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1、冲刺复习资料 :二次函数压轴题面积类 【例 1】 如图 1，已知抛物线经过点A(1，0)、B(3， 0)、C(0， 3)三点 （1）求抛物线的解析式 （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物 线于 N，若点 M 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示MN 的长 （3）在（ 2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值； 若不存在，说明理由 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合】 【巩固 1】 如图 2，抛物线02 2 3 2 axaxy的图象与x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点， 已知
2、B 点坐标为（ 4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想】 图 1 图 2 平行四边形类 【例 2】 如图 3，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、 B（0， 3） ，点 P 是 直线 AB 上的动点，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M，设点 P 的横坐标为t （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式 （2）若点 P 在第四象限，连接AM、BM，当线段 P
3、M 最长时，求ABM 的面积 （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接 写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 等腰三角形类 【例 3】 如图，点A 在 x 轴上， OA=4，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由【考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论】 【巩固 3】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板
4、ABC 放在第 二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2） ，点 C（ 1，0） ，如图所示：抛物线y=ax2+ax2 经过 点 B （1） 求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 3 规律探索类 【例 4】如图，已知点A 1、A2 、A 3、A4 、A n 在 x 轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数， 过点 A 1、A2 、A 3、A4、An 分别作 x 轴的垂线，交抛物线y=x 2 +x 于点 B1、B 2 、B3、B 4
5、、Bn， 交过点B1的直线y=2x 于点 C2、C 3、C4、Cn。若 B1C2B2、 B2C3B3、 B3C4B4、 B n C 1n B 1n 的面积分别为S1、S 2 、S3、Sn。 求 S2S1与 S3S2的值；猜想 SnS 1n 与 n 的数量关系，并说明理由； 若将抛物线“ y=x 2 +x” 改为 “ y=x 2 +bx+c” , 直线 “ y=2x” 改为“ y=(b+1)x+c” ，其它条件不变，请猜想Sn Sn-1与 n 的数量关系（直接写出答案）。 综合类 【例 5】 如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为B（5，0） ，另一个交点为A，且与 y
6、 轴交于点C（0，5） （1）求直线BC 与抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN y轴交直线BC 于点 N,求 MN 的最 大值； C C C B B B B y x AAAA O （3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为 边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1， ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标 【考点：二次函数综合题专题：压轴题】 【巩固 6】 如图，抛物线y=ax 2+bx+c（a0 ）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，
7、3） ，点 D 在 x 轴 正半轴上，且OD=OC （1）求直线CD 的解析式；（ 2）求抛物线的解析式； （3） 将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E， 求证： CEQ CDO； （4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 冲刺复习资料 :二次函数压轴题【参考答案】 【例题 1】考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析
8、式 （2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC、抛物线的 解析式中，可得到M、N 点的坐标， N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长 （3）设 MN 交 x 轴于 D，那么 BNC 的面积可表示为：SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB） =MN? OB， MN 的表达式在（ 2）中已求得， OB 的长易知，由此列出关于SBNC、m 的函数关系式， 根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值 解答： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则： a（ 0+1） （03）=3，a=1； 抛物线的解析式：y=（ x+1） （x3）=
9、 x2+2x+3 （2）设直线BC 的解析式为： y=kx+b，则有：，解得；故直线BC 的解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为m，MNy，则 M（m， m+3） 、N（m， m 2+2m+3） ； 故 MN=m2+2m+3（ m+3）=m2+3m（ 0m3） （3）如图 2； SBNC=SMNC+SMNB=MN（ OD+DB）=MN? OB， SBNC=（ m2+3m）?3=（ m） 2+ （0m3） ； 当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为 【巩固 1】 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想】 分析： （1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中
10、即可 (2)首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆 心的位置，由此确定圆心坐标 (3) MBC 的面积可由SMBC=BC h 表示， 若要它的面积最大，需要使 h 取最大值， 即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是 点 M 解答： （1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：抛物线的解析式为：y=x 2x2 （2）由（ 1）的函数解析式可求得：A（ 1，0） 、C（0， 2） ； OA=1， OC=2，OB=4， 即： OC 2=OA? OB，又： OCAB，
11、OAC OCB，得： OCA=OBC； ACB=OCA+OCB= OBC+OCB=90 ， ABC 为直角三角形，AB 为 ABC 外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为： （， 0） （3）已求得： B（4，0） 、C（0， 2） ，可得直线BC 的解析式为：y=x2； 设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b=x 2 x2，即： x2 2x2 b=0，且 =0；44 （ 2b）=0，即 b= 4；直线 l：y=x4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2， 3） 过 M 点作
12、MNx 轴于 N， SBMC=S梯形 OCMN+SMNB SOCB= 2 （2+3）+ 2 3 2 4=4 【例 2】考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待 定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定. 专题：压轴题；存在型 分析： （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3， 0）B（0， 3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于m、n 的两个方程组，解方程组即可； （2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（t， t22t3） ，用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t3）（ t22
13、t3） =t 2+3t，然后根据二次函数的最值得到 ; 图 2 图 5 图 4 图 7 当 t=时， PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM+SAPM计算即可； （3）由 PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平 行四边形，然后讨论：当P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当P 在第一象 限： PM=OB=3， （t22t3）（ t 3）=3；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二 次方程即可得到满足条件的t 的值 解答： 解： （1）把 A（3，0）B（0， 3）代入
14、 y=x2+mx+n，得 解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB 的解析式是y=kx+b， 把 A（3，0）B（0， 3）代入 y=kx+b，得，解得，所以直线AB 的解析式是y=x 3； （2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（t， t22t3） ，因为 p 在第四象限， 所以 PM=（t 3）（ t22t 3）=t2+3t， 当 t=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=， 则 SABM=SBPM+SAPM= = （3）存在，理由如下：PMOB， 当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形， 当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只
15、有，所以不可能有PM=3 当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t22t3）（ t3）=3，解得 t1= ， t2=（舍去）， 所以 P 点的横坐标是； 当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2 3t=3，解得 t1= （舍去），t2=，所以 P 点的横坐 标是所以 P 点的横坐标是或 【例题 3】分析：（ 1）首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置，然后过B 做 x 轴的垂线，通过构建直 角三角形和OB 的长（即OA 长）确定B 点的坐标 （2）已知 O、 A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式 （3）根据（ 2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而
16、O、B 坐标已 知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分OP=OB、 OP=BP、 OB=BP 三种情况分类讨 论，然后分辨是否存在符合条件的P 点 解答： 解： （1）如图，过B 点作 BCx 轴，垂足为C，则 BCO=90 ， AOB=120 ， BOC=60 ， 又 OA=OB=4， OC=OB= 4=2，BC=OB?sin60 =4=2，点 B 的坐标为（ 2， 2） ； （2）抛物线过原点O 和点 A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将 A（4，0） ，B（ 2 2）代入，得，解得， 此抛物线的解析式为y=x2+ x （3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线
17、 x=2 与 x 轴的交点为D，设点 P 的坐标为（ 2， y） ， 若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y= 2， 当 y=2时，在 RtPOD 中， PDO=90 ，sinPOD=， POD=60 ， POB=POD+ AOB=60 +120 =180 ，即 P、O、B 三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去，点P 的坐标为（ 2， 2） 若 OB=PB，则 4 2+|y+2 | 2 =4 2，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ， 若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 | 2，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ， 综上所述，符合
18、条件的点P 只有一个，其坐标为（2， 2） ， 【例题 5】 【考点：二次函数综合题专题：压轴题】 分析： （1）设直线 BC 的解析式为y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标 代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将B（5，0） ，C（0， 5）两点 的坐标代入y=x 2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN 的最大值； （3）先求出 ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形 CB
19、PQ 的边 BC 上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点 D 作直线 BC 的 平行线，交抛物线与点P，交 x 轴于点 E，在直线DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形证明EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出 E 的坐标为（ 1，0） ，运用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y=x1，然后解 方程组，即可求出点P 的坐标 解答： （1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将 B（5，0） ， C（0，5）两点的坐标代入， 得，解得，所以直线BC 的解析式为y=x+5； 将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c， 得，解得
20、，所以抛物线的解析式为y=x26x+5； （2）设 M（ x，x26x+5） （1x5） ，则 N（x， x+5） ， MN=（ x+5）（ x26x+5） =x2+5x=（ x） 2+ ，当 x=时， MN 有最大值； （3） MN 取得最大值时，x=2.5， x+5=2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0， 得 x=1 或 5A （1， 0） ， B （5， 0） ， AB=51=4， ABN 的面积 S2= 4 2.5=5， 平行四边形CBPQ 的面积 S1=6S2=30 设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高 为 BD，则 BCBD BC=5， BC
21、?BD=30， BD=3 过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形BCBD， OBC=45 ， EBD=45 ， EBD 为等腰直角三角形， BE=BD=6， B（5，0） ， E（ 1，0） ， 设直线 PQ 的解析式为y=x+t，将 E（ 1，0）代入，得1+t=0，解得 t=1 直线 PQ 的解析式为y=x1解方程组，得， 点 P 的坐标为P1（2， 3） （与点 D 重合）或P2（3， 4） 【巩固 6】 如图，抛物线y=ax 2+bx+c（a0 ）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2
22、，3） ，点 D 在 x 轴 正半轴上，且OD=OC （1）求直线CD 的解析式；（ 2）求抛物线的解析式； （3） 将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E， 求证： CEQ CDO； （4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）关键是证明CEQ 与 CDO 均为等腰直角三角形； （4）如答图所示，作点C 关于直线Q
23、E 的对称点C，作点 C 关于 x 轴的对称点C ， 连接 C C ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形， 由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段C C 的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小 如答图所示，利用勾股定理求出线段C C 的长度，即 PCF 周长的最小值 解答：解：（1） C（0，1） ，OD=OC， D 点坐标为（ 1，0） 设直线CD 的解析式为 y=kx+b（k0 ） ， 将 C（0，1） ，D（1，0）代入得：，解得： b=1，k= 1，直线CD 的解析式为：y=x+1 （2）设抛物线的解
24、析式为y=a（ x2） 2+3，将 C（0，1）代入得： 1=a （ 2）2+3，解得 a= y=（x 2）2+3= x 2+2x+1 （3）证明：由题意可知，ECD=45 ， OC=OD，且 OCOD， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45 ， ECD = ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，点E 的坐标为（ 4，1） 如答图所示，设对称轴（直线x=2）与 CE 交于点 M，则 M（ 2，1） ， ME=CM=QM=2， QME 与 QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形， ODC =OCD=45 ， QEC=QCE=OD
25、C=OCD =45 ， CEQ CDO （4） 存在如答图所示， 作点 C 关于直线QE 的对称点C， 作点 C 关于 x 轴的对称点C ， 连接 CC ， 交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， PCF 的周长等于线段C C 的长度 （证明如下： 不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F ，在线段 QE 上取异于点P 的任一点P，连接 FC ，FP， P C 由轴对称的性质可知，PCF的周长 =F C+FP+ P C ； 而 F C+FP+ P C 是点 C ，C 之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：FC+ F P+ PCC C ，即 PCF 的周长大于 PCE 的周长） 如答图所示，连接C E， C， C 关于直线QE 对称， QCE 为等腰直角三角形， QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（ 4，5） ； C， C 关于 x 轴对称，点 C 的坐标为（0， 1） 过点 C 作 CNy 轴于点 N， 则 NC=4 ， NC=4+1+1=6 ， 在 RtC NC 中，由勾股定理得：C C= 综上所述，在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为