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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3.1 空间直角坐标系 (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、填空题 1若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则ac_. 【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a0，c 0， bR. 【答案】0 2在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述： 点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，y，z)； 点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，y，z)； 点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，y，z)； 点P关于原点对称的点的坐标是P4(x，y，z) 其中叙述正确的序号是_ 【解析】由图形
2、几何性质知错，正确 【答案】 3.如图 233 所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得， 其中 AB4，BC1，BE3，CF4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为 _ 图 2 33 【解析】长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截， 交线AGEF.又BE3，CF4， DG 1，故G的坐标为 (0,0,1) 【答案】(0,0,1) 4.如图 234，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点B1的坐标为 (a，a，a)，则点D1 的坐标为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 2 34 【解析】由点B1的坐标为 (a，a，a)知点D1的坐标为 (0,0，a)
3、 【答案】(0,0，a) 5已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标 为_ 【解析】根据点M到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M(1,1,1)或( 1， 1， 1) 【答案】(1,1,1)或(1， 1， 1) 6已知点P在x轴正半轴上，OP 2，PP在xOz平面上，且垂直于x轴，PP 1，则点P和P的坐标分别为_，_. 【导学号： 41292118】 【解析】由于P在x轴的正半轴上，故点P的坐标为 (2,0,0)，又PP在xOz平面 上，且垂直于x轴，故P点坐标为 (2,0， 1) 【答案】(2,0,0) (2,0， 1) 7.正方体ABCDABCD的
4、棱长为1，且 |BP| 1 3| BD| ，建立如图235 所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为 _ 图 2 35 【解析】如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分 别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于 |BP| 1 3| BD| ，所以 |DH| 1 3| DD| 1 3，| DF| 2 3| DA| 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 3，| DG| 2 3| DC| 2 3，所以 P点的坐标为 2 3， 2 3， 1 3 . 【答案】 2 3 ， 2 3 ， 1 3 8.如图 236, MOAB是棱长为a的正四面体，顶点M在底面OAB上的射影
5、为H， 则M的坐标是 _ 图 2 36 【解析】由MOAB是棱长为a的正四面体知B 3 2 a， 1 2a ，0 ，A(0，a,0)，O(0,0,0) 又点H为OAB的中心知H 3 6 a， 1 2a ，0 ， 从而得M的坐标是 3 6 a， 1 2a， 6 3 a. 【答案】 3 6 a， a 2， 6 3 a 二、解答题 9在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的 坐标系，并写出各点的坐标. 【导学号： 41292119】 【解】如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1， 连结BO，OO1，可得BOAC，BOOO1，分别以OB，OC，OO1所在直
6、线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 各棱长均为1， OAOCO1C1O1A1 1 2， OB 3 2 . A，B，C均在坐标轴上， A0， 1 2， 0 ， B 3 2 ，0，0 ，C0， 1 2，0 . 点A1，C1均在yOz平面内， A10， 1 2，1 ， C10， 1 2，1 . 点B1在xOy面内的射影为点B，且BB11， B1 3 2 ，0，1 . 10如图237，已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线BD与平面 AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点，请建立适当的空间直角 坐标系，求出
7、点A，B，C，D，E，F的坐标 图 2 37 【解】ABCDA1B1C1D1为长方体，可以以顶点A为原点，以棱AB，AD，AA1 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 AD平面AA1B1B， ABD就是直线BD与平面AA1B1B所成的角， ABD30， RtBAD中，由AB2，AEBD，ABD30可解得ADABtan 30 2 3 3 23 3 ，BD2AD 43 3 ，AE1. 过点E在平面ABCD内作AB的垂线EM，垂足为点M，RtAEM中，EMAEsin 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 60 3 2 ， AMAEcos 60 1 2. 又长方体ABCDA
8、1B1C1D1中， AA1 1，F为A1B1的中点， A(0,0,0)，B(2,0,0)，A1(0,0,1)， B1(2,0,1)，C2，2 3 3 ，0 ，D0， 23 3 ，0 ， E 1 2， 3 2 ，0 ，F(1,0,1) 能力提升 1空间两点A，B的坐标分别为(x，y，z)，(x，y，z)，则A，B两点的位置关 系是 _ 【解析】由A，B两点的坐标可知关于y轴对称 【答案】关于y轴对称 2在空间直角坐标系中，点M的坐标是 (4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面 xOz上的射影的坐标为_ 【解析】点M关于y轴的对称点是M (4,7， 6)，点M在坐标平面xOz上的射 影是
9、(4,0， 6) 【答案】(4,0， 6) 3.如图 2 38所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，BCD60， E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A，B，C， D，P，E的坐标 图 2 38 A_，B_，C_， D_，P_，E_. 【解析】如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，与 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系 则相关各点的坐标分别是A(0,0,0) ，B(1,0,0)，C 3 2， 3 2 ，0 ，D 1 2， 3 2 ，0 ，P(0
10、,0,2)， E 1， 3 2 ，0 . 【答案】(0,0,0) (1,0,0) 3 2， 3 2 ，0 1 2， 3 2 ，0(0,0,2) 1， 3 2 ， 0 (答案不唯 一) 4.如图 239 所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂 直，AD8，BC是圆O的直径，ABAC6，OEAD，试建立适当的空间直角坐标系， 求出点A，B，C，D，E，F的坐标 . 【导学号： 41292120】 图 2 39 【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OEAD， 所以OE平面ABC. 又AF? 平面ABC，BC? 平面ABC， 所以OEAF，OEBC， 又BC是圆O的直径， 所以OBOC， 又ABAC6， 所以OABC，BC62. 所以OAOBOCOF32. 如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 间直角坐标系， 所以A(0，32，0)，B(32，0,0)，C( 32，0,0)，D(0，32，8)，E(0,0,8)，F(0,32， 0)