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1、第 1 页（共 16 页） 2018-2019 学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共14 小题，每小题3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1sin50 cos20 cos50 sin20 =（） ABCcos70Dsin70 2已知等差数列 a n中首项 a1=2，公差 d=1，则 a5 =（ ） A5 B6 C7 D8 3已知实数a， b 满足 a b，则下列不等式中成立的是（） Aa3b3Ba2b2CDa 2ab 4若实数 a， b 1， 2 ， 则在不等式x+y30 表示的平面区域内的点 P （a， b） 共有（） A1 个
2、 B2 个C3 个 D4 个 5在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a， b，c， a=1，b=， A=则 B 等于（） A B C 或 D 6若 tan（ +）=2，则 tan =（ ） ABC3 D 3 7已知正实数a，b 满足+=1，则 a+b 的最小值为（） A1 B2 C4 D2 8在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b， c，若 a+b=2， c=1，C=，则 a= （） A B1 C D 9已知 an是一个无穷等比数列，则下列说法错误的是（ ） A若 c是不等于零的常数，那么数列 c?an 也一定是等比数列 B将数列 an 中的前 k 项去掉，剩余各项顺序不
3、变组成一个新的数列，这个数列一定是等 比数列 C a2n1 （nN *）是等比数列 D设 Sn是数列 an 的前 n 项和，那么 S6、S12S6、S18S12也一定成等比数列 10已知x， 0y ，则 xy 的取值范围（） A （，） B （，） C （，） D （，） 第 2 页（共 16 页） 11如图，已知两灯塔A，D 相距 20 海里，甲、乙两船同时从灯塔A 处出发，分别沿与 AD 所成角相等的两条航线AB ，AC 航行， 经过一段时间分别到达 B，C 两处，此时恰好B， D，C 三点共线，且ABD=， ADC=，则乙船航行的距离 AC 为（） A10 +10 海里B1010海里C4
4、0 海里D10 +10 海里 12若关于 x 的不等式ax2+bx+c0 的解集为 x| 2x1，则函数 f（ x）=bx 2+cx+a的图 象可能为（） A B C D 13若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为“ 钝角整数三角形” ，下列 选项中能构成一个“ 钝角整数三角形” 三边长的是（） A2，3，4 B2，4， 5 C5，5，6 D4， 13，15 14已知实数x，y 满足 x2+y2xy=2 ，则 x 2+y2+xy 的取值范围（ ） A （ ，6B 0，6 C，6 D 1，6 二、填空题 :本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 15在等差数列 an中，若
5、a6=1，则 a2+a10= 16若变量x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值为 17设 Sn是数列 an 的前 n 项和，若 a1=2，Sn=an+1（nN* ） ，则 a4= 18已知锐角 ，满足，则 + = 19已知各项都不为0 的等差数列 an ，设 bn=（nN *） ，记数列 b n 的前 n 项和 为 S n，则 a1 ?a 2018 ?S 2019= 20在平面四边形ABCD 中， A= B=60 ，D=150 ，BC=1 ，则四边形 ABCD 面积的取 值范围是 三、解答题：本大题共5 小题，共40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21已知函数f（x）=
6、 （1）比较 f（1）与 f（2）的大小关系； 第 3 页（共 16 页） （2）求不等式f（ x）的解集 22已知 an是等比数列， b n 是等差数列，且 a1=b1=1，a1 +a 2=b4 ，b 1 +b 2=a2 （1）求 an与 bn 的通项公式； （2）记数列 an+bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 23已知函数f（x）=sin（x+ ）cosx （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若 f（ ）=，求 sin4的值 24已知函数f（x）=x 22x+t，g（x）=x2t（tR） （1）当 x 2， 3 时，求函数f（x）的值域（用t 表示） （2）设集合A= y| y
7、=f（x） ，x 2，3 ，B= y| y=| g（ x）| ，x 2，3 ，是否存在正整 数 t，使得 A B=A 若存在，请求出所有可能的t 的值；若不存在，请说明理由 25若正项数列 an满足： =an+1an（aN*） ，则称此数列为“ 比差等数列 ” （1）请写出一个“ 比差等数列 ” 的前 3 项的值； （2）设数列 an 是一个 “ 比差等数列 ” （i）求证： a24； （ii ）记数列 an 的前 n 项和为 Sn，求证：对于任意 nN* ，都有 Sn 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大
8、题共14 小题，每小题3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1sin50 cos20 cos50 sin20 =（） ABCcos70Dsin70 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由已知及两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解 【解答】 解： sin50 cos20 cos50 sin20 =sin（50 20 ） =sin30 = 故选： B 2已知等差数列 an中首项 a1=2，公差 d=1，则 a5=（） A5 B6 C7 D8 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5 项 【解答】
9、解：等差数列 a n 中首项 a1=2，公差 d=1， a5=2+41=6 故选： B 3已知实数a， b 满足 a b，则下列不等式中成立的是（） Aa3b3Ba2b2CDa 2ab 【考点】 不等式的基本性质；不等式的综合 【分析】 根据已知，结合幂函数的单调性可判断A，举出反例可判断B，C，D，进而得到 答案 【解答】 解：若 ab，则 a3 b 3，故 A 正确； 当 a=1， b=1 时，满足ab，但 a 2=b2，故 B 错误； 当 a=2， b=1 时，满足ab，但，故 C 错误； 当 a=0， b=1 时，满足ab，但 a 2=ab，故 D 错误； 故选： A 4若实数 a，
10、b 1， 2 ， 则在不等式x+y30 表示的平面区域内的点 P （a， b） 共有（） A1 个 B2 个C3 个 D4 个 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 根据题意，写出满足不等式x+y3 0 的点的坐标即可 第 5 页（共 16 页） 【解答】 解： a，b1，2， P（a，b）共有 22=4 个，分别是（ 1， 1） ， （1，2） ， （2，1）和（ 2， 2） ； 满足不等式x+y30 的点是（ 1，2） ， （2，1）和（ 2，2）共 3 个 故选： C 5在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a， b，c， a=1，b=， A=则 B 等于（） A B
11、 C 或 D 【考点】 正弦定理 【分析】 直接利用正弦定理求解即可 【解答】 解：在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a， b，c，a=1，b=， A=， 由正弦定理可知：sinB= B=或 故选： C 6若tan（ + ）=2，则 tan=（ ） A B C3 D 3 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由条件利用两角和的正切公式，求得tan的值 【解答】 解： tan（ +）=2，则 tan =， 故选： A 7已知正实数a，b满足 + =1，则a+b的最小值为（ ） A1 B2 C4 D2 【考点】 基本不等式 【分析】 利用 “ 乘 1 法” 与基本不等式的性质即可得出
12、 【解答】 解：正实数a，b 满足+=1， 则 a+b=（a+b） =2+ +2+2=4，当且仅当a=b=2 时取等号 a+b 的最小值为4 故选： C 第 6 页（共 16 页） 8在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，若 a+b=2， c=1，C=，则 a= （） AB1 CD 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知及余弦定理可求ab=1，结合 a+b=2，联立即可解得a 的值 【解答】 解： a+b=2，c=1，C=， 由余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得： 1=a2+b2ab=（a+b） 23ab=43ab， 解得： ab=1， a（2a）=1，整理可得
13、：a22a+1=0， 解得： a=1 故选： B 9已知 an是一个无穷等比数列，则下列说法错误的是（） A若 c是不等于零的常数，那么数列 c?an 也一定是等比数列 B将数列 an 中的前 k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等 比数列 C a2n1 （nN *）是等比数列 D设 Sn是数列 an 的前 n 项和，那么 S6 、S 12 S 6 、S 18 S 12也一定成等比数列 【考点】 等比关系的确定 【分析】 利用等比数列的定义，分析4 个选项，即可得出结论 【解答】 解：对于A，若 c 是不等于零的常数，那么数列 c?a n 也一定是等比数列，首项为 a1
14、，公比为 cq，正确； 对于 B，将数列 an中的前 k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定 是等比数列，首项为ak+1，公比为q，正确； 对于 C，等比数列的奇数项仍是等比数列，正确； 对于 D，设 Sn是数列 an的前 n 项和，那么 S6 、S 12 S 6 、S 18 S 12也一定成等比数列，不 正确，比如1， 1，1， 1， 故选： D 10已知x， 0y ，则 xy 的取值范围（） A （，） B （，） C （，） D （，） 【考点】 不等式的基本性质；不等式的综合 【分析】 根据已知结合不等式的基本性质，可得xy 的取值范围 【解答】 解： 0y， y0
15、， 又 x， 第 7 页（共 16 页） xy， 即xy， xy（，） ， 故选： D 11如图，已知两灯塔A，D 相距 20 海里，甲、乙两船同时从灯塔 A 处出发，分别沿与 AD 所成角相等的两条航线AB ，AC 航行， 经过一段时间分别到达 B，C 两处，此时恰好B， D，C 三点共线，且ABD=， ADC=，则乙船航行的距离 AC 为（） A10 +10 海里B1010海里C40 海里D10 +10 海里 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 求出 ACD=， ACD 中，由正弦定理可得乙船航行的距离AC 【解答】 解： ABD= ，ADC=， BAD=CAD ， ACD= ACD
16、中，由正弦定理可得， AC=10+10海里， 故选： A 12若关于 x 的不等式ax 2 +bx+c0 的解集为 x| 2x1，则函数 f（ x）=bx 2+cx+a的图 象可能为（） A BCD 【考点】 函数的图象；二次函数的性质 【分析】 根据韦达定理和不等式的解集得到b=a，c= 2a，a0，即 f（x）=a（x1） 2， 故可判断 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解：关于x 的不等式ax2+bx+c0 的解集为 x| 2x1 ， a0 且=2+1，=21， 即 b=a， c=2a，a0， f（x）=bx 2+cx+a=ax22ax+a=a（x1）2， 故 f（x）=bx 2+
17、cx+a 的图象开口向下，且最大值为 0，关于 x=1 对称， 故选： C 13若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为“ 钝角整数三角形” ，下列 选项中能构成一个“ 钝角整数三角形” 三边长的是（） A2，3，4 B2，4， 5 C5，5，6 D4， 13，15 【考点】 正弦定理 【分析】 设三角形的最大角为 ，则利用余弦定理可求cos ，利用同角三角函数基本关系式 可求 sin ，利用三角形面积公式可求三角形面积，逐一判断各个选项即可 【解答】 解：设三角形的最大角为 ，则： 对于 A， cos = = ， sin = = ， S= 23=， 不能； 对于 B， cos
18、= = ， sin = = ， S= 24=， 不能； 对于 C，cos = ，故三角形为锐角三角形，不符合条件； 对于 D，cos = = ，sin = =，S=413=24， 符合条件； 故选： D 14已知实数x，y 满足 x2+y2xy=2 ，则 x 2+y2+xy 的取值范围（ ） A （ ，6B0，6C ，6 D1，6 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 设 x 2 +y 2+xy=A ，分别求得 x2 +y 2 和 2xy，分别构造（x+y）20 及（ xy） 2 0， 解关于 A 的不等式，即可求得A 的取范围 【解答】 解：设 x2 +y 2+xy=A ， x 2+y2
19、xy=2， 两式相加可得，2（x2 +y 2）=2+A （1） 两式相减得得：2xy=A 2 （2） （1）+（2） 2 得： 2（x 2 +y 2）+4xy=2（x+y）2=3A20 A， （1）（ 2） 2 得： 第 9 页（共 16 页） 2（xy） 2=A+60， A6 综上：A6， 故选： C 二、填空题 :本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 15在等差数列 a n中，若 a6=1，则 a2 +a 10=2 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知条件利用等差数列通项公式能求出a2+a10 【解答】 解：在等差数列 a n中， a6=1， a2+a10=a1+d+a1
20、+9d=2（a1+5d）=2a6=2 故答案为： 2 16若变量x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值为4 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线结合图象求出z 的最小值即 可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由，解得 A（1，2） ， 由 z=2x+y 得： y=2x+z， 结合图象直线y=2x+z 过 A（1， 2）时， z 最小， z 的最小值是 4， 故答案为： 4 17设 Sn是数列 an 的前 n 项和，若 a1=2，Sn=an+1（nN* ） ，则 a4= 8 【考点】 数列递推式 【分析】 分别令 n=1
21、， 2，3，由数列递推公式能够依次求出a2 ，a 3 ，a 4 【解答】 解： a1=2，an+1=Sn（nN *） ， a 2=S1=2， a3=S2=2+2=4， 第 10 页（共 16 页） a4=S3=2+2+4=8 故答案为： 8 18已知锐角 ，满足，则 + = 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由 、 （0，） ，利用同角三角函数的关系算出cos 、sin的值，进而根据两 角和的余弦公式算出cos（ + ） =，结合 + （ 0， ）可得 +的值 【解答】 解： 、 （ 0，） ，满足， cos = =，sin = 由此可得cos（ + ）=cos cos sin sin
22、 =?= 又 + （ 0， ） ， + = 故答案为： 19已知各项都不为0 的等差数列 an ，设 bn= （nN *） ，记数列 b n 的前 n 项和 为 Sn，则 a1?a2018?S2019= 2019 【考点】 数列的求和 【分析】 利用裂项求和，代入计算，即可得出结论 【解答】 解：设 an=kd+b（ k0，d0） ，则 bn= =（） ， Sn= （） ， a1?a2018?S2019=a1?a2018? （）=a1?a2018?=2019， 故答案为： 2019 20在平面四边形ABCD 中， A= B=60 ，D=150 ，BC=1 ，则四边形ABCD 面积的取 值范围是
23、（，） 【考点】 解三角形 【分析】 把 AB 长度调整，两个极端分别为C，D 重合， A，D 重合分别计算两种极限前提 下 AB 的长度，利用割补法求出四边形ABCD 面积的取值范围 【解答】 解：平面四边形ABCD 中， A= B=60 ， D=150 ， C=90 当把 AB 长度调整，两个极端分别为C，D 重合时， AB=BC=1 ； 当 A，D 重合时，由正弦定理得=，解得 AB=2 ； 第 11 页（共 16 页） 故 AB 的取值范围是（1，2） ， 设 AD=x ，则 AO=x ， OAD=120 四边形 ABCD 面积 S= =， OB=2 ， x（ 0，1） ， S（，）
24、故答案为：（，） 三、解答题：本大题共5 小题，共40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21已知函数f（x）= （1）比较 f（1）与 f（2）的大小关系； （2）求不等式f（ x）的解集 【考点】 分段函数的应用 【分析】（1）分别算出f（ 1）和 f（2）的值，比较大小即可得出答案； （2）当 x1 时，解出x 的范围；当x1 时，解出 x 的范围，两者取并集 【解答】 解： （1） f（1）=3，f（2） =， f（1） f（2） ； （2）当 x1 时， f（x）=， 1 x2， 当 x1 时， f（x）=x2， x， 不等式f（x）的解集为 x| 1x2 或 x 22已知
25、 an是等比数列， bn 是等差数列，且a1=b1=1，a1+a2=b4，b1+b2=a2 （1）求 an与 bn 的通项公式； （2）记数列 an +b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （1）设出公比和公差，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程组求出公比和公 差，再求出an、bn； 第 12 页（共 16 页） （2）由（ 1）求出 an +b n，利用分组求和法、等比、等差数列的前 n 项和公式求出Tn 【解答】 解： （1）设等比数列 an的公比为q，等差数列 bn的公差为 d， 由 a 1=b1=1 得， an=1qn 1 ，b n=1
26、+（n1）d， 由 a1+a2=b4，b1+b2=a2得， 解得 d=1，q=3， 所以 an=3n1，bn =n； （2）由（1）得， an+bn=n+3n1， Tn=（1+30）+（2+32）+ +（n+3n1） =（1+2+ +n）+（30 +3 2+ +3n1） = 23已知函数f（x）=sin（x+ ）cosx （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若 f（ ）=，求 sin4的值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （1）由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求 出 f（x）的增区间； （2）由（ 1）化简 f（ ）=，由
27、角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求 出 sin4的值 【解答】 解： （1）由题意得f（x）=sin（x+）cosx = =， 由得， ， 函数 f（ x）的单调递增区间是； （2）由（ 1）得， f（ ）= ， ， = 1 第 13 页（共 16 页） = 24已知函数f（x）=x 22x+t，g（x）=x2t（tR） （1）当 x 2， 3 时，求函数f（x）的值域（用t 表示） （2）设集合A= y| y=f（x） ，x 2，3 ，B= y| y=| g（ x）| ，x 2，3 ，是否存在正整 数 t，使得 A B=A 若存在，请求出所有可能的t 的值；若不存在，请说明理由
28、【考点】 二次函数的性质；函数的值域 【分析】（1）通过配方求出f（x）的值域； （2）求出集合A，通过讨论t 的范围，求出集合B，解不等式求出t 的值即可 【解答】 解： （1） f（x）=（x1） 2+t 1，x 2，3， 对称轴 x=1，f（x）在 2， 3 递增， x=2 时， f（x）最小， f（2）=t， x=3 时， f（x）最大， f（3） =t+3， f（x）的值域是 t，t+3 ； （2）由（ 1）得： A= t，t+3 ，B 即为 | g（x） | 的值域， A B=A ， A? B， g（x）=x2t，x 2，3 ， 假设存在正整数t 符合要求， 当 12 时，即 1t
29、 4 时， | g（ x）| 的值域是 B= 4t，9t ， 由 4ttt+39t， 2t 3， t=2 或 3， 当 23 时，即 4t 9 时： | g（ x）| 的值域 B= 0，M ，其中 M=max f（ 2） ，f（3）=max t4，9t ， 显然当 4t9 时， t+3t4 且 t+39t，不符舍去， 当3 即 t 9 时， | g（ x）| 的值域是 B= t9，t4 ， 由 t9t+3 t4，解集为空， 综上 t=2 或 3 25若正项数列 a n满足： =an+1 a n（aN *） ，则称此数列为 “ 比差等数列 ” （1）请写出一个“ 比差等数列 ” 的前 3 项的值
30、； （2）设数列 an 是一个 “ 比差等数列 ” （i）求证： a24； （ii ）记数列 an 的前 n 项和为 Sn，求证：对于任意nN* ，都有 Sn 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】（1）根据 “ 比差等数列 ” 的定义，写出一个“ 比差等数列 ” 的前 3 项即可； 第 14 页（共 16 页） （2） （i）当 n=1 时可得，求出 a2利用分离常数法化简，由an0 可得 a1 1， 利用基本不等式证明a24； （ii ）由 an0 得 an+1an= 0，得 an+1an0 从而得到 an+1an= ，列出 n 1 个不等式并相加得ann+2（n2） ，当 n2 时利
31、用放缩法和等差数列的前n 项和公式 化简后，得到Sn的不等式再验证n=1 时是否成立即可 【解答】（1）解：一个 “ 比差等数列 ” 的前 3 项可以是： 2，4，； （2） （i）证明：当n=1 时， =， a n 0， ，则 a110，即 a11， 2+2=4， 当且仅当时取等号， 则 a 24 成立； （ii ）由 an0 得， an+1an= 0， an+1an 0，则 an+1an= ， 由a24得，a3a21，a4a31， ，anan11， 以上n1 个不等式相加得，an（ n2）+4=n+2（n2） ， 当 n2 时， Sn=a1+a2+a3+ +an 1+4+（3+2）+ +（n+2）（ 1+2）+（2+2）+ +（ n+2） 2 =2=， 当 n=1 时，由（ i）知 S1=a11， 第 15 页（共 16 页） 综上可得，对于任意n N* ，都有 Sn 第 16 页（共 16 页） 2019 年 8 月 6 日