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1、第九讲绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符 号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是 数形结合，借助于图形的直观性求解前者是通法，后者是技巧 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用 的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法 例题 【例 1】方程 5665xx 的解是 (重庆市竞赛题) 思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解 【例 2】 适合81
2、272aa的整数 a 的值的个数有 ( ) A5 B4 C 3 D 2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径 注：形如dcxbax的绝对值方程可变形为)(dcxbax且0dcx， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验 【例 3】解方程：413xx； 思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程 (天津市竞赛题 ) 【例 4】解下列方程： (1)113xxx(北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451xx(“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面
3、介 绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解 【例 5】已知关于x 的方程axx32，研究 a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论 思路点拨方程解的情况取决于a 的情况， a 与方程中常数2、3 有依存关系，这种关系决定了方程解 的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与 工具，读者可从两个思路去解 注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和 充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行 全面研究 学力训练 1方程1
4、 5 )1(3 x x的解是；方程1213xx的解是 2已知199519953990x，那么 x 3已知，2xx，那么 19x 99+3x+27 的值为 4关于 x 的方程xaxa1的解是 x=0，则 a的值；关于 x 的方程xaxa1的解是 x=1， 则有理数a的取值范围是 5使方程0223x成立的未知数x 的值是 ( ) A一 2 B0 C 3 2 D不存在 6方程055xx的解的个数为( ) A不确定B无数个C 2 个D 3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7已知关于x 的方程 mx+2=2(m-x) 的解满足01 2 1 x，则 m 的值是 ( ) A 5 2 10或B 5 2 10或C
5、 5 2 10或D 5 2 10或 (山东省竞赛题) 8若20002020002000x，则 x 等于 ( ) A 20 或一 21 B一 20 或 21 C 19 或 21 D19 或一 21 (重庆市竞赛题) 9解下列方程： (1)8453x； (2)43234xx； (3)312xx； (4)1212xxx 10讨论方程kx23的解的情况 11方程212x的解是 12若有理数x 满足方程xx11，则化简1x的结果是 13若0,0 ba，则使babxax成立的 x 取值范围是 14若100x，则满足条件ax3的整数 a 的值共有个，它们的和是 15若 m 是方程xx20002000的解，则
6、2001m等于 ( ) Am 一 2001 B一 m 一 2001 Cm+2001 D一 m+2001 16若关于 x 的方程032mx无解，043nx只有一个解，054kx有两个解，则m、 n、k 的大小关系是( ) mnk Bnkm Ckmn D mkn 17适合关系式62343xx的整数 x 的值有 ( )个 A0 B1 C2 D大于 2的自然数 18方程1735xx的解有 ( ) A1 个B2 个C 3 个D无数个 19设 a、b 为有理数，且0a，方程3bax有三个不相等的解，求b 的值 (“华杯赛”邀请赛试题) 20当 a 满足什么条件时，关于x 的方程axx52有一解 ?有无数多个解 ?无解 ? 21已知yyxx15912，求 x+y 的最大值与最小值 (江苏省竞赛题) 22 (1)数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离； (2)是否存在有理数x，使xxx31? (3)是否存在整数x，使144334xxxx?如果存在，求出所有的整数x；如果不存在， 说明理由 参考答案