高考数学填空题常用解法.pdf

《高考数学填空题常用解法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学填空题常用解法.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第 2 讲高考填空题的常用方法 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考 数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条 件与结论开放的填空题 . 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空 题将会不断出现 . 因此， 我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能 准备. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还 要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答 填空题的基本要求 . 数学填空题，绝大多数是计算型 ( 尤其是推理计算型 ) 和概念 (性质)

2、判断型的试题， 应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略 是要在“准”、 “巧” 、 “快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、 等价转化法等。 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公 式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 例 1 设,)1(,3)1(jmibiima其中i，j 为互相垂直的单位向量，又 )()(baba， 则实数 m = 。 解 ：.)2(,)4()2(jmmibajmimba)()(baba， 0)()(baba0)4)(2()4()2()2( 222 jmmj

3、immmjmm， 而 i， j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(mmmm2m。 例 2 已知函数 2 1 )( x ax xf在区间),2(上为增函数，则实数a 的取值范围 是。 解： 2 21 2 1 )( x a a x ax xf， 由复合函数的增减性可知， 2 21 )( x a xg在),2( 上为增函数，021a， 2 1 a。 例 3 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13 场足球比赛，每场比赛有 3 种结 果：胜、平、负，13 长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中 12 场为一等奖，其它不设 奖， 则某人获得特等奖的概率为。 解： 由题设，此人猜中某一场的概率为

4、 3 1 ， 且猜中每场比赛结果的事件为相互独 立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为 13 3 1 。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中 变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。 例 4 在ABC 中， 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。 若 a、b、c 成等差数列， 则 CA CA coscos1 coscos 。 解： 特殊化：令5,4,3cba， 则ABC 为直角三角形，0cos, 5 3 cosCA， 从而所求值为 5 3 。 例 5 过抛物线)0( 2 aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线交于P、Q 两点，

5、若线段 PF、FQ的长分别为 p、q， 则 qp 11 。 分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点P、Q， 当 k 变化时 PF、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ 不定， 但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。 解： 设 k = 0， 因抛物线焦点坐标为), 4 1 , 0( a 把直线方程 a y 4 1 代入抛物线方程得 a x 2 1 ， a FQPF 2 1 |， 从而a qp 4 11 。 例 6 求值)240(cos)120(coscos 222 aaa。 分析：题目中“求值”二字提供了

6、这样信息： 答案为一定值，于是不妨令0a， 得 结果为 2 3 。 三、数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地 解决问题，得出正确的结果。 例 7如果不等式xaxx) 1(4 2 的解集为 A， 且20|xxA， 那么实 数 a 的取值范围是。 解： 根据不等式解集的几何意义，作函数 2 4xxy和 函数xay)1(的图象（如图）， 从图上容易得出实数a 的取 值范围是,2a。 例 8求值) 2 1 arctan 3 sin(。 解：) 2 1 arctan 3 sin() 2 1 sin(arctan 2 1 ) 2 1 cos(arctan 2

7、3 ， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为 2 1 arctan， 从而 . 5 1 ) 2 1 sin(arctan, 5 2 ) 2 1 cos(arctan所以可得结果为 10 1525 。 例 9 已知实数 x、y 满足3)3( 22 yx， 则 1x y 的最大值是。 解： 1x y 可看作是过点P（x， y）与 M（1， 0）的直线的斜率，其中点 P 的圆 3)3( 22 yx上， 如图， 当直线处于图中切线位置时，斜率 1x y 最大， 最大值为 3tan。 四、等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ， 将问题等价地转化成便于解决的问题，从 而得出正确的结果。 例

8、 10 不等式 2 3 axx的解集为（4， b） ， 则 a= ， b= 。 解：设tx， 则原不等式可转化为：, 0 2 32 tata 0， 且 2 与)4(bb是 方程0 2 3 2 tat的两根，由此可得：36, 8 1 ba。 例 11 不论 k 为何实数，直线1kxy与曲线0422 222 aaaxyx恒有 交点， 则实数 a的取值范围是。 解： 题设条件等价于点（0， 1）在圆内或圆上，或等价于点（0， 1）到圆 42)( 22 ayax， 31a。 例 12 函数xxy3214单调递减区间为。 解： 易知.0,3, 4 1 yxy 与 y2有相同的单调区间， 而3134411

9、 22 xxy， 可得结果为 3 , 8 13 。 总之， 能够多角度思考问题，灵活选择方法， 是快速准确地解数学填空题的关键。 五、练习 1 已知函数1xxf， 则._3 1 f 讲解由13x， 得43 1 xf， 应填 4. 请思考为什么不必求xf 1 呢？ 2 集合 NxxM x , 2 1 10log1 1 的真子集的个数是._ 讲解NxxxxM,10010Nx2,lgx1， 显然集合M中有 90 个元素， 其 真子集的个数是1290 ， 应填12 90 . 快速解答此题需要记住小结论; 对于含有n 个元素的有限集合, 其真子集的个数是.122 3若函数baxxaxy, 32 2 的图

10、象关于直线1x对称，则._b 讲解由已知抛物线的对称轴为 2 2a x, 得4a， 而1 2 ba ， 有 6b ， 故应填 6. 4 果函数 2 2 1x x xf， 那么 ._ 4 1 4 3 1 3 2 1 21fffffff 讲解容易发现1 1 t ftf， 这就是我们找出的有用的规律，于是 原式 2 7 31f， 应填. 2 7 本题是 2002 年全国高考题，十分有趣的是， 2003 年上海春考题中也有一道类似题： 设 22 1 x xf， 利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 ._650f45ffff 5已知点 Pcos,tan在第三象限，则角的终边在第 _象限

11、. 讲解由已知得 , 0cos , 0sin , 0cos ,0tan 从而角的终边在第二象限，故应填二 . 6 不等式120lg cos2x （,0x）的解集为_. 讲解注意到120lg， 于是原不等式可变形为 .0cos0cos2xx 而 x0 ， 所以 2 0x， 故应填 . 2 0Rxxx， 7如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线 8 x对称，那么._a 讲解2sin1 2 ay， 其中atan. 8 x是已知函数的对称轴， 28 2k， 即Zkk， 4 3 ， 于是.1 4 3 tantanka故应填1. 在解题的过程中，我们用到如下小结论： 函数xAysin和xAycos

12、的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴 对称图形 . 8 设复数 24 cossin2 1 z在复平面上对应向量 1 OZ，将 1 OZ按顺时针方 向 旋 转 4 3 后 得 到 向 量 2 OZ， 2 OZ对 应 的 复 数 为sincos 2 irz，则 ._tan 讲解应用复数乘法的几何意义，得 4 3 sin 4 3 cos 12 izz icossin2cossin2 2 2 ， 于是， 1tan2 1tan2 cossin2 cossin2 tan 故应填. 1tan2 1tan2 9设非零复数yx,满足0 22 yxyx，则代数式 20052005 yx y yx x 的

13、值是 _. 讲解将已知方程变形为11 2 y x y x ， 解这个一元二次方程，得 . 2 3 2 1 i y x 显然有 23 1, 1, 而166832005, 于是 原式 20052005 2005 1 1 1 2005 2 2005 2 1 . 1 1 2 在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值 得重视 . 10已知 n a是公差不为零的等差数列，如果 n S是 n a的前 n 项和，那么 ._ lim n n nS na 讲解特别取nan ， 有 2 1nn Sn ， 于是有 .2 1 1 2 1 2 limlimlim 2 n nn n

14、S na nn n n n 故应填 2. 11列 n a中， 是偶数），（ 是奇数， n n a n n n 5 2 5 1 nn aaaS 2212 , 则 ._ 2 lim n n S 讲解分类求和，得 ， nnn aaaaaaS 24212312 8 1 5 1 1 5 2 5 1 1 5 1 2 2 2 2 lim n n S， 故应填 8 1 12以下四个命题： ；3122nn n ；122642 2 nnnn 凸 n 边形内角和为；31nnnf 凸 n 边形对角线的条数是 .4 2 2 n nn nf 其中满足“假设 0 ,kkNkkn时命题成立，则当n=k+1 时命题也成立. 但

15、不满足“当 0 nn（ 0 n是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是. 讲解当 n=3 时，1322 3 ， 不等式成立； 当 n=1 时，2112 2 ， 但假设 n=k 时等式成立，则 21112212642 22 kkkkkk； 133f， 但假设1kkf成立，则 ；111kkfkf 2 244 4f， 假设 2 2kk kf成立，则 . 2 211 31 kk kkfkf 故应填 . 13某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字是 不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比） 为.

16、 讲解中奖号码的排列方法是：奇位数字上排不同的奇数有 3 5 P种方法，偶位数字上排偶数 的方法有 3 5， 从而中奖号码共有 33 5 5P种，于是中奖面为 %,75.0%100 1000000 5 33 5 P 故应填%.75. 0 14 72 21 xx的展开式中 3 x的系数是._ 讲解由 77 2 7 2 2221xxxxx 知， 所求系数应为 7 2x 的 x 项的系数与 3 x 项的系数的和，即有 ，100822 44 7 66 7 CC 故应填 1008. 15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表 面积是 _. 讲解长方体的对角线

17、就是外接球的直径R2, 即有 ,5054342 22222 RR 从而504 2 RS球 ， 故应填 .50 16若四面体各棱的长是1 或 2， 且该四面体不是正四面体，则其体积是（只 需写出一个可能的值） 讲解本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三 角形中两边之和大于第三边”， 就可否定 1， 1 ， 2 ， 从而得出 1， 1 ， 1 ， 1， 2 ， 2 ， 2， 2 ， 2 三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的 体积分别为： 6 11 , 12 11 , 12 14 ， 故应填 . 6 11 、 12 11 、

18、12 14 中的一个即可. 17 如右图， E 、F 分别是正方体的面ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体 A1 C1 D1 的面上的射影可能是. （要求：把可能的图的序号都填上） 讲解因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、 左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面 ABB1A1、面 ADD1A1上的射影 . 四边形 BFD1E在面 ABCD 和面 ABB1A1上的射影相同，如图2所示； 四边形 BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内， 它在面 ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图 3 所示 . 故应

19、填2 3 . 18直线1xy被抛物线xy4 2 截得线段的中点坐标是_. 讲解由 xy xy 4 , 1 2 消去 y， 化简得 ,016 2 xx 设此方程二根为 21 xx ， 所截线段的中点坐标为 00 yx ， 则 .21 3 2 00 21 0 xy xx x， 故 应填2,3. 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是200 2 2 y x y， 在杯内 放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是 _. 讲解依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上， 并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从 而可设大圆的方程为. 222 rryx 由 ， ， 2 2 222 x y rryx 消去 x， 得012 2 yry（ *） 解出0y或.12ry 要使（ * ）式有且只有一个实数根0y， 只要且只需要,012 r即.1r 再结合半径0r， 故应填.10r 19 椭圆1 259 22 yx 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m ， 则当 m取最大值时，点 P的坐 标是 _. 讲解记椭圆的二焦点为 21 FF ， 有 ,102 21 aPFPF 则知.25 2 2 21 21 PFPF PFPFm 显然当5 21 PFPF， 即点 P位于椭圆的短轴的顶点处时， m 取得最大值25. 故应填0 ,3或.0, 3