高中数学第二章数列2.1数列名师讲义新人教B版必修5.pdf

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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1 数列 21.1 数列 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？ (2)数列的项与项数一样吗？ (3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？ (4)数列如何分类？分类的标准是什么？ 新知初探 1数列的概念 (1)数列：按照一定次序排列起来的一列数称为数列 (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项 (3)数列的表示： 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an简记为 an 点睛 (1)数列中的数是按一定顺序排列的因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺 序不同，那么它们就是不同的数列例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数

2、列10,9,8,7,6,5,4是不同的数 列 (2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重 复出现例如：1， 1,1， 1,1，； 2,2,2， . 2数列的通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式 点睛 同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式 3数列与函数的关系 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集 1,2,3，n)的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式 也就是相应函数的解析式 数列作

3、为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示 4数列的分类 (1)按项的个数分类： 预习课本P2527， 思考并完成以下问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类别含义 有穷数列项数有限的数列 无穷数列项数无限的数列 (2)按项的变化趋势分类： 类别含义 递增数列从第二项起，每一项大于它的前一项的数列 递减数列从第二项起，每一项小于它的前一项的数列 常数列各项都相等的数列 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) (1)数列 1,1,1，是无穷数列( ) (2)数列 1,2,3,4和数列 1,2,4,3是同一个数列 ( ) (3)有些数列没有通项公式( ) 解析

4、： (1)正确每项都为1 的常数列，有无穷多项 (2)错误，虽然都是由1,2,3,4 四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不 是同一个数列 (3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公 式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式 答案： (1)(2)(3) 2在数列 1,0， 1 9 ， 1 8， n2 n2 ，中， 0.08是它的 ( ) A第 100项B第 12 项C第 10项D第 8 项 解析：选C ann 2 n2 ，令 n2 n2 0.08，解得n10 或n 5 2 (舍去 ) 3数列的通项公式为an 3n1，n为奇数

5、， 2n2，n为偶数， 则a2a3等于 ( ) A70 B28 C 20 D 8 解析：选C 由an 3n1，n为奇数， 2n2，n为偶数， 得a22，a310，所以a2a3 20. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4若数列 an的通项满足 an n n2，那么 15 是这个数列的第_项 解析：由 an n n2 可知，ann22n， 令n 2 2n15，得 n5 或n 3(舍去 ) 答案： 5 数列的概念及分类 典例 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A1， 1 3， 1 32， 1 33， Bsin 13 ，sin 2 13，sin 3 13，sin 4 13， C

6、 1， 1 2， 1 3， 1 4， D1,2,3,4， 30 解析 数列 1， 1 3， 1 32， 1 33，是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列 sin 13，sin 2 13，sin 3 13，sin 4 13，是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列 1， 1 2， 1 3， 1 4，是无穷数列，也是递增数列；数列 1,2,3,4， 30 是递增数列，但不是 无穷数列 答案 C 1有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列 含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列 2数列单调性的判断 判断数列的单调性，则

7、需要从第2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 anan 1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若 an与an 1的大小不确定时，则是摆动数列 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 给出以下数列： 1， 1,1， 1，； 2,4,6,8， 1 000； 8,8,8,8，； 0.8,0.8 2,0.83,0.84， 0.810. 其中，有穷数列为_；无穷数列为_；递增数列为_；递减数列为 _；摆动数列为_；常数列为 _(填序号 ) 解析：有穷数列为；无穷数列为；递增数列为；递减数列为；摆动数列为 ；常数列为. 答案： 由数列的前几项求通项公式 典例 (1)数列

8、 3 5， 1 2， 5 11， 3 7，的一个通项公式是 _ (2)根据以下数列的前4 项写出数列的一个通项公式 1 24 ， 1 35， 1 46， 1 57，； 3,7， 15,31，； 2,6,2,6， . 解析 (1)数列可写为： 3 5， 4 8， 5 11， 6 14， ，分子满足： 312,422,532,6 42， ， 分母满足： 5 312,8322,11332,14342， 故通项公式为an n2 3n 2 . 答案 an n2 3n2 (2)解：均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二 个因数比第一个因数大2， an 1 n1n 3 . 正

9、负相间，且负号在奇数项，故可用(1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2 的整数次 幂减 1， an( 1)n(2n 11) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 为摆动数列，一般求两数的平均数 26 2 4，而 242,642，中间符号用 ( 1) n 来 表示 an4(1)n 2或an 2，n是奇数， 6，n是偶数 . 给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列 的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的 关系，主要从以下4 个方面来考虑： (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系

10、(2)若n和n1 项正负交错，那么符号用(1) n 或(1)n 1或(1)n 1来调控 (3)熟悉一些常见数列的通项公式 (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构 形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差” “积”“商”后再进 行归纳 活学活用 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24 ，； (2)1， 3,5， 7,9，； (3)1 1 2，2 2 3，3 3 4，4 4 5，； (4)1,11,111,1 111 ， . 解： (1)观察数列中的数，可以看到011,341，8 91,15161,24251，

11、所以它的一个通项公式是ann21. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9 ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项 为负，所以它的一个通项公式为an(1) n 1(2n1) (3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为 n n1，故所求 的数列的一个通项公式为ann n n1 n22n n1 . (4)原数列的各项可变为 1 9 9， 1 9 99， 1 9 999， 1 99 999，易知数列 9,99,999,9 999 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的一个通项公式为an10 n1.所以原数列的一个通项公式为 an 1 9(10

12、n1). 判定数列中项的问题 典例 已知数列 an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2 倍 (1)求这个数列的第4项与第 25 项； (2)253和 153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)由题设条件，知ann2n. a442 410，a252522555. (2)假设 253是这个数列中的项，则253n2n，解得n121.253是这个数列的第121 项 假设 153 是这个数列中的项，则153n2n，解得n72 1 4 ，这与n是正整数矛盾， 153不是这个数列中的项 已知数列 an的通项公式，判断某一个数是否是数列an的项，即令通项公式等于该数， 解关于n的方程，若

13、解得n为正整数k，则该数为数列an的第k项，若关于n的方程无解或 有解且为非正整数解则该数不是数列an 中的项 活学活用 数列 1， 1 2， 2 1， 1 3， 2 2， 3 1， 1 4， 2 3， 3 2， 4 1，则 8 9是该数列的 ( ) A第 127项B第 128项 C第 129项D第 130 项 解析：选 B 把该数列的第一项1 写成 1 1，再将该数列分组， 第一组一项： 1 1；第二组两项： 1 2， 2 1；第三组三项： 1 3， 2 2， 3 1；第四组四项： 1 4， 2 3， 3 2， 4 1；容易发现：每组中每个分数的分 子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子

14、从1 开始逐一增加，因此 8 9 应位于第十六组中 第八位由12 158128，得 8 9是该数列的第 128项 层级一学业水平达标 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1有下面四个结论： 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； 数列的项数一定是无限的； 数列的通项公式的形式是唯一的； 数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ，不存在通项公式 其中正确的是 ( ) ABCD 解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，正确；有穷数列的项数就是有限的， 因此错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ，存在通

15、项公式，错误故选A. 2下列说法正确的是( ) A数列 1,3,5,7与数集 1,3,5,7 是一样的 B数列 1,2,3与数列 3,2,1是相同的 C数列1 1 n 是递增数列 D数列1 1 n n 是摆动数列 解析：选 D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B 不正确；选项C 中的数列是递 减数列；选项D 中的数列是摆动数列 3数列 an 中，an3 n 1，则 a2等于 ( ) A2 B3 C9 D32 解析：选B 因为an3n 1，所以a232 13. 4数列 0， 3 3 ， 2 2 ， 15 5 ， 6 3 ，的一个通项公式是( ) Aan n2 n Ban n 1 n Can

16、 n1 n1 Dan n 2 n2 解析：选C 已知数列可化为：0， 1 3 ， 2 4， 3 5， 4 6 ，故an n1 n1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5已知数列 1 2， 2 3， 3 4， n n1，则 0.96 是该数列的 ( ) A第 20 项B第 22 项 C第 24 项D第 26 项 解析：选C 由 n n10.96，解得 n24. 6数列 1,1， 2,2， 3,3，的一个通项公式为_ 解析：注意 到数列的奇数项 与偶数项的特 点即可得an n 1 2 ，n2k1k N， n 2，n2k kN. 答案：an n1 2 ，n2k1kN， n 2， n2kkN

17、 7已知数列2，5，22，11，则25是该数列的第_项 解析：a12，a25，a38，a411， an3n1. 由3n 125? 3n120?n7， 25是该数列的第7 项 答案： 7 8已知数列 an的通项公式an192n，则使an0 成立的最大正整数n的值为 _ 解析：由an192n0，得n 7 6 ， n0，即an1an； 当n9 时，an1an0，即an 1an； 当n9 时，an 1ana11a12， 故数列 an有最大项，为第9 项和第 10 项，且a9a10 10 10 11 9. 法二：根据题意，令 an 1an， anan 1， (n1) 即 n 10 11 n 1 n1 1

18、0 11 n， n1 10 11 n n2 10 11 n 1， (n1) 解得 9n10. 又nN，则n9 或n10.故数列 an有最大项，为第9 项和第 10项，且a9a1010 10 11 9. (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如 单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2，n 这一条件 (2)可以利用不等式组 an1an， anan1， (n1)找到数列的最大项；利用不等式组 an 1an， anan 1， (n1)找到数列的最小项 活学活用 数列 an的通项公式为an3n228n，则数列 an各项中最小项

19、是( ) A第 4 项B第 5 项 C第 6 项D第 7 项 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选B an3n228n3n 14 3 2196 3 ， 当n 14 3 时，an最小，又nN， 故n5 时，an3n228n最小 层级一学业水平达标 1已知数列 an的首项为a11，且满足an 1 1 2a n 1 2n，则此数列的第 4 项是 ( ) A1 B. 1 2 C. 3 4 D. 5 8 解析：选B 由a11，a2 1 2a 1 1 21，依此类推 a41 2. 2在递减数列an中，ankn(k为常数 )，则实数k的取值范围是( ) AR B(0， ) C(， 0) D(，

20、 0 解析：选C an 是递减数列， an 1ank(n1)knk0.求数列 an的通项公式 解：f(x)x 1 x， f(an)an 1 an， f(an) 2n.an 1 an 2n， 即a2 n2nan 10.ann n21. an0，ann21n. 层级二应试能力达标 1若数列 an满足an1 4an3 4 (nN)，且a11，则a17( ) A13 B14 C15 D16 解析：选A 由an1 4an3 4 ?an1an 3 4， a17a1(a2a1) (a3a2) (a17a16)1 3 4 1613，故选 A. 2在数列 an中，a12，an 1anlg 1 1 n ，则an

21、( ) A2 lg nB2(n 1)lg n C2nlg nD1nlg n 解析：选 A 由an 1anlg 1 1 n ?an 1anlg 1 1 n ，那么ana1(a2a1) (an an1)2lg 2 lg 3 2 lg 4 3 lg n n12lg2 3 2 4 3 n n12lg n. 3已知数列 an，an 2n2 n，若该数列是递减数列，则实数的取值范围是( ) A(， 3 B(， 4 C(， 5) D(， 6) 解析：选 D 依题意，an 1an 2(2n1)M，则称M为数列 an 的一 个下界，数列an的最大下界称为下确界已知数列an 的通项公式为ann 1 n ，按此定义

22、， 则数列 an的下确界是 _ 解析：由题意，an n1 n 1 1 n， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由于 1 n0，所以对任意 nN，都有an1， 易知 1是数列 an的最大下界 故数列 an的下确界是1. 答案： 1 7已知数列 an的通项公式为an n2 2n(nN )，则这个数列是否存在最大项？若存在，请 求出最大项；若不存在，请说明理由 解：存在最大项理由：a1 1 2 ，a2 22 221，a 3 3 2 2 3 9 8 ，a4 4 2 2 4 1，a5 52 25 25 32 ， .当n 3 时， an 1 an n1 2 2 n 1 2n n 2 n1 2 2n2 1 2 1 1 n 21， an 1an，即n3 时， an 是递减数列 又a1a3，a2a3，ana3 9 8. 当n3 时，a3 9 8为这个数列的最大项 8已知数列 an满足a1 1 2， anan1an 1an(n2)，求数列 an的通项公式 解：anan 1an 1an， 1 an 1 an11. 1 an 1 a1 1 a2 1 a1 1 a3 1 a2 1 an 1 an1 21 11 n1 个 1 n1. 1 an n1，an 1 n1(n2) 又n1 时，a1 1 2，符合上式， an 1 n1.