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1、第 1 页（共 23 页） 第 1 章 三角形的初步认识 一、选择题 1下列各组线段中，能组成三角形的是（） A4， 6，10 B 3， 6，7 C5，6，12 D 2，3，6 2在 ABC中， A C=B，那么 ABC是（） A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形 3如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AO B=AOB的依据是 （） ASAS BSSS CAAS DASA 4如图 AB AD ，AB BC，则以 AB为一条高线的三角形共有（）个 A1 B2 C3 D4 5如图所示， BDC 是将长方形纸片ABCD 沿 BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）
2、共有 全等三角形（）对 A2 B3 C4 D5 6下列是命题的是（） A作两条相交直线B 和 相等吗？ C全等三角形对应边相等 D 若 a 2=4，求 a 的值 7下列命题中，真命题是（） 第 2 页（共 23 页） A垂直于同一直线的两条直线平行 B有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C三角形三个内角中，至少有2 个锐角 D有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 8如图，对任意的五角星，结论正确的是（） A A+B+ C+D+ E=90 B A+B+C+D+E=180 C A+B+ C+D+ E=270 D A+B+C+D+E=360 9如图，在 ABC中， C=90 ， AC
3、=BC ，AD是 ABC的角平分线， DE AB于 E若 AB=6cm ，则 DEB的周长为（） A5cm B6cm C7cm D8cm 10 如图，BF是 ABD的平分线，CE是 ACD的平分线，BF与 CE交于 G ， 若BDC=130 ，BGC=100 ， 则 A的度数为（） A60 B70 C80 D 90 二、填空题 第 3 页（共 23 页） 11工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB ， CD两根木条），这样做的依据是_ 12把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：_ 13 如图，在 ABC中， AD BC于 D， AE为 BAC
4、的平分线，且DAE=15 ，B=35 ，则C=_ 14如图， AB=AC ，要使 ABE ACD ，应添加的条件是_（添加一个条件即可） 15命题“若x （ 1x）=0，则 x=0”是 _命题（填“真”、 假），证明时可举出的反例是_ 16已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简 |x 5|+|x 13|=_ 17如图，在 ABC中， AB=AC ，AB的中垂线DE交 AC于点 D，交 AB于点 E，如果 BC=10 ， DBC的 周长为 22，那么 AB=_ 18如图所示，E=F=90， B=C，AE=AF 给出下列结论：1=2；BE=CF ； ACN ABM ；CD=DN其中正确的结论是
5、_（将你认为正确的结论的序号都填上） 第 4 页（共 23 页） 19已知， =50，且的两边与的两边互相垂直，则=_ 20若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有_种 三、解答题 21如图，已知ABC ，请按下列要求作图： （1）用直尺和圆规作ABC的角平分线CG （2）作 BC边上的高线（本小题作图工具不限） （3）用直尺和圆规作DEF ，使 DEF ABC 22阅读填空： 如图，已知 AOB 要画出 AOB的平分线，可分别在OA ，OB上截取 OC=OD ，OE=OF ，连结 CF， DE ， 交于 P点，那么射线OP就是 AOB的平分线 要证明这个作法是正确的，可先证
6、明EOD _，判定依据是_，由此得到 OED= _；再证明 PEC _，判定依据是_，由此又得到PE=_；最后证明EOP _，判定依据是 _，从而便可证明出AOP= BOP ，即 OP平分 AOB 23证明命题“全等三角形对应边上的高相等” 24已知：如图，在ABC中， BAC=90 ， AB=AC ，MN是经过点A的直线， BDMN ，CE MN ，垂足 分别为 D、E （1）求证：BAD= ACE ；BD=AE ； 第 5 页（共 23 页） （2）请写出BD ，DE ，CE三者间的数量关系式，并证明 第 6 页（共 23 页） 第 1 章 三角形的初步认识 参考答案与试题解析 一、选择题
7、 1下列各组线段中，能组成三角形的是（） A4， 6，10 B 3， 6，7 C5，6，12 D 2，3，6 【考点】三角形三边关系 【分析】三角形的任意两边之和都大于第三边，根据以上定理逐个判断即可 【解答】解： A、 4+6=10，不符合三角形三边关系定理， 以 4、 6、10 为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； B、 3+67， 6+7 3，3+76，符合三角形三边关系定理， 以 3、 6、7 为三角形的三边，能组成三角形，故本选项正确； C、 5+612，不符合三角形三边关系定理， 以 5、 6、12 为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； D、 2+36，不符合三
8、角形三边关系定理， 以 2、 3、6 为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； 故选 B 【点评】本题考查了对三角形三边关系定理的应用，能熟记三角形三边关系定理的内容是解此题的 关键 2在 ABC中， A C=B，那么 ABC是（） A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形 【考点】三角形内角和定理 【分析】根据三角形内角和定理得到A+B+C=180 ，则 A+B=180 C，由 A=B C 变形得 A+B=C，则 180 C=C，解得 C=90 ，即可判断ABC的形状 【解答】解：A+B+C=180 ， C+B=180 A， 而 A C= B， 第 7 页（共 23 页） C+
9、B=A， 180 A=A，解得 A=90 ， ABC为直角三角形 故选 D 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180，直角三角形的判定，熟记掌握 三角形的内角和是解题的关键 3如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AO B=AOB的依据是 （） ASAS BSSS CAAS DASA 【考点】作图基本作图；全等三角形的判定 【分析】由作法易得OD=O D，OC=O C，CD=C D，根据SSS可得到三角形全等 【解答】解：由作法易得OD=O D，OC=O C，CD=C D，依据SSS可判定 COD COD ， 故选： B 【点评】本题主要考查了全等三角形的
10、判定，关键是掌握全等三角形的判定定理 4如图 AB AD ，AB BC，则以 AB为一条高线的三角形共有（）个 A1 B2 C3 D4 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】由于ABAD ，AB BC ，根据三角形的高的定义，可确定以AB为一条高线的三角形的个数 【解答】解：AB AD ，AB BC ， 以 AB为一条高线的三角形有ABD ， ABE ， ABC ， ACE ，一共 4 个 故选 D 第 8 页（共 23 页） 【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定 三角形的高比较灵活 5如图所示， BDC 是将长方形纸片ABCD 沿 BD
11、折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有 全等三角形（）对 A2 B3 C4 D5 【考点】全等三角形的判定 【分析】从最简单的开始找，因为图形对折，所以首先CDB CDB ，由于四边形是长方形所以， ABD CDB 进而可得另有2 对，分别为：ABE CDE ， ABD CDB ，如此答案可得 【解答】解： BDC 是将长方形纸片ABCD 沿 BD折叠得到的， CD=CD ，BC =BC ， BD=BD ， CDB CDB （ SSS ）， 同理可证明：ABE CDE ， ABD CDB ， ABD CDB三对全等 所以，共有4 对全等三角形 故选 C 【点评】 本题考查三角形全等的判定方
12、法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL 注意： AAA 、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一 角对应相等时，角必须是两边的夹角做题时要由易到难，循序渐进 6下列是命题的是（） A作两条相交直线B 和 相等吗？ C全等三角形对应边相等 D 若 a 2=4，求 a 的值 【考点】命题与定理 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断 【解答】解： A、“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； 第 9 页（共 23 页） B、“和 相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以A选项错误； C、全等三角形对应边相等，它
13、是命题，所以C选项正确； D、“若 a 2=4，求 a 的值”为描叙性语言，它不是命题，所以 D选项错误 故选 C 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两 部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 7下列命题中，真命题是（） A垂直于同一直线的两条直线平行 B有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C三角形三个内角中，至少有2 个锐角 D有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 【考点】命题与定理 【分析】利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐
14、角的性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解： A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题； B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故错误，为假命题； C、三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题； D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题， 故选 C 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂线的性质、全等三角形的判定、锐角 的性质，难度不大 8如图，对任意的五角星，结论正确的是（） 第 10 页（共 23 页） A A+B+ C+D+ E=90 B A+B+C+D+E=180 C A+B+ C+D+ E=270
15、 D A+B+C+D+E=360 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到1=2+D， 2=A+C， 根据三角形内角和定理得到答案 【解答】解：1=2+D， 2= A+C ， 1=A+C+D， 1+B+E=180 ， A+B+C+D+E=180 ， 故选： B 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和是解题的关键 9如图，在 ABC中， C=90 ， AC=BC ，AD是 ABC的角平分线， DE AB于 E若 AB=6cm ，则 DEB的周长为（） A5cm B
16、6cm C7cm D8cm 【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE ，然后求出DEB的周长 =AB即可得 解 第 11 页（共 23 页） 【解答】解：AD是 ABC的角平分线， DE AB ， CD=DE ， DEB的周长 =BD+DE+BE ， =BD+CD+BE， =BC+BE ， =AC+BE ， =AE+BE ， =AB ， AB=6cm ， DEB的周长 =6cm 故选 B 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记 性质是解题的关键 10 如图，BF是 ABD的平分线，CE是
17、 ACD的平分线，BF与 CE交于 G ， 若BDC=130 ，BGC=100 ， 则 A的度数为（） A60 B70 C80 D 90 【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高 【专题】探究型 【分析】根据三角形内角和定理可求得DBC+ DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角 平分线的定义可求得ABC+ ACB的度数，从而不难求得A的度数 【解答】解：连接BC BDC=130 ， DBC+ DCB=180 130=50， BGC=100 ， 第 12 页（共 23 页） GBC+ GCB=180 100=80， BF是 ABD的平分线， CE是 ACD的平分线， GBD+
18、 GCD= ABD+ ACD=30 ， ABC+ ACB=110 ， A=180 110=70 故选 B 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键 二、填空题 11工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB ， CD两根木条），这样做的依据是三角形的稳定性 【考点】三角形的稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可 【解答】解：这样做的依据是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状 和大小就能唯一确定下来，故三角形
19、具有稳定性 12把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：如果两个角是对顶角，那么它们相 等 【考点】命题与定理 第 13 页（共 23 页） 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在 “那么”的后面 【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等 【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么” 后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单 13 如图，在 ABC中， AD BC于
20、D， AE为 BAC的平分线，且DAE=15 ，B=35 ，则 C= 65 【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理 【分析】利用三角形内角和定理求得AED=75 ；然后根据已知条件和三角形外角定理可以求得 BAE的度数；最后结合三角形角平分线的定义和三角形内角和定理进行解答 【解答】解：如图，AD BC ， ADE=90 又 DAE=15 ， AED=75 B=35 ， BAE= AED B=40 又 AE为 BAC的平分线， BAC=2 BAE=80 ， C=180 BBAC=65 故答案是： 65 第 14 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，垂直的性质
21、，角平分线的性质，关键在于熟练运用个性 质定理推出相关角之间的关系 14如图，AB=AC ，要使 ABE ACD ，应添加的条件是 B=C或 AE=AD （添加一个条件即可） 【考点】全等三角形的判定 【专题】开放型 【分析】 要使 ABE ACD ，已知 AB=AC ，A=A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等， 或添加一个角从而利用AAS来判定其全等 【解答】解：添加B=C或 AE=AD 后可分别根据ASA 、SAS判定 ABE ACD 故答案为： B=C或 AE=AD 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、 AAS
22、、 HL添加时注意：AAA 、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选 择条件是正确解答本题的关键 15 命题“若x （1x）=0， 则 x=0”是假命题（填“真”、 假）， 证明时可举出的反例是x=1 【考点】命题与定理 【分析】要证明一个命题是假命题只要举一个反例即可 【解答】解：当x=1 时， x（ 1x）=0也成立，所以证明命题“若x（1x） =0，则 x=0”是假命题 的反例是： x=1， 故答案为：假，x=1 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解学生对反例证法的掌握情况，属于基础题， 比较简单 16已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简
23、|x 5|+|x 13|= 8 【考点】三角形三边关系 【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x5 和 x13 的值，然后去绝对值符号求解即可 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：三角形的三边长分别是3、x、9， 6x12， x50，x13 0， |x 5|+|x 13|=x 5+13x=8， 故答案为： 8 【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三边关系确定x 的取值范围，从而 确定绝对值内的代数式的符号，难度不大 17如图，在 ABC中， AB=AC ，AB的中垂线DE交 AC于点 D，交 AB于点 E，如果 BC=10 ， DBC的 周长为 22，那么 AB=
24、 12 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【分析】由AB的中垂线DE交 AC于点 D，交 AB于点 E，可得 AD=BD ，又由 BC=10 ， DBC的周长为 22，可求得AC的长，继而求得答案 【解答】解：AB的中垂线DE交 AC于点 D，交 AB于点 E ， AD=BD ， DBC的周长为 22， BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22， BC=10 ， AC=12 AB=AC ， AB=12 故答案为： 12 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形 结合思想的应用 第 16 页（共 23 页） 18如图所示，E=
25、F=90， B=C，AE=AF 给出下列结论：1=2；BE=CF ； ACN ABM ；CD=DN其中正确的结论是（将你认为正确的结论的序号都填上） 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题 中结论是否正确 【解答】解：E=F=90， B=C，AE=AF ， ABE ACF ， AC=AB ，BE=CF ，即结论正确； AC=AB ， B=C， CAN= BAM ， ACN ABM ，即结论正确； BAE= CAF ， 1=BAE BAC ， 2=CAF BAC ， 1=2，即结论正确； AEM AFN ， AM=A
26、N ， CM=BN ， CDM BDN ， CD=BD ， 题中正确的结论应该是 故答案为： 【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题 的关键 19已知， =50，且的两边与的两边互相垂直，则=130或 50 【考点】垂线 【专题】分类讨论 【分析】根据题意画出图形，然后分情况进行讨论分析即可 【解答】解：如图1， a+=1809090=180， =50， 第 17 页（共 23 页） =130， 如图 2，若 a 的两边分别与的两边在同一条直线上， a=50， 综上所述， =130或50 故答案是： 130或50 【点评】本题主要考查角的计算，垂
27、线的性质，关键在于根据题意画出图形，分情况进行讨论分析 20若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有4 种 【考点】三角形三边关系 【分析】三角形的三边中，等边三角形三边相等；除此外，必有一边是最长边；然后首先确定第三 边的取值范围，从而确定答案 【解答】解：设三边长分别为abc，则 a+b=13 cc， c，故 c=5，或 6；分类讨论如下： 当 c=5 时， b=4，a=4 或 b=3，a=5； 当 c=6 时， b=5，a=2 或 b=4，a=3； 满足条件的三角形的个数为4， 故答案为： 4 第 18 页（共 23 页） 【点评】本题考查了三角形的三边关系，属竞赛题型
28、，且涉及分类讨论的思想解答的关键是找到 三边的取值范围及对三角形三边的理解把握 三、解答题 21如图，已知ABC ，请按下列要求作图： （1）用直尺和圆规作ABC的角平分线CG （2）作 BC边上的高线（本小题作图工具不限） （3）用直尺和圆规作DEF ，使 DEF ABC 【考点】作图复杂作图 【专题】作图题 【分析】（ 1）利用基本作图（作已知角的平分线）画ACB的平分线OG ； （2）过点 A作 AH BC于 H，则 AH为 BC边上的高； （3）先作线段EF=BC ，然后分别以E、F为圆心， BA和 CA为半径画弧，两弧交于点D，则 DEF与 ABC全等 【解答】解：（1）如图 1，C
29、G为所作； （2）如图 1，AH为所作； （3）如图 2， DEF为所作 第 19 页（共 23 页） 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图 形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 22阅读填空： 如图，已知 AOB 要画出 AOB的平分线，可分别在OA ，OB上截取 OC=OD ，OE=OF ，连结 CF， DE ， 交于 P点，那么射线OP就是 AOB的平分线 要证明这个作法是正确的，可先证明EOD FOC ，判定依据是SAS ，由此得到 OED=
30、OFC ；再证明 PEC PFD ，判定依据是AAS ，由此又得到PE= PF ；最后证明EOP FOP ，判定依据是SSS ，从而便可证明出AOP= BOP ，即 OP平分 AOB 【考点】作图基本作图；全等三角形的判定与性质 【分析】求 AOB的平分线可利用三角形全等的性质作图 【解答】解：作法： （1）分别在OA ，OB上截取 OC=OD ，OE=OF ，连接 CF ，DE ，交于 P点， （2）连接 OP即可， 在 EOD与 FOC中， ， EOD FOC （SAS ）， OED= OFC ， 在 PEC与 PFD中， 第 20 页（共 23 页） ， PEC PFD （AAS ），
31、PE=PF 在 EOP与 FOP中， ， EOP FOP （SSS ）， AOP= BOP ，即 OP平分 AOB 故答案为： FOC ，SAS ，OFC ； PFD ，AAS ，PF ； FOP ， SSS ， 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法及全等三角形的判定定理是解答此题 的关键 23证明命题“全等三角形对应边上的高相等” 【考点】全等三角形的性质 【专题】证明题 【分析】根据图形写出已知，求证，根据全等三角形的性质求出AB=EF ， B=F，根据全等三角形 的判定求出 ABD EFH即可 【解答】解：已知：如图，ABC EFC ，AD 、EH分别是 ABC和 EFC
32、的对应边 BC、FG上的高 求证： AD=EH 证明： ABC EFC ， AB=EF ， B=F， AD 、 EH分别是 ABC和 EFC的对应边BC 、FG上的高， ADB= EHF=90 ， 在 ABD和 EFH中 第 21 页（共 23 页） ， ABD EFH （AAS ）， AD=EH 【点评】 此题主要考查学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力注意命题的证明的格式、 步骤 24（ 12 分）已知：如图，在ABC中， BAC=90 ， AB=AC ，MN是经过点A的直线， BD MN ，CE MN ，垂足分别为D、E （1）求证：BAD= ACE ；BD=AE ； （2）请写
33、出BD ，DE ，CE三者间的数量关系式，并证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】（ 1）根据 BAD+ CAE= 90， ACE+ CAE=90 ，即可得出BAD= ACE ； 根据全等三角形的判定方法（AAS ）得出 ABD CAE ，从而得出BD=AE ； （2）根据 ABD CAE ，得出 BD=AE ，AD=CE ，再根据 AE=AD+DE，即可得出BD ，DE ，CE三者间的数 量关系 【解答】解：（1） BAC=90 ， BAD+ CAE=90 ， CE MN ， ACE+ CAE=90 ， 第 22 页（共 23 页） BAD= ACE ； BDMN ， BDA= AEC=90 ， 在 ABD和 CAE中， ， ABD CAE ， BD=AE ； （2） ABD CAE ， BD=AE ，AD=CE ， AE=AD+DE ， BD=CE+DE 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是AAS 、直角三角形的性质，关键是 通过证明两个三角形全等得出相等的线段 第 23 页（共 23 页）