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1、1 用分类讨论求解等腰三角形多解问题 ( 本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 类型 1 对对顶角和底角的分类讨论 方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这 个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论在分类时要注意：三角形的内角和等于180；等腰三角形中至 少有两个角相等 1等腰三角形是有一个角为52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？ 2如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数 类型 2 对腰长和底长的分类讨论 方法归纳： 在解答已知等腰三角形边长的问题时， 当题目条件中没有明确说明哪条边是
2、“腰”，哪条边是“底”时， 往往要进行分类讨论判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 3若一个等腰三角形的三边长均满足 (x 2)(x 4) 0，求此等腰三角形的周长 4若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm 和 12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长 类型 3 对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论 2 方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平 分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝 角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类
3、讨论 5已知 ABC 中， AB AC ，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50的角，求底角的度数 6一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？ 7AC为等腰 ABD的腰 BD上的高，且 CAB 60. 求这个三角形各内角的度数 3 参考答案 1若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180 52) 2 64，故一腰上的高与底边的夹角为26； 若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26或 38. 2. 设A， B ， C是该等腰三角形的三个内角，且A 1 2B.设A x，则 B 2x. 若B 是顶角，则 A， C
4、是底角，于是有 CAx. ABC 180， x2xx180. 解得 x 45，故 AC 45， B90 .若B 是底角，因为 AB，所以A是顶角， C B 2x. A BC 180， 2x 2xx180. 解得 x36，故 A36， BC 72. 综上所述，等腰三角形的各内角为45、 45、 90或 36、 72、 72. 3. 据题意，得x2、x4 都满足 (x 2)(x 4) 0. 从而可知等腰三角形的三边长有四种可能 情况： 2、2、4 或 2、4、4 或 2、2、2 或 4、4、4. 其中，根据三角形的三边关系知，以2、2、 4 为边不能构成三角 形，而其他三种情况均符合条件因此，所求
5、等腰三角形的周长为 6 或 10 或 12. 4如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm、哪一部分是12 cm，因此，应有两种情 形： 若设这个等腰三角形的腰长为x cm ， 底边长为y cm， 于是根据题意， 得 x1 2x9， 1 2xy12. 或 x 1 2x12， 1 2xy9. 解得 x6， y9. 或 x8， y5. 即当腰长是6 cm 时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm 时，底边长是5 cm. 5. 由题意可判断该三角形不 可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图1，垂直平分线DE与腰 AC相交， 且AED 50，则A 4
6、0，所以 BC 70；如图 2，当 AB的垂直平分线DE与腰 AC的反向延长线相交， 且AED 50，则EAD 40，BAC 140，所以两底角 BC 20. 综上可知， 等腰三角形的底角为70 或 20. 6设A为顶角，则 ABC 、ACB 为底角 (1) 若A为锐角，如图1，作 BD AC 于点 D，根据题意有BD1 2AB ， BDA 90， A30， ABC ACB 75； (2) 若A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另 一边的一半”， 这种情况无解； (3) 若A为钝角，有三种情况： 如图 2，作 AD BC于点 D，根据题意有：AD 1 2AB ， ADB 90， ABC
7、 ACB 30；如图 3，作 BD CA 4 的延长线于点D，根据题意有：BD 1 2BC ， ADB 90， ABC ACB 30；如图 4，作 BD CA的延长线于 点 D，根据题意有：BD 1 2AB ， ADB 90， BAD 30， ABC ACB 15. 综上所述，等腰三角形底角的 度数是 75、30或 15. 7. 如图 1， 高 AC在ABD的内部， 因为 CAB 60， ACB 90，所以 B 30. 因为 BA BD，所以 BAD D 75；如图2，高 AC在ABD的外部，因为 CAB 60， ACB 90，所以 ABC 30， 所以 ABD 150 . 因为 BA BD ， 所以 BAD D 15；如图 3， 高 AC在ABD的外部，因为 CAB 60 ， ACB 90 ， 所 以 B 30 . 因 为DA DB， 所 以 BAD B 30 ， 所 以 ADB 120.