， BD=0.6x=22.5cm ， 答：点 B到 AC的距离为 22.5cm 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解 题关键 21 【分析】 （1）设每台 A 型空气净化器的销售利润为x 元，每台 B型空气净化器的 销售利润为 y 元，根据表格中的数据，

34、 即可得出关于 x、y的二元一次方程组， 解之即可得出结论； （2）设购进 A 型空气净化器 m 台，则购进 B 型空气净化器（ 100m）台，根 据 B型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的 2 倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，设销售完这100 台空气净 化器后的总利润为w 元，根据总利润 =单件利润购进数量，即可得出w 关 于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）设应购买 A 型空气净化器 a 台，则购买 B 型空气净化器（ 5a）台，根据 两种空气净化器的净化能力结合活动场地的体积，即可得出关于a 的一元一 次不等式，

35、解之即可得出a 的取值范围，取其内的最小正整数即可 【解答】解： （1）设每台 A 型空气净化器的销售利润为x 元，每台 B 型空气净化 器的销售利润为 y 元， 根据题意得：， 解得： 答：每台 A 型空气净化器的销售利润为200 元，每台 B 型空气净化器的销售利 润为 100 元 （2）设购进 A 型空气净化器 m 台，则购进 B型空气净化器（ 100m）台， B型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2 倍， 100m2m， 解得： m 设销售完这 100 台空气净化器后的总利润为w 元， 根据题意得： w=200m+100（100m）=100m+10000， w 的值随着 m 的

36、增大而增大， 当 m=33 时，w 取最大值，最大值 =10033+10000=13300，此时 100m=67 答：为使该公司销售完这100 台空气净化器后的总利润最大， 应购进 A 型空气净 化器 33 台，购进 B型空气净化器 67 台 （3）设应购买 A 型空气净化器 a 台，则购买 B 型空气净化器（ 5a）台， 根据题意得： 300a+200（5a） 2003， 解得： a2 答：至少要购买 A 型空气净化器 2 台 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函 数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2） 根据总利润 =单件利

37、润购进数量，找出w 关于 m 的函数关系式；（3）根据 两种空气净化器的净化能力结合活动场地的体积，列出关于a 的一元一次不 等式 22 【分析】 （1）由正方形的性质可以得出AC=DC ，BC=FC ，ACB= DCF=90 ，即 可得出 ABC DFC而得出结论； （2）过点 A 作 APBC于点 P，过点 D作 DQFC交 FC于点 Q，通过证明 APC DQC就有 DQ=AP而得出结论； （3）由（ 2）得： SAEL=SABD，SBFG=SABC，SCIH=SCBD，SDJK=SDAC，得出阴影 部分的面和 S=SAEL+SBFG+SCIH+SDJK=2S四边形ABCD， 设 AC=

38、x ， 则 BD=10x，得出 S四边形ABCD= ACBD= x （10x）=x 2+5x= （x 5）2+，即可得出答案 【解答】 解： （1）相等；理由如下： 四边形 ACDE和四边形 BCFG 是正方形， AC=DC ，BC=FC ，ACD= BCF=90 ， ACB=90 ， DCF=90 =ACB ； 在ABC与DFC中， ABC DFC （AAS ） ABC与DFC的面积相等； 故答案为：相等； （2）解：成立理由如下： 延长 BC到点 P，过点 A 作 APBP于点 P；过点 D 作 DQFC于点 Q如图所示： APC= DQC=90 四边形 ACDE ，BCFG 均为正方形，

39、 AC=CD ，BC=CF ，ACP +PCD=90 ，DCQ +PCD=90 ， ACP= DCQ 在APC和DQC中， APC DQC （AAS ） ， AP=DQ 又SABC= BC?AP ，SDFC= FC?DQ ， SABC=SDFC； （3）图中阴影部分的面积和有最大值，理由如下： 由（2）得： SAEL=SABD，SBFG=SABC，SCIH=SCBD，SDJK=SDAC， 阴影部分的面和S=SAEL+SBFG+SCIH+SDJK=2S四边形ABCD， 设 AC=x ，则 BD=10 x， AC BD， S四边形ABCD= ACBD= x（10x）=x2+5x=（x5）2+， 0

40、， S四边形ABCD有最大值，最大值为， 图中阴影部分的面积和有最大值为25 【点评】本题是四边形综合题， 主要考查了正方形的性质、 全等三角形的判定及 性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式，平行四边形的性质，本题难 度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键 23 【分析】 （1）将点 A（1，0） ，B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b 方 程组，解关于 a、b 的方程组求得 a、b 的值即可； （2）过点 C作 CK x 轴，垂足为 K依据等边三角形的性质可求得CK=3，然 后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得SABM的面积，设 M（a，a2 2a+ ） ， 然后依

41、据三角形的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点 M 的坐标； （3）首先证明 BEC AFB ，依据全等三角形的性质可知：AF=BE ，CBE= BAF ，然后通过等量代换可得到FAB +ABP= ABP+CBE= ABC=60 ，最 后依据三角形的内角和定理可求得APB ； 当 AEBF时，由可知点 P 在以 AB为弦的圆上，过点M 作 MEAB，垂足 为 E 先求得 M 的半径， 然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当 AE=BF 时，点 P在 AB的垂直平分线上时， 过点 C作 CK AB，则点 P运动的路径 =CK 的长 【解答】解： （1） 将点 A （1， 0） ， B （7

42、， 0） 代入抛物线的解析式得：， 解得： a=，b=2 抛物线的解析式为y=x 22x+ （2）存在点 M，使得 SABM=SABC 理由：如图所示：过点C作 CK x 轴，垂足为 K ABC为等边三角形， AB=BC=AC=6 ，ACB=60 CK AB， KA=BK=3 ，ACK=30 CK=3 SABC=AB?CK= 63=9 SABM=9=12 设 M（a，a22a+） AB?| y| =12，即6（a 22a+ ）=12， 解得： a1=9，a2=1 点 M 的坐标为（ 9，4）或（ 1，4） （3）结论： AF=BE ，APB=120 ABC为等边三角形， BC=AB ，C= A

43、BF 在BEC和AFB中， ， BEC AFB AF=BE ，CBE= BAF FAB +ABP= ABP +CBE= ABC=60 APB=180 60 =120 当 AEBF时，由可知点 P 在以 AB为弦的圆上，过点M 作 MEAB，垂足 为 E APB=120 ， N=60 AMB=120 又MEAB，垂足为 E， AE=BE=3 ，AME=60 AM=2 点 P运动的路径 = 当 AE=BF时，点 P 在 AB 的垂直平分线上时，如图所示：过点C作 CK AB，则 点 P运动的路径 =CK的长 AC=6 ，CAK=60 ， KC=3 点 P运动的路径为 3 综上所述，点 P 运动的路径为 3或 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数 法求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、扇 形的弧长公式，判断出点P运动的轨迹生成的图形的形状是解题的关键