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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1椭圆的参数方程 椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 x2 a 2 y 2 b21 的参数方程是 xacos ， ybsin (是参数 )， 规定参数的取值范围是已知实数x，y满足 x 2 25 y 2 16 1，求目标函数zx 2y的最大值与 最小值 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题 椭圆 x2 25 y2 161 的参数方程为 x5cos ， y4sin (为参数 ) 代入目标函数得z 5cos 8sin 5 282cos( 0) 89cos( 0) tan 0 8 5 . 所以目标函数zmi
2、n89，zmax89. 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函 数求解 1已知椭圆 x2 25 y2 161，点 A的坐标为 (3,0)在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离 最大 解：椭圆的参数方程为 x5cos ， y4sin (为参数 ) 设P(5cos ，4sin )，则 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |PA| 5cos 3 2 4sin 2 9cos 2 30cos 25 3cos 5 2|3cos 5| 8， 当 cos 1 时， |PA| 最大 此时， sin 0，点P的坐标为 (5,0) 2椭圆 x2 9 y2 41 上一动点
3、P(x，y)与定点A(a,0)(0a3)之间的距离的最小值为1，求a 的值 解：椭圆的参数方程为 x3cos ， y2sin (为参数 ) 设动点P(3cos ， 2sin )，则 |PA| 2 (3cos a)2 4sin 2 5 cos 3 5a 2 4 5a 24. 0a3， 0 3 5a 9 5.于是 若 0 3 5a1，则当 cos 3 5a 时， |PA|min 4 5a 2 41，得 a 15 2 (舍去 )； 若 1 3 5a 9 5，则当 cos 1 时， 由|PA| min a 2 6a91， 得|a3| 1，a 2，故满足要求的a值为 2. 椭圆参数方程的应用：求轨迹方程
4、 已知A，B分别是椭圆 x2 36 y2 9 1 的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求 ABC的重心G的轨迹方程 由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点C坐标的椭圆参数方 程形式，由三角形重心坐标公式求解 由题意知A(6,0)，B(0,3)由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为 (6cos ， 3sin )，点G的坐标设为 (x，y)，由三角形重心的坐标公式可得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 60 6cos 3 ， y 03 3sin 3 ， 即 x22cos ， y1sin . 消去参数得到 x2 2 4 (y1)21. 本题的解法体现了椭圆的参
5、数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简 单，运算更简便 3已知椭圆方程是 x2 16 y2 91，点 A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨 迹方程 解：椭圆的参数方程为 x4cos ， y3sin (为参数 ) 设P(4cos ，3sin )，Q(x，y)，则有 x 4cos 6 2 ， y 3sin 6 2 ， 即 x2cos 3， y 3 2sin 3 (为参数 ) 9(x3)2 16(y3)236， 即为所求轨迹方程 4设F1，F2分别为椭圆C： x2 a 2 y 2 b21(a b0)的左、右两个焦点 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)若椭圆
6、C上的点A1， 3 2 到F1，F2的距离之和等于4， 写出椭圆C的方程和焦点坐标； (2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程 解： (1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4， 得 2a4，即a2. 又点A1， 3 2 在椭圆上， 因此 1 4 3 2 2 b2 1，得b23， 于是c2a2b21， 所以椭圆C的方程为 x2 4 y 2 3 1， 焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0) (2)设椭圆C上的动点P的坐标为 (2cos ，3sin )，线段F1P的中点坐标为 (x，y)，则 x 2cos 1 2 ，y 3sin 0 2 ， 所以x 1 2 cos
7、， 2y 3 sin . 消去，得x 1 2 24y 2 3 1. 即为线段F1P中点的轨迹方程. 椭圆参数方程的应用：恒成立问题 已知椭圆 x2 4 y21 上任一点M(除短轴端点外 )与短轴两端点B1，B2的连线分别交x 轴于P，Q两点，求证： |OP| |OQ| 为定值 利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P， Q两点坐标，求出|OP| ，|OQ| ，再求 |OP| |OQ| 的值 设M(2cos ，sin )，为参数， B1(0， 1)，B2(0,1) 则MB1的方程：y1 sin 1 2cos x， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令y
8、 0，则x 2cos sin 1 ，即 |OP| 2cos 1sin . MB2的方程：y1 sin 1 2cos x， 令y 0，则x 2cos 1sin . |OQ| 2cos 1sin . |OP| |OQ| 2cos 1sin 2cos 1sin 4. 即|OP| |OQ| 4为定值 利用参数方程证明定值(或恒成立 )问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子) 表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可 5对任意实数，直线yxb与椭圆 x2cos ， y4sin (0 2 )恒有公共点，则b的取 值范围是 _ 解析：将 (2cos ，4sin )代入yxb，得
9、 4sin 2cos b. 恒有公共点，以上方程有解 令f()4sin 2cos 25sin() 25f()25. 25b25. 答案： 6曲线 xacos ， ybsin (ab0)上一点M与两焦点F1，F2所成角为F1MF2. 求证：F1MF2的面积为b2tan 2. 证明：M在椭圆上， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由椭圆的定义，得|MF1| |MF2| 2a， 两边平方，得|MF1| 2| MF2| 2 2| MF1|MF2| 4a 2. 在F1MF2中，由余弦定理，得 |MF1| 2| MF2| 22| MF1| |MF2|cos |F1F2| 24c2. 由两式，得 |
10、MF1| |MF2| b2 cos 2 2 . 故SF1MF2 1 2 |MF1| |MF2|sin b2tan 2. 课时跟踪检测(十) 一、选择题 1椭圆 xacos ， ybsin (为参数 )，若，则椭圆上的点(a,0)对应的等于 ( ) AB. 2 C2 D. 3 2 解析：选 A 点 (a,0)中xa， aacos ， cos 1， . 2已知椭圆的参数方程 x2cos t， y4sin t (t为参数 )，点M在椭圆上， 对应参数t 3，点 O 为原点，则直线OM的斜率为 ( ) A.3 B 3 3 C23 D 23 解析：选 C 点M的坐标为 (1,23)， kOM 23. 3
11、直线 x 4 y 31 与椭圆 x2 16 y2 91 相交于 A，B两点，该椭圆上点P使得PAB的面积 等于 4，这样的点P共有 ( ) A 1个B 2个C 3个D 4个 解析： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 选 B 设椭圆上一点P1的坐标为 (4cos ， 3sin )， 0， 2 ，如图所示，则S四边形 P1AOBSOAP1SOBP1 1 243sin 1 23 4cos 6(sin cos )62sin 4 . 当 4时， S四边形P1AOB有最大值为62. 所以SABP1 62SAOB6264. 故在直线AB的右上方不存在点P使得PAB的面积等于4，又SAOB64，所以在
12、 直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为 8 5，使得 SPAB 4. 故椭圆上有两个点使得PAB的面积等于4. 4两条曲线的参数方程分别是 xcos 2 1， y1sin 2 (为参数 )和 x3cos t， y2sin t (t为参数 )， 则其交点个数为( ) A 0 B1 C 0或 1 D 2 解析：选 B 由 xcos 2 1， y1sin2， 得xy10(1x0,1y2)，由 x3cos t， y2sin t 得 x2 9 y 2 4 1.如 图所示，可知两曲线交点有1 个 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5椭圆 x 42cos ， y1 5sin
13、 (为参数 )的焦距为 _ 解析：椭圆的普通方程为 x4 2 4 y1 2 25 1. c221， 2c221. 答案： 221 6实数x，y满足 3x24y212，则 2x3y的最大值是 _ 解析：因为实数x，y满足 3x24y212， 所以设x2cos ，y3sin ，则 2x3y4cos 3sin 5sin()， 其中 sin 4 5，cos 3 5. 当 sin()1 时， 2x3y有最大值为5. 答案： 5 7在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为 xacos ， ybsin (为参数，ab0)，在 极坐标系 (与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为
14、极轴) 中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sin 4 2 2 m(m为非零常数 )与b.若直线l经 过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 _ 解析：l的直角坐标方程为xym，圆O的直角坐标方程为x2y2b2，由直线l与圆 O相切， 得m2b. 从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c2b， 所以a3b，则离心率e c a 6 3 . 答案： 6 3 三、解答题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8已知两曲线参数方程分别为 x5cos ， ysin (0 )和 x 5 4t 2， yt (tR)，求它们 的交点坐标 解：将 x5cos ysin (0 )化为普通方程，得 x2
15、5 y 2 1(0 y1，x5)， 将x 5 4 t 2， yt代入，得 5 16t 4 t210， 解得t2 4 5， t 25 5 (yt0)，x 5 4t 2 5 4 4 51， 交点坐标为1， 25 5 . 9对于椭圆 xacos ， ybsin (为参数 )，如果把横坐标缩短为原来的 1 a，再把纵坐标缩短 为原来的 1 b即得到圆心在原点，半径为 1 的圆的参数方程 xcos ， ysin (为参数 )那么，若 把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关 系 解：设圆的参数方程为 xrcos ， yrsin (为参数 )， 如果将该圆看成椭圆，
16、 那么在椭圆中对应的数值分别为abr， 所以ca 2 b20， 则离心率e c a0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越 小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁 10在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为 x3cos ， ysin (为参数 ) (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正半轴为极轴 )中，点P的极坐标为4， 2 ，判断点P与直线l的位置关系； (2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值 解： (1)把极坐标系下的点P4， 2 化为直角坐标， 得P(0,4) 因为点P的直角坐标 (0,4)满足直线l的方程 xy4 0，所以点P在直线l上 (2)因为点Q在曲线C上， 故可设点Q的坐标为 (3cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离为 d |3cos sin 4| 2 2cos 6 4 2 2cos 6 22. 由此得，当cos 6 1 时，d取得最小值，且最小值为2.