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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1设 1i 2i 1i z ，则|z A 0 B 1 2 C 1 D 2 2已知集合 2 20Ax xx，则A R e A 12xx
2、 B 12xx C |1|2x xx x D |1|2x xx x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 324 3SSS， 1 2a，则 5 a A 12 B10C10D1
3、2 5设函数 32 ( )(1)f xxaxax，若 ( )f x 为奇函数，则曲线 ( )yf x 在点(0,0)处的切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 6在ABC 中， AD为 BC边上的中线， E为AD 的中点，则 EB A 31 44 ABACB 13 44 ABACC 31 44 ABACD 13 44 ABAC 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A，圆柱 表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A 172 B 52 C3 D2 8设抛物线C：y 2=4x 的焦点为
4、 F，过点（ 2，0）且斜率为 2 3 的直线与C 交于 M，N 两点，则 FMFN = A5 B6 C7 D8 9已知函数 e0 ( ) ln0 x x f x xx ， ， ( )( )g xf xxa 若 g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A 1，0）B0，+）C 1，+ ）D1，+ ） 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II， 其余部分记为III 在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III 的概率分别记为p1，p2，p3
5、，则 Ap1=p2 Bp1=p3 C p2=p3 Dp1=p2+p3 11已知双曲线C： 2 2 1 3 x y，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点 分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= A 3 2 B3 C 2 3D4 12已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大 值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13若 x ，y满足约束条件 220 10 0 xy xy y ，则32zxy 的最大值为 _ 14记
6、n S 为数列 n a的前 n项和，若21 nn Sa，则 6 S_ 15 从 2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛， 且至少有1 位女生入选， 则不同的选法共有_ 种 （用数字填写答案） 16已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是 _ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17 （12 分） 在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD. （1）求cosADB； （2）若2 2DC，求BC. 18 （12 分）
7、如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为,AD BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C 到达点P的位置，且PFBF. （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面 ABFD所成角的正弦值 . 19 （12 分） 设椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0). （1）当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 20 （12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不 合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20
8、件作检验，再根据检验结果决定是否对余 下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为) 10(pp，且各件产品是否为不合格品相 互独立 （1）记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为)(pf,求)( pf的最大值点 0 p （2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值已知每 件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费 用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验
9、？ 21 （12 分） 已知函数 1 ( )lnf xxax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x存在两个极值点 12 ,x x，证明： 12 12 2 fxfx a xx （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C 的方程为 | |2yk x .以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30. （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点，求 1
10、C的方程 . 23 选修 4 5：不等式选讲（10 分） 已知( )|1|1|f xxax. （1）当1a时，求不等式 ( )1f x 的解集； （2）若(0,1)x时不等式( )f xx成立，求a的取值范围 . 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14.6315.16 16. 3 3 2 17.（12 分） 解： （ 1）在ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB AADB . 由题设知， 52 sin45sinADB ，所以 2 sin 5 ADB
11、. 由题设知，90ADB，所以 223 cos1 255 ADB. （2）由题设及（ 1）知， 2 cossin 5 BDCADB. 在 BCD 中，由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 258252 2 5 25. 所以5BC. 18.（12 分） 解： （ 1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF. 又BF平面 ABFD，所以平面PEF平面 ABFD. （2）作 PH EF，垂足为H.由（ 1）得， PH平面 ABFD . 以 H 为坐标原点，HF的方向为y 轴正方向，|BF为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系H- xyz. 由（ 1）可得，
12、 DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=3.又 PF=1，EF=2，故 PE PF. 可得 33 , 22 PHEH. 则 3333 (0,0,0),(0,0,),( 1,0),(1,), 2222 HPDDP 3 (0,0,) 2 HP为平面 ABFD 的法向量 . 设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则 3 3 4 sin| 4| |3 HP DP HPDP . 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 19.（12 分） 解： （ 1）由已知得(1,0)F，l 的方程为x=1. 由已知可得，点A 的坐标为 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 . 所以 AM
13、 的方程为 2 2 2 yx或 2 2 2 yx. （2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB. 当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)yk xk， 1221 (,),(,)AyxyxB， 则 12 2,2xx，直线 MA，MB 的斜率之和为 2 12 1 22 MAMB xx yy kk. 由 1122 ,ykkxykxk得 1212 12 ( 23 ()4 2)(2) MAMB x xxxkk xx k kk. 将(1)yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 (21)4220
14、kxk xk. 所以， 2 1 2 21 2 2 2 422 , 2121 xxx kk k x k . 则 3 1 3 1 3 22 2 441284 23 ()40 21 kkkkk kkk k x xxx. 从而0 MAMB kk，故 MA， MB 的倾斜角互补，所以OMAOMB. 综上，OMAOMB. 20.（12 分） 解： （ 1）20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为 2218 20 ()C(1)fppp.因此 218217217 2020 ( )C 2(1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp. 令()0fp，得0.1p.当(0,0.1)p时，( )0fp
15、；当(0.1,1)p时，()0fp. 所以()fp的最大值点为 0 0.1p. （2）由（ 1）知，0.1p. （i）令Y表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:， 20225XY， 即4025XY. 所以(4025 )4025490EXEYEY. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元. 由于400EX，故应该对余下的产品作检验. 21.（12 分） 解:（1）( )f x的定义域为(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx . （i）若2a，则( )0fx，当且仅当2a，1x时( )0fx，所以( )f x
16、在(0,)单调递减 . （ii）若2a，令( )0fx得， 2 4 2 aa x或 2 4 2 aa x. 当 22 44 (0,)(,) 22 aaaa xU时，( )0fx； 当 22 44 (,) 22 aaaa x时，( )0fx.所以( )fx在 22 44 (0,),(,) 22 aaaa 单 调递减，在 22 44 (,) 22 aaaa 单调递增 . （2）由（ 1）知，( )fx存在两个极值点当且仅当2a. 由于( )f x的两个极值点 12 ,x x满足 2 10xax，所以 12 1x x，不妨设 12 xx，则 2 1x.由于 1212122 12121212 2 2
17、()()lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x ， 所以 12 12 ()() 2 fxf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0xx x . 设函数 1 ( )2lng xxx x ，由（ 1）知，( )g x在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x 时，( )0g x. 所以 22 2 1 2ln0xx x ，即 12 12 ()() 2 f xf x a xx . 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 【解析】（1）由cosx，siny得 2 C的直角坐标方程为 22 (1)4xy （2）由（ 1）知
18、2 C是圆心为 ( 1,0)A，半径为 2的圆 由题设知， 1 C是过点 (0, 2)B 且关于 y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l ，y轴左边的射线为 2 l由于B在圆 2 C的外面， 故 1 C与 2 C有且仅有三个公共点等价于 1 l与 2 C只有一个公共点且 2 l与 2 C有 两个公共点，或 2 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两个公共点 当 1 l与 2 C只有一个公共点时，A到 1 l所在直线的距离为 2，所以 2 |2 | 2 1 k k ，故 4 3 k或0k 经检验，当0k时， 1 l与 2 C没有公共点；当 4 3 k时， 1 l与 2 C只有
19、一个公共点， 2 l与 2 C有两个公 共点 当 2 l与 2 C只有一个公共点时， A到2 l所在直线的距离为 2，所以 2 |2 | 2 1 k k ，故0k或 4 3 k 经检验，当0k时， 1 l与 2 C没有公共点；当 4 3 k时， 2 l与 2 C没有公共点 综上，所求 1 C的方程为 4 | 2 3 yx 23 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 【解析】（1）当1a时， ( )|1|1|f xxx ，即 2,1, ( )2 , 11, 2,1. x f xxx x 故不等式 ( )1f x 的解集为 1 | 2 x x （2）当(0,1)x时|1|1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax成立 若 0a ，则当(0,1)x时|1|1ax； 若 0a ，|1| 1ax的解集为 2 0x a ，所以 2 1 a ，故0 2a 综上，a的取值范围为(0, 2