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1、圆锥曲线概念的应用 一、第一定义的应用： 例 1： （1）设定点 ) 3, 0(),3, 0( 21 FF，动点 P 满足),0( 21 aaPFPF则动点 P 的轨迹是什么？ （2）若一个动点P（x,y）到两定点A（-1，0） ，B（1，0）的距离之差的绝对值为定值 a)0(a ，求点 P 的轨迹。 例 2： （1）方程 6)5()5( 2222 yxyx表示什么曲线？ （2）方程6)4()4( 2222 yxyx表示什么曲线？ （3）方程8)4()4( 2222 xyxy表示什么曲线？ 例 3： （1）已知椭圆 C： )40(1 4 22 m m yx 的左右焦点分别为F1、F2，直线 l
2、 过点 F2交椭圆 C 于 A、B 两点，求ABF1的周 长。 （2）已知双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，点 A、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦 点，求ABF 1的周长。 （3）抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+b 得弦 AB，若 |AB|=53，F 是抛物线的焦点，求ABF 的周长。 例 4： （1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0 外切，同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切，求动圆圆心的轨迹方程。 （2）求与圆 C： 2)2( 22 yx 内切，且过点A（2，0）的动圆圆心M 的轨迹方程。 （3）已知直线
3、l：y=-1 及圆 C：1)2( 22 yx，动圆 M 与 l 相切且与圆C 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 （4）在ABC中，BC=2，且 sinC-sinB= 2 1 sinA,求点 A 的轨迹方程。 二、第二定义的应用： 例 5： （1）椭圆1 925 22 yx 上有一点 P，它到左准线的距离等于2.5，求 P到右焦点的距离。 （2）若双曲线1 3664 22 yx 上一点 P 到右焦点的距离为8，求点 P 到左准线的距离。 （3）斜率为 1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点，与抛物线交于A、B 两点，求线段AB 的长。 例 6： （1）已知椭圆1 59 22 yx ，F1、F2分
4、别为椭圆的左右焦点，点A（1，1）为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点：1 求|PA|+|PF1| 的最大值和最小值； 2 求|PA|+ 2 3 |PF2|的最小值。 （2）已知双曲线1 54 22 yx ，F 为其右焦点， A（4，1）为平面内一点，点P 在双曲线上，求|PA|+ 3 2 |PF|的最小值。 （3）已知点 M（-2，4）及焦点为F 的抛物线 y= 8 1 x 2,在此抛物线上求一点 P 使|PM|+|PF|的值最小，并求出最小值。 （4）已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点P 在 y 轴上的射影是M，点 A 的坐标是 A（ 2 7 ，4） ，求|PA|+|PM|的最小值
5、。 例 7： （1）已知双曲线1 169 22 yx 的左右焦点分别为F1、F2，点 P 在双曲线的左支上，且|PF1| |PF 2|=32，求 21PF F的大小。 （2） 已知双曲线的两个焦点)0,5(),0,5( 21 FF，P 是双曲线上一点， 且2| , 2121 PFPFPFPF， 求双曲线方程。 （3）在双曲线 x2-y2=4 上取一点，使该点与焦点的连线互相垂直，求该点坐标。 例 8： （1） 设 P （x0,y0） 是离心率为e，方程为1 2 2 2 2 b y a x （0ba）的椭圆上一点， F1、 F2是椭圆的左右焦点，求证：|PF1|=a+ex0； |PF2|=a-e
6、x0 （2） 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0,0 ba） 的左右焦点是F1、 F2， P （x0， y0） 是双曲线上任意一点， 求证：|PF1|=|a+ex0|； |PF2|=|a-ex0| （3）若抛物线 y 2=2px（ p0）的焦点是 F，点 P（x0，y0）是抛物线上任意一点，求证： |PF|=x0+ 2 p 例9 ：（ 1 ） 已 知F1， F2是 椭 圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的 两 个 焦 点 ， P是 椭 圆 上 任 一 点 ， 证 明 ： 1 若 ；则 2 tanS, 2 PFF21 21 bPFF 2 |PF1| |PF2|的最大
7、值是 2 a （ 2 ） 已 知 双 曲 线)0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的 左 右 焦 点 分 别 为F1、 F2， 点P 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 求 证 ： 1 若 ；则 2 cotS, 2 PFF21 21 bPFF 2 |PF1| |PF2|的最小值是 2 b 例 10：求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。 例 11：过抛物线y=ax 2(a0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点，若 |PF|=m，|QF|=n，则 nm 11 。 例 12：设抛物线方程为y 2=2px(p0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为，求
8、证： 焦点弦长 |AB|= 2 sin 2 p 圆锥曲线定义的深层及综合运用 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及 其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例 1. 如图 1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂 足为 M ，将 F2P的延长线于N，求 M的轨迹方程。 图 1 解析：易知故 在中， 则点 M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例 2. 如图 2，为双曲线的两焦点， P为其上一动点，从的平分线作垂线， 垂足为 M ，求 M的轨迹方程。 图 2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上
9、， 延长 F1M交 PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点 M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例 3. 如图 3，AB为抛物线的一条弦， |AB| 4，F为其焦点，求AB的中点 M到直线 y 1 的最短距离。 图 3 解析：易知抛物线的准线 l： ， 作 AA”l，BB ”l，MM ”l，垂足分别为A”、 B”、 M ” 则 即 M到直线的最短距离为2 故 M到直线 y 1 的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F 共线，即 AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到 准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆
10、、圆与双曲线定义的综合运用 例 4. 已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM 于 Q，则 Q的轨迹为（） 图 4 已知圆，M为圆上任一点， MP的垂直平分线交OM 于 Q，则 Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：如图4，由垂直平分线的性质，知|QM| |QP| ， 而|QM|OM|OQ|2|OQ| 即|OQ|QP| 2|OP| 故 Q的轨迹是以O（0，0）、 P为焦点 长轴长为 2 的椭圆。应选B。 同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例 5. 如图 5，已知三点 A （
11、7，0），B （7，0），C （2，12）。若椭圆过A、B 两点，且 C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程； 若双曲线的两支分别过A、B两点，且 C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。 图 5 解析：由椭圆定义知，|AP| |AC| |BP| |BC| ， 即 故 P的轨迹为 A（ 7，0）、 B（7，0）为焦点 实轴长为 2 的双曲线的一支， 其方程为； 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上 总有 |QA| |QB| |AC| |BC| 28|AB| 14 故点 Q的轨迹为以A（ 7，0）、 B（7，0）为焦点 长轴长为 28 的椭圆，其方程为。 练习 1. 已知椭圆 E的离心率为e，左、右焦
12、点为 F1、F2，抛物线 C以为焦点，为其顶点， 若 P为两曲线的公共点，且， 则 e_。 答案： 2. 已知 O ：，一动抛物线过A（ 1，0）、 B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。 答案： 圆锥曲线中的方法与运算 1.(与名师对话第51 练) 已知抛物线 2 21yx,点(2,0)A, 问是否存在过点A的直线l, 使抛物线上存在不同的两点关于直线l对称 ,如果存在 , 求出直线l的斜率k的取值范围 ; 如果不 存 在 , 请 说明理由 . 分析 : 这是一个求变量 (斜率k)的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k)相关的变量( 根 据 题 设 寻找
13、 )的关系式 (组), 显然 ,这个关系式 (组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到. 我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两 个不同的交点 ,并且交点为端点的线段的中点在直线 l上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式 (组). 解这个关于式组即可 得变量k的取值范围 . 解: 设直线l的方程为(2)yk x,若0k,则结论显然成立,即0k可取 .若0k, 则直线 PQ 的方程为 1 yxm k , 由方程组 2 1 , 21, yxm k yx 可得 , 2 2210yykb. 直线 PQ 与抛物线有两个不同的交点, 2 44(
14、 21)0,kkb即 2 120kkb. 设线段 PQ 的中点为G( 00 ,xy), 则 12 0 2 yy yk, 212 0 ()() 2 yy xkkmkkkmkkm, 点 G( 00 ,xy)在直线l上, k= 2 (2)k kkm, 由0k可得 , 2 1k m k , 2 12kk 2 1k k 0, 2 1k(0k) , 10k或01k. 综上所述 ,直线l的斜率k的取值范围为11k. 2.(与名师对话第51 练)已知椭圆 22 : 4580Exy, 点 A 是椭圆与y轴的交点 , F 为椭圆的右焦点, 直线l与 椭圆交于 B,C 两点 . （1）若点 M 满足 1 (),2 2 OMOBOCAFFM,求直线l的方程 ;