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1、数学试卷 课时提升作业 ( 二十一 ) 空间向量的数乘运算 (30 分钟50 分) 一、选择题 ( 每小题 3 分, 共 18 分) 1. 在平行六面体 ABCD-A 1B1C1D1中, 向量,是( ) A.有相同起点的向量B.等长向量 C.共面向量D.不共面向量 【解析】 选 C.由题意知 ,=-,所以向量,是共面向 量. 2.(2014 沈阳高二检测 ) 下列命题中正确的是 ( ) A.若 ab, bc, 则 a 与 c 所在直线平行 B.向量 a, b, c 共面即它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面 D.若 ab, 则存在惟一的实数 , 使 a=b 【解析】 选 C.对 A.若
2、a b,bc,则 a 与 c 所在直线平行 ,错误.当 b= 0 时不成立 ;B. 向量 a,b,c 共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空 间任意两个向量共面 ,正确;D.若 a b,则存在惟一的实数 ,使 a= b,错误,当 b= 0 时不成立 . 【变式训练】与共线是直线 AB CD的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 数学试卷 【解析】 选 B.若与共线,则,此时 AB 与 CD 可能平行也可能为同一 直线;而若 AB CD,则必有与共线. 3.(2014 西安高二检测 ) 对空间任一点 O和不共线三点 A,B
3、,C, 能得到 P,A,B,C 四点共面的是 ( ) A.=+ B.=+ C.=-+ D.以上都不对 【解析】 选 B.因为=+, 所以 3=+, 所以-=(-)+(-), 所以=+, 所以=-,所以 P ,A,B,C 共面. 【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点 A,B,C 有 6=+2+3, 则( ) A.四点 O,A,B,C 必共面 B.四点 P,A,B,C 必共面 C.四点 O,P,B,C 必共面 D.五点 O,P,A,B,C 必共面 【解析】 选B.由 6=+2+3, 得(-)=2(-)+3(-), 即=2+3. 由共面向量定理 ,知 P ,A,B,C 四点共面 . 数学试卷
4、 4. 已知两非零向量 e1, e2不共线 , 设 a=e1+e2( , R且, 0), 则 ( ) A.ae1B.ae2 C.a 与 e1, e2共面D.以上三种情况均有可能 【解析】 选 C.若 a e1,则存在实数 t 使得 a=t e1, 所以 te1= e1+ e2,所以(t- )e1= e2, 则 e1与 e2共线,不符合题意 . 同理,a 与 e2也不平行 . 由向量共面的充要条件知C 正确. 5.(2019 南宁高二检测 ) 已知 O,A,B 是平面上的三个点 , 直线 AB上有一点 C,满 足 2+=0,则等于( ) A.2-B.-+2 C.-D.-+ 【解析】 选 A.由已
5、知得 2(-)+(-)= 0, 所以=2-. 6. 如 图 所 示, 在平 行 六 面体ABCD-A1B1C1D1中 ,M 为AC 与BD 的 交 点 . 若 =a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 ( ) A.-a+ b+c B. a+ b+c C. a- b+c D.- a- b+c 数学试卷 【解析】 选 A.=+ =+ (-)=+- =- a+ b+ c. 二、填空题 ( 每小题 4 分, 共 12 分) 7. 已知 e1,e2是不共线向量 , a=3e1+4e2, b=-3e1+8e2, 则 a与 b是否共线( 填 是或否). 【解析】 设 a= b, 即 3e1+4 e2=
6、(-3 e1+8 e2)=-3 e1+8 e2, 所以? 所以不存在 ,使 a= b,即 a 与 b 不共线. 答案:否 8.(2019 福州高二检测 )如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为 AB,B1C的中 点. 用,表示向量,则= . 【解析】=+ =+ (+) =+ (-+) =+. 数学试卷 答案:+ 9. 如图所示 , 在四棱锥 O-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形 ,=a,=b,=c, 若=xa+yb+zc, 则 x+y+z= . 【解析】 在 OBD 中,=+=+- =+- =+-(-) =+- = a-b+ c, 故 x+y+z=1. 答案
7、:1 三、解答题 ( 每小题 10 分,共 20 分) 10. 在平行六面体 ABCD-A 1B1C1D1中,=,=2. 设=a,=b,=c, 试用 a, b, c 表示. 【解题指南】 先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量 ,然 后进一步用 a,b,c 表示. 【解析】 如图所示 ,连接 AN, 数学试卷 则=- =+- =+- (+) =+ (-)- (+) = c+ (b-c)- (a+b) =- a+ b+ c. 【拓展延伸】 数形结合法表示向量 用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形, 利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已
8、知向量.本题也可以 先将表示为=+. 11.(2019 武汉高二检测 ) 已知 A,B,C 三点不共线 ,对平面 ABC外的任意一点 O, 若点 M满足=+. (1) 判断,三个向量是否共面 . (2) 判断点 M是否在平面 ABC内. 【解析】 (1)由已知,得+=3, 所以-=(-)+(-), 所以=+=-. 所以向量,共面. 数学试卷 (2) 由(1) 知向量,共面 ,三个向量的基线又过同一点M, 所以四点 M,A,B,C 共面, 所以点 M 在平面 ABC 内. 【变式训练】 直线 AB,CD为两异面直线 ,M,N 分别为线段 AC,BD的中点, 求证: 向 量,共面. 【证明】 如图
9、, 在封闭图形 ABNM 中, =+, 在封闭图形 CDNM 中, =+, 又因为 M,N 分别为线段 AC,BD 的中点 , 所以+= 0,+=0, +得 2=+, 即=+, 所以向量,共面. (30 分钟50 分) 一、选择题 ( 每小题 4 分, 共 16 分) 1.(2019 泰安高二检测 ) 如图所示 , 已知 A,B,C 三点不共线 ,P 为平面 ABC内一定 点,O 为平面 ABC外任一点 , 则下列能表示向量的为( ) 数学试卷 A.+2+2B.-3-2 C.+3-2D.+2-3 【解析】 选 C.根据 A,B,C,P 四点共面的充要条件可知=x+y.由图知 x=3,y=-2,
10、 所以=+3-2. 2.(2019 济南高二检测) 下列命题 : 若A,B,C,D 是空间任意四点, 则有 +=0; | a|-|b|=| a+b| 是 a, b共线的充要条件 ; 若 a, b共线, 则 a 与 b 所 在直 线 平 行 ; 对 空 间 任 意 一 点P 与不 共 线 的 三 点A,B,C, 若 =x+y+z(x,y,zR), 则 P,A,B,C 四点共面 .其中不正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选 C.若 A,B,C,D 是空间任意四点 ,则有+= 0 正确; |a|-|b|=| a+ b|是 a,b 共线的充要条件 ,错误; 若 a,b
11、 共线,则 a 与 b 所在直线平行 ,错误,有可能是共线、 平行或者其中有零向 量; 对空间任意一点P 与不共线的三点 A,B,C,若=x+y+z(x,y,zR)且 x+y+z=1,则 P ,A,B,C 四点共面 . 【变式训练】 在下列条件中 , 使 M与 A,B,C 一定共面的是 ( ) A.=3-2- B.+=0 数学试卷 C.+=0 D.=-+ 【解析】 选 C.因为+= 0, 所以=-, 所以 M 与 A,B,C 必共面 . 3.(2019 温州高二检测 ) 空间四边形 ABCD, 连接 AC,BD,设 M,G分别是 BC,CD的 中点,则-+等于( ) A.B.3C.3D.2 【
12、解析】选 B.-+=-(-)=-=+=+2=3. 4.(2019 石家庄高二检测 ) 已知点 M在平面 ABC内, 并且对空间任意一点O,有 =x+, 则 x 的值为 ( ) A.1 B.0 C.3 D. 【 解 析 】 选 D. 因 为=x+,且 M,A,B,C四 点 共面 ,所 以 x+ + =1,x=. 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 5. 已知 i 与 j 不共线, 则存在两个非零常数m,n,使 k=m i+nj 是 i, j, k 共面的 条件( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也 不必要”中的一个 ). 【解析】 若 i 不平行于 j,则 k 与
13、i,j 共面? 存在惟一的一对实数x,y 使 k=x i+y j. 答案:充要 6. 有下列命题 : 若, 则 A,B,C,D 四点共线 ; 数学试卷 若, 则 A,B,C 三点共线 ; 若 e1, e2为不共线的非零向量 , a=4e1- e2,b=-e1+e2, 则 ab; 若 向 量e1,e2,e3是 三 个 不 共 面 的 向 量 , 且 满 足 等 式k1e1+k2e2+k3e3=0, 则 k1=k2=k3=0. 其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上). 【解析】 根据共线向量的定义 ,若,则 AB CD 或 A,B,C,D 四点共线 ,故 错;且,有公共点 A,所以正确
14、;由于 a=4 e1- e2=-4 b,所以 a b,故 正确;易知也正确 . 答案: 三、解答题 ( 每小题 12 分,共 24 分) 7. 设 A,B,C 及 A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点 ,而 M,N,P,Q 分别是线段 AA1,BA1,BB1,CC1的中点. 求证:M,N,P,Q 四点共面 . 【证明】 如图,过 B1作 l3l1取点 C2l3且 BC=B1C2. 因为=, =, 所以=2,=2. 因为 A,B,C 及 A1,B1,C1分别共线 , 所以= =2 , = =2 . 于是=+=+=+ (-)= (+) = (2+2 )= +. 因此,共面.故 M,N,P,Q 四点共面 . 8. 已知斜三棱柱ABC-A BC, 设=a,=b,=c. 在面对角线 AC 上和棱 数学试卷 BC上分别取点 M和 N,使=k,=k(0 k1). 求证:(1)与向量 a 和 c共面. (2)MN面 AAB. 【证明】 (1)显然=k=k b+k c, 且=+= a+k = a+k(- a+ b)=(1-k) a+k b, =-=(1-k) a+k b-kb-kc =(1-k) a-kc. 因此,与向量 a 和 c共面. (2)由(1)知与向量 a,c 共面, a,c 在面 A AB 内,而不在面 A AB 内, 所以 MN 面A AB.