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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 曲线的参数方程1参数方程的概念 1参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t的函数： xft ygt ，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方 程组就叫这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给 出坐标间关系的方程叫做普通方程 2参数的意义 参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没 有明显实际意义的变数 求曲线的参数方程 如图，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y 轴上滑动，求点P在
2、第一象限的轨迹的参数方程 此类问题的关键是参数的选取本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动，故可以 OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解 法一：设P点的坐标为 (x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q. 如图所示，则RtOABRtQBP. 取OBt，t为参数 (0ta) |OA| a 2 t2， |BQ| a 2 t2. 点P在第一象限的轨迹的参数方程为 xta 2 t2， yt (0ta) 法二：设点P的坐标为 (x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 取QBP， 为参数0 2 ， 则ABO 2 . 在 R
3、tOAB中， |OB| acos 2 asin . 在 RtQBP中， |BQ| acos ，|PQ| asin . 点P在第一象限的轨迹的参数方程为 xasin cos ， yasin 为参数， 0 2 . 求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何 条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系 第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x， y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定例如，在研 究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某 一
4、定点的“有向距离” ，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的 函数关系式，证明可以省略 1设质点沿以原点为圆心，半径为2 的圆做匀角速度运动，角速度为 60 rad/s，试以时 间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：如图，运动开始时质点位于点A处， 此时t 0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知 x2cos ， y2sin (为参数 )， 又 60 t， 故参数方程为 x2cos 60t， y2sin 60t (t为参数 ) 2选取适当的参数，把直线方程y2x3
5、 化为参数方程 解：选tx，则y 2t 3. 由此得直线的参数方程为 xt， y 2t 3 (t为参数 ) 也可选tx 1，则y2t1. 参数方程为 xt1， y 2t 1 (t为参数 ). 参数方程表示的曲线上的点 已知曲线C的参数方程是 x3t， y2t 21 (t为参数 ) (1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值 由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在， 说明点在曲线 上，否则不在曲线上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)把点M1的坐标 (0,1)代入方程组，得 03t， 12t2
6、1. 解得t 0.点M1在曲线C上 同理，可知点M2不在曲线C上 (2)点M3(6，a)在曲线C上， 63t， a2t21. 解得t 2，a9. a9. 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方 程下的判断方法是一致的 3曲线 (x1) 2 y 24 上的点可以表示为 ( ) A(1cos ，sin ) B(1sin ，cos ) C(12cos ，2sin ) D(12cos ，2sin ) 解析：选 D 将点的坐标代入方程，使方程成立的即可 4已知某条曲线C的参数方程为 x 12t， yat 2 (其中t为参数，aR)，点M(5,4)在该曲 线上，求常数
7、a. 解：点M(5,4)在曲线C上， 512t， 4at 2， 解得 t2， a1. a的值为 1. 课时跟踪检测(七) 一、选择题 1下列方程可以作为x轴的参数方程的是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. xt21， y0； (t为参数 ) B. x0， y3t1； (t为参数 ) C. x1 sin ， y0； (为参数 ) D. x4t1， y0； (t为参数 ) 解析：选 D x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0. 2已知曲线C的参数方程为 x 6 4 cos ， y5tan 3 (为参数，2 )，若点(14，a)在曲 线C上，则a等于 ( ) A 353 B 3
8、 53 C 3 5 3 3 D 35 3 3 解析：选 A (14，a)在曲线C上， 146 4 cos ， a5tan 3. 由，得 cos 1 2.又 2， sin 1 1 2 2 3 2 ， tan 3. a5(3) 3 353. 3在方程 xsin ， ycos 2 (为参数 )所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A(2， 7) B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 1 2 D (1,0) 解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出，则点在曲线上，经检验，知C 满 足条件 4由方程x2y24tx2ty3t24 0(t为参数 )所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为 ( ) 积一时之跬步臻
9、千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. x2t yt B. x 2t yt C. x2t yt D. x 2t yt 解析：选 A 设 (x，y)为所求轨迹上任一点 由x2y24tx 2ty3t240，得 (x 2t)2(yt)242t2. x2t， yt. 二、填空题 5已知曲线 x2sin 1， ysin 3 (为参数， 02 ) 下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(3,5)，其中在曲线上的点是_ 解析：将点A坐标代入方程，得0 或， 将点B，C坐标代入方程，方程无解， 故点A在曲线上 答案：A(1,3) 6下列各参数方程与方程xy1 表示相同曲线的是_(填序号 ) xt2， yt 2，
10、xsin t， ycsc t， xcos t， ysec t， xtan t， ycot t. 解析：普通方程中，x，y均为不等于0 的实数，而中x的取值依次为： ， ，故 均不正确，而中，xR，yR，且xy1，故正确 答案： 7动点M作匀速直线运动， 它在x轴和y轴方向的分速度分别为9 和 12，运动开始时， 点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为_ 解析：设M(x，y)， 则在x轴上的位移为x19t， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在y轴上的位移为y 112t. 参数方程为 x1 9t， y112t (t为参数 ) 答案： x19t， y112t (t为参数 ) 三、解答题
11、8已知动圆x2y22axcos 2bysin 0(a，bR，且ab，为参数 )，求圆心的轨 迹方程 解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点 由x2y22axcos 2bysin 0，得 (xacos )2(ybsin )2a2cos 2 b2sin2. xacos ， ybsin (为参数 ) 这就是所求的轨迹方程 9如图所示，OA是圆C的直径，且OA2a，射线OB与圆交于 Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA，PBOA，试求点P 的轨迹方程 解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ， 由PQOA，PBOA，得 xODOQcos OAcos 2 2acos 2 ， yABOAtan 2
12、atan . 所以P点轨迹的参数方程为 x2acos 2 ， y2atan ， 2 ， 2 . 10试确定过M(0,1)作椭圆x2 y2 41 的弦的中点的轨迹方程 解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为ykx1， 其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设中点P(x，y)，则有：x x1x2 2 ，y y1y2 2 . 由 ykx 1， x2 y 2 4 1， 得(k24)y28y44k20. x1x2 2k k24， y1y2 8 k24. x k k2 4 ， y 4 k24 (k为参数 ) 这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程