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1、精品文档 精品文档 长安教育中心 全等三角形复习 知识要点 一、全等三角形 1判定和性质 一般三角形直角三角形 判定 边角边（ SAS ） 、角边角（ ASA ） 角角边（ AAS ） 、边边边（ SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等 2证题的思路： ）找任意一边（ ）找两角的夹边（ 已知两角 ）找夹已知边的另一角（ ）找已知边的对角（ ）找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ）任意角（若边为角的对边，则找 已知一边一角 ）
2、找第三边（ ）找直角（ ）找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形 周长相等。 ( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AA
3、S) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 运用 1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等 的判定却刚好相反。 精品文档 精品文档 2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与 对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺 序写一致，为找对应边，角提供方便。 3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三 角形。 4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于 工业和军事。有一定帮助。 5、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等
4、的点在这个角平分线上 做题技巧 一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以来采取逆思维的方式。 来想要证全等，则需要什么条件 另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。 然后把所得的等式运用（ AAS/ASA/SAS/SSS/HL ）证明三角形全等。 （二）实例点拨 例 1（ 2010 淮安）已知：如图，点C 是线段 AB 的中点， CE=CD ， ACD= BCE。求 证： AE=BD 。 解析： 此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下： 证明 ：点 C 是线段 AB 的中点 AC=BC ACD= BCE ACD+ DCE= BCE+ DCE
5、 即 ACE= BCD 在 ACE 和 BCD 中， AC=BC ACE= BCD CE=CD ACE BCD（SAS） AE=BD 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应 边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边” 来证明边相等。 E B C A D 精品文档 精品文档 例 2 已知： AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC于 D，试 证明： BD=CD 解析： 此题若直接证BD 、CD 所在的三角形全等，条件 不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结 论用来证明BD 、CD 所在的三角形全等
6、。证明如下： 证明： 在 ABE 和 ACE 中 AB=AC ， EB=EC， AE=AE ABE ACE (SSS) BAE CAE 在 ABD 和 ACD 中 AB=AC BAE= CAE AD=AD ABD ACD (SAS ) BD = CD 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考 思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过 程。 例 3.（2009 洛江中考）如图，点C、E、B、F 在同一直线上，AC DF，ACDF，BC EF， 求证： AB=DE. 【证明】 AC DF， FC 在中和DFEACB EFB
7、C FC DFAC 和DFE中和DFEACB， AB=DE. 17、 （2010 潼南中考） 如图 ,四边形 ABCD 是边长为2 的正方形， 点 G 是 BC 延长线上一点， 连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接BE、DF， 1=2 ， 3=4. (1)证明： ABE DAF ； （ 2）若 AGB=30 ，求 EF 的长 . 精品文档 精品文档 【解析】（1）四边形ABCD 是正方形， AB=AD ， 在 ABE 和 DAF 中， 34 12 DAAB， ABE DAF. （2）四边形ABCD 是正方形， 1+4=90 o 3=4, 1+3=90 o AFD=90 o 在正方形A
8、BCD 中， AD BC, 1=AGB=30 o 在 RtADF 中， AFD=90 o AD=2 , AF=3, DF =1, 由(1)得 ABE ADF, AE=DF=1, EF=AF-AE=13. 例 4、（2009 吉林中考）如图，,ABAC ADBCDADAEABDAEDEF于点，平分交于点， 请你写出图中三对 全等三角形，并选取其中一对加以证明 【解析】（1） ADBADC 、 ABDABE 、 AFDAFE 、 A C B D E F G 1 4 2 3 精品文档 精品文档 BFDBFE、 ABEACD（写出其中的三对即可）. （2）以ADB ADC为例证明 证明：,90ADBC
9、ADBADC. 在 Rt ADB 和 Rt ADC 中， ,ABAC ADAD RtADBRtADC. 要点二、角平分线的性质与应用 例 5、 （2009 温州中考）如图，OP 平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A， B下列结论中不一定成立的是（） A.PAPBB.PO平分APBC.OAOBD.AB垂直平分OP 【解析】 选 D.由 OP 平分AOB，PAOA，PBOB，可得PAPB，由 HL 可 得 RtAOPRt BOP， 所以可得PO平分APB，OAOB. 例 6、 （2009 厦门中考）如图，在ABC 中， C=90 ,ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D, 若 BD=10
10、 厘米， BC=8 厘米，则点D 到直线 AB 的距离是 _厘米。 【解析】过点 D 作 DE 垂直于 AB 于 E,由勾股定理得6810 2222 BCBDCD,由角 平分线性质得 6CDDE 答案： 6. 精品文档 精品文档 【实弹射击 】 1、 如图， AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证： AEB ADC 。 2、如图： AC 与 BD 相交于 O，AC BD，AB CD，求证： C B 3、如图，已知AB=CD ，AD=CB ，E、F 分别是 AB ，CD 的中点， 且 DE=BF ，说出下列判断成立的理由 . ADE CBF A= C 4、已知： BECF 在同一直线上，
11、AB DE，AC DF，并且 BE=CF 。 求证：ABC DEF C A B D E 第 1 题图 O A C D B 第 2 题图 A D B C F E 第 3 题图 F E D C B A 第 4 题图 精品文档 精品文档 F E DCB A 5、如图 , 已知：AB BC于 B , EF AC于 G , DF BC于 D , BC=DF 求证：AC=EF 6、如图， ABC的两条高 AD 、BE相交于 H，且 AD=BD ，试说明下列结论成立的 理由。 （1）DBH= DAC ； （2）BDH ADC 。 7、如图，已知ABC为等边三角形， D 、 E 、 F 分别在边 BC 、 C
12、A、 AB 上， 且DEF 也是等边三角形 i.除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜 想是正确的； ii.你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过 程 8、已知等边三角形中，与相交于点，求 的大小。 F G ED C B A A BC D E H 精品文档 精品文档 9、如图所示， P为AOB 的平分线上一点， PC OA于 C，?OAP+ OBP=180 ， 若 OC=4cm ，求 AO+BO 的值 10、如图：四边形 ABCD 中，AD BC ，AB=AD+BC ，E是 CD的中点，求证： AE BE 。 P D A C B O AD B C E 精品文档 精品文档 11. 如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点， DEAG于E，BFDE， 交 AG于 F求证： AFBFEF D C B A E F G