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1、第 6 讲空间向量及其运算 一、选择题 1. (2017铜川调研) 已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数 m的值等于 ( ) A. 3 2 B.2C.0 D. 3 2或 2 解析ab， 2m1 2 3 m m 1 m，解得 m 2. 答案B 2. (2017海南模拟) 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin CM ， D1N 的值为 ( ) A. 1 9 B. 45 9 C. 25 9 D. 2 3 解析如图，设正方体棱长为2，则易得CM (2 ，2，1)，D 1N (2 ， 2， 1) ， cosCM ，D1N CM D1
2、N |CM | D1N | 1 9， sin CM ，D1N 1 1 9 2 45 9 . 答案B 3. 空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么 ( ) A.AE BC AE CD B.AE BC AE CD C.AE BC AE CD D.AE BC 与AE CD 的大小不能比较 解析取BD的中点F，连接EF，则EF綊 1 2CD ，因为AE ， EF AE ，CD 90，因 为AE BC 0，AE CD 0，所以AE BC AE CD . 答案C 4. 已知向量a(1 ， 1， 0) ，b( 1， 0， 2) ， 且kab与 2ab互相垂直， 则k的值是 ( ) A.
3、 1 B. 4 3 C. 5 3 D. 7 5 解析由题意得，kab(k1，k，2) ，2ab(3 ，2， 2). 所以 (kab) (2ab) 3(k1) 2k22 5k7 0，解得k 7 5. 答案D 5. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点， 则AE AF 的值为 ( ) A.a 2 B. 1 2a 2 C. 1 4a 2 D. 3 4 a 2 解析如图，设AB a，AC b，AD c， 则 |a| |b| |c| a，且a，b，c三向量两两夹角为60. AE 1 2( ab) ，AF 1 2c， AE AF 1 2( ab) 1 2c 1
4、 4( acbc) 1 4( a 2cos 60 a 2cos 60 ) 1 4a 2. 答案C 二、填空题 6. 已知 2ab(0 ， 5，10) ，c (1 ， 2， 2) ，ac 4，|b| 12，则以b，c为方向 向量的两直线的夹角为_. 解析由题意得， (2ab) c01020 10. 即 2acbc 10，又ac4，bc 18， cosb，c bc |b| |c| 18 12144 1 2， b，c 120，两直线的夹角为60. 答案60 7. 正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为 _. 解析|EF | 2( EC CD DF ) 2 EC 2 CD
5、 2 DF 22( EC CD EC DF CD DF ) 1 22212 2(12 cos 120 021 cos 120 ) 2， |EF | 2，EF的长为2. 答案2 8. (2017南昌调研) 已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中 点，点G在线段MN上，且MG 2GN ，现用基底 OA ，OB ，OC 表示向量OG ，有OG xOA yOB zOC ，则x，y，z的值分别为 _. 解析OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3( ON OM ) 1 2OA 2 3 1 2（ OB OC ） 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1
6、3OC ， x 1 6， y 1 3， z 1 3. 答案 1 6， 1 3， 1 3 三、解答题 9. 已知空间中三点A( 2，0， 2)，B( 1，1， 2)，C( 3，0， 4) ，设aAB ，bAC . (1) 若|c| 3，且cBC ，求向量c. (2) 求向量a与向量b的夹角的余弦值. 解(1) cBC ，BC ( 3，0，4) ( 1，1， 2)( 2， 1，2)， cmBC m( 2， 1，2) ( 2m，m，2m) ， |c| （ 2m） 2（ m） 2（ 2m ） 2 3|m| 3， m1. c ( 2， 1，2)或(2 ，1， 2). ( 2)a(1，1，0) ，b( 1
7、， 0，2) ，ab(1，1，0) ( 1，0， 2) 1， 又|a| 1 2 12 02 2，|b| （ 1） 2 0222 5， cosa，b ab |a| |b| 1 10 10 10 ， 即向量a与向量b的夹角的余弦值为 10 10 . 10. 如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB， BC上的动点， 且AEBFx，其中 0xa，以O为原点建立空间直 角坐标系Oxyz. (1) 写出点E，F的坐标； (2) 求证：A1FC1E； (3) 若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F 1 2A 1C1 A1E . (1) 解E(a，x，0)，F(ax，a，0
8、). (2) 证明A1(a，0，a) ，C1(0 ，a，a) ， A1F ( x，a，a) ，C1E (a，xa，a) ， A1F C1E axa(xa) a 20， A1F C1E ，A1FC1E. (3) 证明A1，E，F，C1四点共面， A1E ，A1C1 ，A1F 共面 . 选A1E 与A1C1 为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对( 1，2) ，使A1F 1A1C1 2A1E ， 即 ( x，a，a) 1( a，a，0) 2(0，x，a) ( a1，a1x2，a2) ， xa1， aa1x2， aa2， 解得 1 1 2， 21. 于是A1F 1 2A 1C1 A1E
9、. 11. 在空间四边形ABCD中，AB CD AC DB AD BC ( ) A. 1 B.0 C.1 D. 不确定 解析如图，令AB a，AC b，AD c，则AB CD AC DB AD BC a(cb) b(ac) c(ba) acabbabccbca0. 答案B 12. 若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则 (x，y，z) 叫向量p在基底 a，b，c下的坐标 . 已知 a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基 底a，b，c 下的坐标为 (4， 2，3) ，则向量p在基底 ab，ab，c下的坐标是 ( ) A.(4 ，0，3) B.(
10、3 ，1，3) C.(1 ，2，3) D.(2 ，1，3) 解析设p在基底 ab，ab，c 下的坐标为x，y，z. 则 px(ab) y(ab) zc(xy)a(xy)bzc， 因为p在a，b，c 下的坐标为 (4 ，2，3) ， p4a2b3c， 由得 xy4， xy2， z3， x3， y1， z3， 即p在ab，ab，c下的坐标为 (3，1，3). 答案B 13. (2017郑州调研) 已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA (1，2，3)，OB (2 ， 1，2)，OP (1 ，1，2) ，且点 Q在直线OP上运动，当QA QB 取得最小值时，OQ 的坐标是 _. 解析点Q在直线OP
11、上，设点Q( ，2)， 则QA (1，2，32) ，QB (2 ，1，22)， QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 ) (3 2)(2 2) 6 2 16 10 6 4 3 2 2 3. 即当 4 3时， QA QB 取得最小值 2 3. 此时 OQ 4 3， 4 3， 8 3 . 答案 4 3， 4 3， 8 3 14. 如图所示， 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1， 点E， F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)EF BA ；(2)EG的长； (3) 异面直线AG与CE所成角的余弦值. 解设AB a，AC b，AD c. 则 |a| |b| |c| 1，
12、 a，bb，cc，a60， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a，DC bc， EF BA 1 2 c1 2a ( a) 1 2a 21 2ac 1 4， (2)EG EB BC CG 1 2a ba1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG | 21 4a 21 4b 21 4c 21 2ab 1 2bc 1 2ca 1 2， 则 |EG | 2 2 . (3)AG 1 2b 1 2c， CE CA AE b 1 2a， cosAG ，CE AG CE |AG |CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是0， 2 ， 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为 2 3.