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1、空间向量在立体几何中的应用 【知识梳理】 1、已知直线 12 ,l l的方向向量分别为 12 ,v v，平面,的法向量分别为 12 ,n n，则 （1） 12 / /ll； （2） 12 ll； （3）若直线 12 ,ll的夹角为，则cos； （4） 1/ / l； （5） 1 l； （6）若直线 1 l与面的成角为，则sin； （7）/ /面面； （8）面面； （9）若面与面成二面角的平面角为，则。 2、 （1）三余弦定理：； （2）三垂线定理（及逆定理）：； （3） 二面角的平面角定义 （范围）：； 【小试牛刀】 1、A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB 的长度是 ( 2、向量
2、 a(1，2，-2)， b(-2，-4，4)，则 a 与 b( ) A. 相交B.垂直平行以上都不对 3. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点 . 若 11B A=a， 11DA =b，AA1=c，则下列向量中与MB1相等的向量是（） A. 2 1 a+ 2 1 b+c B. 2 1 a+ 2 1 b+c C. 2 1 a 2 1 b+c D. 2 1 a 2 1 b+c 4. 下列等式中，使点 M与点 A、B、C一定共面的是 A. OCOBOAOM23 B.OCOBOAOM 5 1 3 1 2 1 C.0OCOBOAOM D.0MCMBMA 5. 已
3、知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点 E、F 分别是 AB、 AD 的中点，则DCEF等于 A. 4 1 B. 4 1 C. 4 3 D. 4 3 6. 若)2, 1 (a，)1 , 1,2(b，a与b的夹角为 0 60，则的值为 A.17 或-1 B.-17或 1 C.-1 D.1 7. 设)2, 1 , 1(OA，)8 ,2, 3(OB，)0 , 1 , 0(OC，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离 为 A. 2 13 B. 2 53 C. 4 53 D. 4 53 8. 如图， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误 的是 A. BD平面 CB1D1
4、B. AC1BD C. AC1平面 CB1D1 D. 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 9. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1, 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A. 6 3 B. 5 52 C. 15 5 D. 10 5 10. ABC 的三个顶点分别是)2, 1, 1(A，)2,6,5(B，)1,3, 1(C，则 AC边上的高 BD长 为 A.5 B.41 C.4 D.52 11. 设)3 ,4,(xa，),2,3(yb，且ba/，则 xy . 12. 已知向量) 1 , 1,0(a，)0, 1 , 4(b，29ba且0，
5、则=_. 13. 在直角坐标系xOy中，设 A（-2 ，3） ，B（3，-2） ，沿x轴把直角坐标平面折成 大小为的二面角后， 这时112AB，则的大小为 14. 如图， PABCD 是正四棱锥， 1111 ABCDA B C D是正方体， 其中2,6ABPA，则 1 B到平面 PAD 的距离为 . 15、已知2,4,2, ,26axbyab，若 a且，求x y值. 俯视图 侧视图正视图 1 2 1 1 2 1 E D C B A P 16 如图所示， 直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1， BCA=90 ， 棱 AA1=2，M、 N 分别是 A1B1、 A1A 的中点 . （1）求B
6、N的长； （2）求 cos的值 （3）求证： A1BC1M. 17. 如图，在四面体ABCD 中， CBCDADBD，点 EF，分别是 ABBD，的中 点求证： （1）直线/EF面 ACD ； （2）平面 EFC面 BCD 18. （本小题满分 14 分） 如图， 已知点 P 在正方体DCBAABCD的对角线BD 上， PDA=60 . （1）求 DP 与CC 所成角的大小； （2）求 DP 与平面DDAA所成角的大小 . 19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 PABCD 的三视图如下， E 是侧棱 PC 上的 动点 （1）求四棱锥 PABCD 的体积； （2）是否不论点 E 在何位置，
7、都有 BDAE？证明你的结论 ; （3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角DAEB 的大小 D C B A P D C B A 参考答案1、C 2、C 3.)( 2 1 111 BCBAAABMBBMB=c+ 2 1 (a+b)= 2 1 a+ 2 1 b+c，故选 A. 4.1),(zyxRzyxOCzOByOAxOMCBAM且四点共面、由于 MCMBMAMCMBMACBA0由于都不正确、选项.)()()( 共面使所以存在MCMBMAMCyMBxMAyx, 1, 1 四点共面，、为公共点由于CBAMM故选 D. 5. 的中点分别是ADABFE,BDEFBDEFBDEF 2 1 , 2 1
8、/且, 4 1 120cos11 2 1 ,cos 2 1 2 1 0 DCBDDCBDDCBDDCEF故选 B. 6.B 7.B 8.D 9. D 10. 由于 4,cos AC ACAB ACABABAD ，所以 5 22 ADABBD , 故选 A 11. 9 12.3 13. 作 AC x 轴于 C，BD x 轴于 D，则DBCDACAB cos6)180cos(,0, 0, 2, 5, 3 0 DBACDBACDBCDCDACDBCDAC 0002222 222 2 2 120,1800. 2 1 cos),cos600(2253)112( )(2)( 由于 ACDBDBCDCDAC
9、DBCDACDBCDACAB 14. 以 11B A为x轴， 11D A为y轴，AA1 为z轴建立空间直角坐标系 设平面 PAD 的法向量是 ( , , )mx y z，(0,2,0),(1,1,2)ADAP，02,0zyxy， 取1z得( 2,0,1)m， 1 ( 2,0,2)B A， 1 B到平面 PAD 的距离 1 6 5 5 B A m d m . 15、解：由 222 62436ax，又0aba b即4420yx 由有：4,34,1xyxy或13xy或 16、如图，建立空间直角坐标系Oxyz. （1）依题意得B（0， 1，0） 、 N（1，0，1） |BN|=3)01()10()01
10、( 222 . （2）依题意得A1（1，0，2） 、B（ 0，1，0） 、C（0，0，0） 、B1（0， 1，2） 1 BA= 1，1，2 ， 1 CB=0 ，1，2， 1 BA 1 CB=3，| 1 BA|= 6， | 1 CB|=5 cos=30 10 1 | 11 11 CBBA CBBA . （3）证明：依题意，得C1（0， 0，2） 、 M（ 2 1 , 2 1 ，2） ，BA 1 = 1， 1，2 ，MC1= 2 1 , 2 1 ， 0. BA1MC1= 2 1 2 1 +0=0，BA 1 MC1， A1BC1M. 17. 证明： （1）E,F 分别是 ABBD，的中点， EF 是
11、ABD 的中位线， EFAD， AD 面 ACD ，EF面 ACD ，直线 EF面 ACD ； （2）ADBD ，EFAD，EFBD ， CB=CD，F 是的中点， CFBD 又 EF CF=F,BD面 EFC ， BD面 BCD ，面 EFC面 BCD. 18. 解：如图，以 D 为原点， DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz 则(10 0)DA，(0 01)CC，连结 BD ， B D 在平面 BBD D 中，延长 DP 交 B D 于 H 设(1)(0)DHmmm，由已知60DH DA， 由cosDA DHDA DHDA DH，可得 2 221mm 解得 2 2 m，所以 22 1 2
12、2 DH ， （1）因为 22 001 1 2 22 cos 2 12 DH CC， 所以 45DH CC， ，即 DP 与 CC 所成的角为 45 （2）平面 AAD D 的一个法向量是(0 1 0)DC， ， A B C D P A B C D x y z H 图 z y x E D C BA P 因为 22 01 1 0 1 22 cos 2 12 DH DC， ， 所以60DH DC，可得 DP 与平面 AAD D 所成的角为30 19. 解： （1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD 的底面是边长为 1 的正 方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2. 12 33 PAB
13、CDABCD VSPC (2)不论点 E 在何位置，都有BDAE 证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形， BDAC PC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD BDPC 又 ACPCCBD平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 BDAE (3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BG CD=CB,EC=EC， Rt ECD Rt ECB ，ED=EB AD=AB ， EDAEBA， BGEA DGB 为二面角 DEAB 的平面角 BCDE，ADBC，ADDE 在 RADE 中 AD DE DG AE = 2 3
14、=BG 在DGB 中，由余弦定理得 2 1 2 cos 222 BGDG BDBGDG DGB DGB = 2 3 ，二面角 DAEB 的大小为 2 3 . 解法 2：以点 C 为坐标原点， CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示： 则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)DABE,从而 ( 1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0, 1,1)DEDABABE 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ( , , ),( , )ma b cna b c 由法向量的性质可得：0,0acb，0,0abc 令1, 1cc，则1, 1ab，(1,0,1),(0, 1, 1)mn 设二面角 DAEB 的平面角为，则 1 cos 2| | m n mn 2 3 ，二面角 DAEB 的大小为 2 3 .