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1、河北省唐山市 2019 届高三年级第三次模拟试题理科数学 一、选择题： 1已知集合A=1,0,1,2,3，B=2 1,0,1,则右图中阴影部分表示的集合为 A 2,3 B 1,0,1 C 2,2,3 D 1,0,1,2,3 2i为虚数单位， 2 11izi，则z= A. 1 B. 2 C. 2D. 22 3已知随机变量服从正态分布1 ,2N,若023.03P，则31P A. 0.046 B. 0.623 C. 0.977 D. 0.954 4.执行右图所示的程序框图，结果是 A. 81 65 B. 27 19 C 9 5 D. 3 1 5.等差数列 n a中，22,5 843 aaa，则的前
2、20 项和为 A 41 40 B 41 20 C 43 42 D 43 21 6.M为 抛 物 线xy8 2 上 一 点 ， F 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 120MFO(O 为坐标原点），N0 ,2,则直线MN 的斜率为A. 3 1 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 2 7.已知函数cos 2 3 fxx ，xxg2sin，将xf的图像经过下列哪种变换可以和g x 的图像重合 A. 向左平移 12 个单位B. 向左平移 6 个单位 C. 向右平移 6 个单位D.向右平移 12 个单位 8 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.1 3 2 B. 4 1 3 C. 41
3、32 D. 21 32 9 实数 X,y 满足 093 033 01 yx yx yx ，若 z=x+y的最大值为2a+3，则a的 取值范围是 A3,1B1,3C,1D3, 10.异面直线l和所成角为 3 ，异面直线l和 N 所成角为 4 ，则异面直线M,N 所成角的范围是 A, 62 B, 12 2 C 7 , 12 12 D 7 , 612 11.函数xf=,ae x lng xx，若 21,x x都满足xgxf，则 A 12 xxeB 12 1xxeC 12 1 0xx e D 12 1 1xx e 12关于曲线C：1 3 2 3 2 yx，给出下列四个命题： A. 曲线 C 关于原点对
4、称B.曲线 C 有且只有两条对称轴 C.曲线 C的周长l满足24lD.曲线 C上的点到原点的距离的最小值为 2 1 上述命题中，真命题的个数是A1B2 C3 D4 二、填空题：13.设Nn , n x3 展开式的所有项系数和为256，则其二项式系数的最大值为 _.（用数字作答） 14 向量ba,满足, 12babaa则b= _. 15.设 n S是等比数列 n a的前 n 项和，189,93,45 11mmm sss，则m=_. 16.F 是双曲线1 4 : 2 2y x的右焦点，的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐 近线上有一点Q 满足PQFP, 则_. 三、解答题： 17.
5、在ABC中， A,B,C所对边分别为a,b,c, 222 22bac. (I)证明 bCaAccos2cos2 ()若 3 1 tan, 1Aa，求ABC的面积s。 18某项比赛规则是：先进行个人赛，每支参赛队的成绩前三名队员再代表本队进行团体赛，团体 赛是在两队名次相同队员之间进行且三场比赛同时进行根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成 绩高的队员在各场获胜的概率为，负的概率为，且各场比赛互不影响。已知甲乙队各5 名队员，这 10 名队员的个人赛成绩如图所示： (I)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差； ()求甲队在团体赛中至少2 名队员获胜的概率。 19 如图， 三棱柱 111 CBAABC
6、中，侧面 11B BCC是矩形，截面BCA1 是 等边三角形。 (I)求证：ACAB； ()若ACAB，平面BCA1底面ABC，求二面角 11 ACBB的余弦值 20 已知椭圆 22 22 :1(0) yx Cab ab ， 直线l与椭圆 C有唯一公共点M， 为坐标原点） ， 当点M 坐标为 2 1 ,3时，l的方程为0423yx。 (I)求椭圆 C方程； ()设直线l的斜率为K,M 在椭圆 C上移动时， 作lOH于 H(O 为坐标原点） ， 求HOM最大时k的值； 21 已知 2 ( )b x f xex,曲线xfy与直线1axy相切于点1, 1 f (I)求ba,的值； ()证明：当0x时
7、，0sin4cos312xxxee x ； 22 如图， C 是圆 O 的直径 AB 上一点， ABCD ， 与圆 O 相交于点D，与弦 AF 交于点 E, 与 BF 的延长线相交于点G.GT与圆相切于点T. (I)证明 :CGCECD 2 ； ()若 AC=CO=1 ，CD=3CE, 求 GT 23 已知半圆C：,042 2 2 yyx 直线l： 022yx.以坐标原点O 为极点， x 轴正半 轴 为 极 轴 建 立极坐标系 . (I)写出 C与l的极坐标方程；()记A为 C 直径的右端点， C与l交于点 M,且 M 为圆弧 AB 的中 点，求 OB . 24 设( )12 ,(0)f xa
8、xxa. (I)若1a，时，解不等式( )5f x； ()若,2xf求a的最小值 . 唐山市 20192019 学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题： A 卷： BCCAB DCBBA DC B卷： ACDAB CDABB DC 二、填空题： （13）6；（14）3；（ 15）5；（16）4 三、解答题： （17） （）证明：因为2c22a2b2， 所以 2ccosA2acosC 2c b 2c2a2 2bc 2a a 2b2 c2 2ab b 2c2a2 b a 2b2 c2 b 2c 22a2 b b4 分 （）由（）和正弦定理以及sin Bsin(AC)得 2sin
9、 CcosA2sin AcosCsinAcosC cosAsinC， 即 sinCcosA3sin AcosC， 又 cosAcosC 0，所以 tan C3tan A 1，故 C45 8 分 再由正弦定理及sinA 10 10 得 casinC sin A 5， 于是 b22(c2a2)8，b2 2， 从而 S 1 2 absinC1 12 分 （18）解： （）由题中数据可知， x甲 8583869690 5 88， x乙 8884839293 5 88； S 2 甲 1 5 (8588) 2(8388)2(8688)2(9688)2(9088)2 21.2， S 2 乙 1 5 (888
10、8) 2(8488)2(8388)2(9288)2(9388)2 16.4 6 分 （）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A、B、C， 由题意可知P(A) 2 3 ，P(B) P(C) 1 3 ，且 A、B、C相互独立， 设甲队至少 2 名队员获胜的事件为 E ，则 E(ABC)( AB C)( A BC)( ABC)9 分 P(E ) 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 (1 1 3) 2 3 (1 1 3) 1 3 (1 2 3 ) 1 3 1 3 11 27 12 分 （19） （）证明：取BC中点 O，连 OA，OA1 因为侧面BCC 1B1是矩形，所以 B
11、CBB1，BC AA1， 因为截面A1BC是等边三角形，所以 BCOA1， 于是 BC平面 A1OA，BCOA，因此： ABAC 4 分 （）解：设BC2，则 OA13，由 ABAC， ABAC得 OA1 因为平面A1BC底面 ABC ， OA1 BC，所以 OA1底面 ABC 如图，分别以OA，OB，OA1为正方向建立空间直角坐标系O-xyz6 分 A(1，0，0)，B(0，1， 0)，A1 (0，0，3)，C(0， 1，0)， CB (0，2，0)， BB1 AA1 (1，0，3)， CA1 (0，1，3)，A1B1 AB (1， 1，0) 设平面 BB1C的法向量 m(x1，y1，z1)
12、， 则 0 x12y10z10， 1 x10y13z10， 取 m(3，0，1) 设平面 A1B1C的法向量 n(x2，y2，z2)， 则 0 x21y2 3z20， 1 x21y20z20， 取 n(3，3，1) cos m，n mn | m| n| 7 7 ，则二面角BB1CA1的余弦值为 7 7 12 分 （20）解： （）由题意可得： 3 a 2 1 4b 2 1， 1 分 将3x2y40 代入椭圆C： (3a24b 2)x28 3a2x16a 24a2b20 由 0 得 3a24b216，3 分 联立解得： a 24，b21 于是椭圆C的方程为： x 2 4 y21 5分 （II）设
13、直线l：ykxm，M(x0， y0) 将直线 l 的方程代入椭圆C得(14k2)x28kmx4m240， 令 0，得 m24k2 1，且 x2 0 4m 24 14k 2，所以 | OM| 2116k 2 14k 27 分 又| OH| 2 m 2 1k 2 14k 2 1k 2，所以(cosHOM) 2 (1 4k 2)2 (116k 2) (1k2)9 分 因为 (116k2)(44k2) (520k 2)2 4 25(1 4k 2)2 4 ， 所以 (1 4k 2)2 (116k 2) (1k2) 16 25 ，等号当且仅当k2 1 4 时成立故 k 1 2 12 分 （21）解： （）
14、 f (x)e x2x 由题设得af (1)e2，a1f (1)e1 b 故 ae 2，b04 分 （II）由（）得，f (x)e xx2，下面证明：当 x0 时， f (x)(e2)x1 设 g (x)f (x)(e2)x1， x0 则 g (x)e x2x(e2)， 设 h (x)g (x)，则 h (x)ex 2， 当 x(0，ln 2)时， h (x) 0，h (x)单调递减， 当 x(ln 2， )时， h (x)0，h (x)单调递增 z y x C1 B1 A1 O B A C 又 h(0)3 e0，h (1)0，0ln21，h(ln2)0，所以x0 (0，1)，h (x0)0，
15、 所以当 x (0，x0)或 x(1， )时， g (x)0；当 x(x0， 1)时， g (x)0， 故 g(x)在(0，x0)和(1， )单调递增，在 (x0，1)单调递减， 又 g(0)g (1)0，所以 g (x) ex x2(e2)x10 因 x0，则 e x(2e)x1 x x（当且仅当x1 时等号成立） 8 分 以下证明：当x0 时， x 4sin x 3 cosx 令 p(x)x 4sin x 3cosx ，则 p (x)14(3cosx1) (3cosx) 2(cosx1)(cosx5) (3 cosx) 20， （当且仅当x2k ，kZ时等号成立） 所以 p (x)在(0，
16、 )单调递增，当x 0时， p(x)x 4sin x 3cosx p(0)0， 即 x 4sin x 3cosx 由得当x0 时， e x(2e)x1 x 4sin x 3cosx， 又 x(3cosx)0，故 e x(2e)x1(3cosx) 4xsinx0 12 分 （22）解： （）证明： 延长 DC与圆 O 交于点 M，因为 CDAB， 所以 CD 2CD CMACBC， 因为 RtACE RtGBC ，所以 AC CE CG BC ， 即 AC BCCE CG ，故 CD 2CE CG 5 分 （） 因为 ACCO 1，所以 CD 2ACBC3， 又 CD 3CE ，由（）得CG3C
17、D， GT 2GMGD(CGCM)(CG CD)(CG CD)(CGCD) CG 2CD28CD224，故 GT2 6 10 分 （23）解：（）将x cos ， y sin代入已知，分别得C 和 l 的极坐标方程为 C： 4cos （0 2 )，l： cos 2 sin 20 4 分 （）依题意，l 经过半圆C的圆心 C(2， 0) 设点 B 的极角为 ，则 tan 1 2 ，进而求得cos 25 5 6 分 由 C的极坐标方程得| OB| 4cos 85 5 10 分 （24）解： （）若a1，f (x) 2x1，x 2， 3，2x 1， 2x1，x1 由 f (x)的单调性及f (3)f (2)5，得 f (x)5 的解集为 x| 3x2 5 分 （） f (x) (a1)x1，x 2， (1a)x3，2x 1 a ， (a1)x1，x 1 a 当 x(， 2时， f (x)单调递减；当x 1 a ，)时， f (x)单调递增， 又 f (x)的图象连续不断，所以f (x) 2 当且仅当f (1) 2a1 2，且 f(1 a) 1 a 22，得 a 1 2 ，故 a 的最小值为 1 2 10 分 O C A B F E G D T M