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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二讲证明不等式的基本方法 对应学生用书P27 考情分析 从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差 比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题 在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明如果已知条 件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多” “恒 成立”等方式给出，可考虑用反证法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 真题体验 1(福建高考 )设不等式 |2x1| 1 的解集为M. 求集合
2、M； 若a，bM，试比较ab 1与ab的大小 解：由 |2x1| 1 得 12x11， 解得 0x 1， 所以Mx|0 x1 由和a，bM可知 0a1,0b1. 所以 (ab1)(ab)(a1)(b1)0， 故ab1ab. 2(辽宁高考 )设f(x)ln xx1，证明： (1)当x1 时，f(x)1 时，g(x) 1 x 1 2x 3 2 1 时， 2x1 时，f(x)b0.求证：abb0.上式显然成立， 原不等式成立即ab90，D是BC的中点，求证： AD 1 2 BC，因为BDDC 1 2BC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以在ABD中，ADBD， 从而B BAD. 同理C
3、 CAD. 所以BC BADCAD. 即BCA. 因为BC180A， 所以 180AA即A90，与已知矛盾， 故AD 1 2BC 不成立 由(1)(2)知AD 1 2BC 成立 . 放缩法证明不等式 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩 小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法 放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当 放缩， 否则达 不到目的 例 5 已知 |x| 3 b”时，假设的内容应是( ) A. 3 a 3 bB.3a 3 b， 3 a 3 b， 3 a 3 b的 反设应为 3 a 3 b或 3 aQB
4、PQ CP0.PQ. 答案： A 8 已知a，b为非零实数， 则使不等式： a b b a 2 成立的一个充分而不必要条件是 ( ) Aab0 Bab0 Ca0，b 0 Da0，b0 解析：因为 a b与 b a同号，由 a b b a 2，知 a b0， b a0，即 ab0，又若ab 0，则 a b0， b a0， 所以 a b b a a b b a 2 a b b a 2， 综上，ab0 是 a b b a 2 成立的充要条件， 所以a0，b0 是 a b b a 2 成立的一个充分而不必要条件 答案： C 9如果 loga3logb3，且ab1，那么 ( ) A 00，b0，又ab
5、1，故alogb3? 1 log3a 1 log3b0? log3blog3a log3alog3b0， 由 00， log3blog3a0，log3blog3a.故ba. 答案： A 10若ab0，下列各式中恒成立的是( ) A. 2ab a2b a b B.b 21 a 21 b 2 a2 Ca 1 a b 1 b Da a bb 解析：利用不等式性质得，当ab0 时， 1 ab 时，可知a aabba，则实数a，b应该满足的条件是_ 解析：由a知a0，b知b0，而aabbabba，知ba.此时aabb (abba)(ab)2(ab)0，不等式成立 答案：a0，b0，ab 积一时之跬步臻千
6、里之遥程 马鸣风萧萧整理 13记A 1 210 1 2 101 1 2102 1 2111，则 A与 1 的大小关系为_ 解析： 2111210 (2 101)， A是 210项之和 A 1 210 1 2101 1 2102 1 2111 1 210 1 210 1 210 1 2 102 101. 答案：A1 14已知a1，a lg b100，则 lg(ab )的最小值是 _ 解析：对a lg b100两边取常用对数得 lg alg b2， lg alg b lg alg b 2 2 lgab 2 2， lg(ab)22. 当且仅当 lg alg b2时，等号成立 答案： 22 三、解答题
7、 (本大题共4个小题，满分50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤 ) 15(本小题满分12 分)设|a| 1， |b| 1，求证： |ab| |ab| 2. 证明：当ab与ab同号时， |ab| |ab| |abab| 2|a| 2； 当ab与ab异号时， |ab| |ab| |ab(ab)| 2|b| 2. |ab| |ab| 2. 16(本小题满分12 分)求证： 2a21 3 2 1 a 21 3. 证明： 2a 21 3 21 a 2 1 2a 21 1 a 21 a 21 a21 1 a213 3 a212 1 a213. 17(本小题满分12 分)已知a 2 b2
8、c 2 1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证： 1 2 abbcca1. 证明：因为 (abc)20， 所以a2b2c22(abbcca)0. 又因为a2b2c21，所以abbcca 1 2. 因为ab a 2 b2 2 ，bc b2c 2 2 ，ac a 2 c 2 2 ， 所以abbcca a 2 b2 2 b2c2 2 a 2 c 2 2 a 2 b2c21. 所以 1 2 abbcca1. 18 (本小题满分14 分)设二次函数f(x)ax 2 bxc(a0) 中的a，b，c均为整数， 且f(0)， f(1)均为奇数 求证：方程f(x)0 无整数根 证明：假设方程f(x) 0有一个整数根k，则ak 2bkc0. f(0)c，f(1)abc均为奇数，则ab必为偶数 当k为偶数时，令k2n(nZ)，则 ak 2 bk4n2a2nb2n(2nab)必为偶数 ak 2 bkc必为奇数，与式矛盾； 当k为奇数时，令k2n1(n Z)， 则ak 2 bk(2n1)(2naab)为一奇数与一偶数之积，必为偶数，也与式相矛盾， 所以假设不正确，即方程f(x)0 无整数根