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1、专题训练 ( 三) 平行四边形中的动态问题 班别姓名 （教材 P68习题第 13 题的变式与应用） 【原题】 ( 人教版八年级下册教材第68 页第 13 题) 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，B90，AB 8 cm ，AD 24 cm ，BC 26 cm . 点 P从点 A出发，以 1 cm / s 的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 3 cm / s 的速 度向点 B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动从运动开 始，使 PQ CD ，分别需经过多少时间为什么 1如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，AD 6，BC 16，点 E是 BC的中点点
2、P以每秒 1 个单位长度的速度从点A出发，沿 AD向点 D运动；点 Q同时以每秒 2 个单位长度的速 度从点 C出发，沿 CB向点 B运动点 P停止运动时，点Q也随之停止运动求 当运动 时间 t 为多少秒时，以点P、Q 、E、D为顶点的四边形是平行四边形 2如图， A，B，C，D为矩形 ABCD 的四个顶点， AB 25 cm ，AD 8 cm ，动点 P，Q分别 从点 A ，C同时出发，点 P以 3 cm / s 的速度向点 B移动，运动到点 B为止，点 Q以 2 cm / s 的速度向点 D移动 (1)P ，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ AD (2) 试问： P，Q两点从出发开始到第几
3、秒时，四边形PBCQ 的面积为 84平方厘米 3如图，平行四边形ABCD 中，AC 6，BD 8，点 P从点 A出 发以每秒 1 cm的速度沿 射线 AC移动，点 Q从点 C出发以每秒 1 cm的速度沿射线 CA移动 (1) 经过几秒，以 P，Q ，B，D为顶点的四边形为矩形 (2) 若 BC AC垂足为 C，求(1) 中矩形边 BQ的长 4如图，在四边形ABCD 中， AD BC ，B90，AB 8 cm ，AD 12 cm ，BC 18 cm ， 点 P从点 A出发以 1 cm / s 的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 2 cm / s 的速度 向点 B运动，当点 Q到达点
4、B时，点 P也停止运动，设点P、Q运动的时间为 t 秒 (1) 作 DE BC于 E，则 CD边的长度为 10cm ； (2) 从运动开始，当 t 取何值时，四边形 PQBA 是矩形 (3) 在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形 PQCD 是菱形若存在，请求出t 值；若 不存在，请说明理由 备用图 5如图，已知矩形 ABCD ，AD 4，CD 10，P是 AB上一动点， M 、N 、E分别是 PD 、PC 、 CD的中点 (1) 求证：四边形 PMEN 是平行四边形； (2) 请直接写出当 AP为何值时，四边形PMEN 是菱形； (3) 四边形 PMEN 有可能是矩形吗若有可能 ，求出
5、AP的长； 若不可能，请说明理由 参考答案 【例】( 人教版八年级下册教材第68 页第 13 题) 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，B90，AB 8 cm ，AD 24 cm ，BC 26 cm . 点 P从点 A出发，以 1 cm / s 的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 3 cm / s 的速 度向点 B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动从运动开 始，使 PQ CD ，分别需经过多少时间为什么 【解答】设经过t s 时，四边形 PQCD 是平行四边形， AP t ，CQ 3t ，DP 24t ， DP CQ. 24 t 3t. t 6，即经过
6、 6s 时，四边形 PQCD 是平行四边形，此时PQ CD ，且 PQ CD. 设经过 t s 时，PQ CD ，即四边形 PQCD 是等腰梯形， AP t ，BQ 263t ， t 263t 2，t 7. 综上所述当 t 6 s 或 7 s 时，PQ CD. 【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解 1如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，AD 6，BC 16，点 E是 BC的中点点 P以每秒 1 个单位长度的速度从点A出发，沿 AD向点 D运动；点 Q同时以每秒 2 个单位长度的速 度从点 C出发，沿 CB向点 B运动点 P停止运动时，点Q也随之停止运动求 当运动
7、 时间 t 为多少秒时，以点P、Q 、E、D为顶点的四边形是平行四边形 解：由题意可知， AP t ，CQ 2t ，CE 1 2BC 8. AD BC ，当 PD EQ时，以点 P、Q 、E、D为顶点的四边形 是平行四边形 当 2t 8，即 t 4 时，点 Q在 C、E 之间，如图甲 此时， PD AD AP 6t ，EQ CE CQ 82t ， 由 6t 82t 得 t 2. 当 82t16，且 t6，即 4t6 时，点 Q在 B、E之间，如图乙此时， PD AD AP 6t ，EQ CQ CE 2t 8，由 6t 2t 8 得 t 14 3 . 当运动时间为2s 或14 3 s 时，以点
8、P、Q 、E、D为顶点的四边形是平行四边形 图甲图乙 2如图， A，B，C，D为矩形 ABCD 的四个顶点， AB 25 cm ，AD 8 cm ，动点 P，Q分别 从点 A ，C同时出发，点 P以 3 cm / s 的速度向点 B移动，运动到点 B为止，点 Q以 2 cm / s 的速度向点 D移动 (1)P ，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ AD (2) 试问： P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ 的面积为 84 平方厘米 解：(1) 设 P，Q两点从出发开始到第x 秒时， PQ AD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD ，即 AP DQ. PQ AD ， 四边
9、形 APQD 是平行四边形 AP DQ. 3x252x. 解得 x5. 答：P，Q两点从出发开始到第5秒时， PQ AD. (2) 设 P，Q两点从出发开始到第a 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 84 平方厘米， BP 253a，CQ 2a， 根据梯形面积公式得： 1 2(253a2a)8 84. 解得 a4. 答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形 PBCQ 的面积为 84 平方厘米 3如图，平行四边形ABCD 中，AC 6，BD 8，点 P从点 A出 发以每秒 1 cm的速度沿 射线 AC移动，点 Q从点 C出发以每秒 1 cm的速度沿射线 CA移动 (1) 经过几秒，以 P，Q ，
10、B，D为顶点的四边形为矩形 (2) 若 BC AC垂足为 C，求(1) 中矩形边 BQ的长 解：(1) 当 t 7 秒时，四边形 BPDQ 为矩形 理由如下：当 t 7 秒时， PA QC 7， AC 6， CP AQ 1. PQ BD 8. 四边形 ABCD 为平行四边形， BD 8，AC 6， AO CO 3. BO DO 4. OQ OP 4. 四边形 BPDQ 为平形四边形 PQ BD 8， 四边形 BPDQ 为矩形 (2) 由(1) 得 BO 4，CQ 7， BC AC ， BCA 90. BC 2CQ2BQ2. BQ 56214. 4如图，在四边形ABCD 中， AD BC ，B9
11、0，AB 8 cm ，AD 12 cm ，BC 18 cm ， 点 P从点 A出发以 1 cm / s 的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 2 cm / s 的速度 向点 B运动，当点 Q到达点 B时，点 P也停止运动，设点P、Q运动的时间为 t 秒 (1) 作 DE BC于 E，则 CD边的长度为 10cm ； (2) 从运动开始，当 t 取何值时，四边形PQRA 是矩形 (3) 在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形 PQCD 是菱形若存在，请求出 t 值； 若不存在，请说明理由 备用图 解：(2) 如图 1，由题意得： AP t ，DP 12t ，CQ 2t ，BQ 18
12、2t. 要使四边形 PQBA 是矩形，已有 B90，AD BC即 AP BP ，只需满足 AP BQ即 t 182t ，解得 t 6，因此，当 t 6 秒时，四边形 PQBA 是矩形 (3) 不存在，理由： 如图 2，要使四边形 PQCD 是平行四边形，已有AD BC即 DP CQ ， 只需满足 DP CQ即 12t 2t ， t 4 时，四边形 PQCD 是平行四边形， 但 DP 12t 810，即 DP DC ， 按已经速度运动，四边形PQCD 只能是平行四边形，但不可能是菱形 5如图，已知矩形 ABCD ，AD 4，CD 10，P是 AB上一动点， M 、N 、E分别是 PD 、PC 、
13、 CD的中点 (1) 求证：四边形 PMEN 是平行四边形； (2) 请直接写出当 AP为何值时，四边形PMEN 是菱形； (3) 四边形 PMEN 有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由 解：(1) M 、 N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点， ME是 PC的中位线， NE是 PD的中位线 ME PC ，EN PD. 四边形 PMEN 是平行四边形 (2) 当 AP 5 时， 在 RtPAD和 RtPBC中， AP BP ， AB， AD BC ， PAD PBC( SAS ) PD PC. M 、N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点， NE PM 1 2PD ，ME PN 1 2PC. PM ME EN PN. 四边形 PMEN 是菱形 (3) 四边形 PMEN 可能是矩形 若四边形 PMEN 是矩形，则 DPC 90. 设 PA x，PB 10x， 则 DP 4 2x2，CP 4 2（10x）2. DP 2CP2DC2， 即 16x 216(10x)2102， x 210x160. 解得 x2 或 x8. 故当 AP 2 或 AP 8 时，四边形 PMEN 是矩形