高考数学理科试题含答案.pdf

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1、普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题） ， 第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，共 4 页，满 分 150 分，考试时间120 分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效， 考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的。 1.设集合| 22Axx， Z 为整数集，则AI Z中元素的个数是（） （A）3（B）4（C）5（D）6 2.设 i

2、 为虚数单位，则 6 (i)x的展开式中含x4的项为（ ） （A） 15x4（B）15x4（C） 20i x4（D）20i x4 3.为了得到函数 sin(2) 3 yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点（） （ A）向左平行移动 3 个单位长度（ B）向右平行移动 3 个单位长度 （ C）向左平行移动 6 个单位长度（ D）向右平行移动 6 个单位长度 4.用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（） （ A） 24（B）48（C）60（D）72 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元

3、，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%， 则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份 是（） （参考数据：lg 1.120.05， lg 1.30.11， lg20.30） （ A）2018 年（ B）2019 年（ C）2020 年（ D） 2021 年 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项 式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值 的一个实例，若输入 n， x 的值分别为3， 2， 则输出 v 的值为（） （ A） 9 （B）18 （C）20 （D）35 7.

4、设 p：实数 x， y 满足 (x1) 2+(y1)22， q：实数 x， y 满足 1, 1, 1, yx yx y 则 p 是 q 的（） （ A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 8.设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 2 2(p0)ypx上任意一点，M 是线段PF 上的点，且 PM=2MF,则直线 OM 的斜率的最大值为（） （ A） 3 3 （B） 2 3 （C） 2 2 （D）1 9.设直线 l1， l2分别是函数f(x)= ln ,01, ln ,1, xx x x 图象上点P1， P2处的切线， l1与 l2垂直相交于点P

5、， 且 l1， l2分别与 y 轴相交于点A， B， 则 PAB 的面积的取值范围是（） （ A） (0,1) （B）(0,2) （ C）(0,+) （D）(1,+) 10.在平面内，定点 A， B， C， D 满足DA uuu r =DB uuu r =DC uuu r ,DA uuu r g DB uuu r =DB uuu r gDC u uu r =DC uuu r gDA uuu r =-2， 动点 P， M 满足AP uuu r =1，PM uuu u r =MC uuu u r ， 则 2 BM uuuu u r 的最大值是（） （A） 43 4 （ B） 49 4 （ C） 3

6、76 3 4 （D） 372 33 4 第 II 卷（非选择题100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分， 共 25 分。 11.cos2 8 sin2 8 = . 12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中 成功次数X 的均值是. 13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积 是。 正视图 33 1 14.已知函数f（x）是定义在R 上的周期为2 的奇函数，当 0x1 时，f（x） =4 x ， 则 f（错误 !未找到 引用源。）+ f（1）= 。15在平面直角坐标系中，

7、当 P(x， y)不是原点时，定义 P 的“伴随 点”为 2222 (,) yx P xyxy ； 当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C定义 为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题： 若点 A 的“ 伴随点 ” 是点 A， 则点 A的“伴随点”是点A 单位圆的“伴随曲线”是它自身； 若曲线C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” C关于 y 轴对称； 一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）. 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满

8、分12 分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部 分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位： 吨） ， 将数据按照 0,0.5)， 0.5,1)， ，4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. a 0.52 0.40 0.16 0.12 0.08 0.04 4.5 4 3.532.521.510.50月均用水量（吨） 组距 频率 （I）求直方图中a 的值； （II）设该市有30 万

9、居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并说明理由； （III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨） ， 估计x的值，并说明理由 . 17.（本小题满分12 分） 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且 coscossinABC abc . （I）证明：sinsinsinABC； （II）若 2226 5 bcabc， 求tanB. 18.（本小题满分12 分） 如图， 在四棱锥P-ABCD 中， AD BC，ADC=PAB=90 ， BC=CD= 1 2 AD.E为棱 AD 的中点， 异面直线PA 与 CD 所成的角为90. E D C

10、 B P A （I）在平面PAB 内找一点 M， 使得直线 CM平面 PBE， 并说明理由； (II) 若二面角P-CD-A 的大小为45，求直线 PA 与平面 PCE所成角的正弦值. 19.（本小题满分12 分） 已知数列 n a 的首项为 1， n S为数列 n a的前 n 项和， 1 1 nn SqS， 其中 q0， * nN. （I）若 232 2,2aa a成等差数列，求 n a 的通项公式； (ii) 设双曲线 2 2 2 1 n y x a 的离心率为 n e， 且 2 5 3 e， 证明： 121 43 3 nn nn eee . 20.（本小题满分13 分） 已知椭圆E：错误

11、 !未找到引用源。的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3 个顶点，直线 l:y=-x+3 与椭圆E有且只有一个公共点T. （I）求椭圆E 的方程及点T 的坐标； （II）设 O 是坐标原点，直线 l 平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点A、B， 且与直线l 交于点 P.证明： 存在常数，使得 PT 2= PA PB， 并求的值 . 21.（本小题满分14 分） 设函数 f(x)=ax2-a-lnx， 其中 a R. （I）讨论 f(x)的单调性； （II）确定a 的所有可能取值，使得 1 1 ( ) x f xe x 在区间（ 1， +）内恒成立 (e=2.718为自然对数的 底数 )

12、。 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类）试题参考答案 一、选择题 1C 2A 3D 4D 5B 6B 7A 8C 9A 10B 二、填空题 11 2 2 12 3 2 13 3 3 14 2 15 三、解答题 16 （本小题满分12 分） （）由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为0.08 0.5=0.04， 同理，在0.5,1)， 1.5,2)， 2,2.5)， 3,3.5) ， 3.5,4)， 4,4.5)中的频率分别为0.08， 0.20， 0.26， 0.06， 0.04， 0.02 由 0.04+0.08+0.5 a+0.20+0.26+0

13、.5 a+0.06+0.04+0.02=1 ， 解得 a=0.30 （）由（） ， 100 位居民每人月均用水量不低于3 吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12 由以上样本的频率分布，可以估计全市30 万居民中月均用水量不低于3 吨的人数为 300 000 0.12=36 000 （）因为前6 组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85 ， 而前 5 组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730) 则 a=ksin A， b=ksin B， c=ksin C 代入 cosA a + cosB b = sin

14、 C c 中，有 cos sin A kA + cos sin B kB = sin sin C kC ， 变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B) 在 ABC 中，由 A+B+C= ， 有 sin(A+B)=sin( C)=sin C， 所以 sin Asin B=sin C （）由已知，b2+c2 a2= 6 5 bc， 根据余弦定理，有 cos A= 222 2 bca bc = 3 5 所以 sin A= 2 1 cos A= 4 5 由（）， sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以 4 5 sin

15、B= 4 5 cos B+ 3 5 sin B， 故 tan B= sin cos B B =4 18. （本小题满分12 分） （）在梯形ABCD 中，AB 与 CD 不平行 . 延长 AB， DC， 相交于点M（M平面 PAB） ， 点 M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BCED， 且 BC=ED. 所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而 CMEB. 又 EB平面 PBE， CM平面 PBE， 所以 CM平面 PBE. （说明：延长AP 至点 N， 使得 AP=PN， 则所找的点可以是直线MN 上任意一点） （）方法一： 由已知，CDPA， CDAD ， PAAD=A ， 所以

16、CD平面 PAD. 从而 CDPD. 所以PDA 是二面角P-CD-A 的平面角 . 所以PDA=45 . 设 BC=1 ， 则在 RtPAD 中，PA=AD=2. 过点 A 作 AH CE， 交 CE 的延长线于点H， 连接 PH. 易知 PA平面 ABCD ， 从而 PACE. 于是 CE平面 PAH. 所以平面PCE平面 PAH. 过 A 作 AQ PH 于 Q， 则 AQ 平面 PCE. 所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角 . 在 RtAEH 中，AEH=45 ，AE=1 ， 所以 AH= 2 2 . 在 RtPAH 中， PH= 22 PAAH= 3 2 2 ， 所以 s

17、inAPH= AH PH = 1 3 . 方法二： z y x M E D C B P A 由已知，CDPA， CDAD ， PAAD=A ， 所以 CD平面 PAD. 于是 CDPD. 从而PDA 是二面角P-CD-A 的平面角 . 所以PDA=45 . 由 PAAB， 可得 PA平面 ABCD. 设 BC=1 ， 则在 RtPAD 中，PA=AD=2. 作 AyAD ， 以 A 为原点，以AD uuu r ,AP uuu r 的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系 A-xyz ， 则 A（0,0,0） ， P（0,0,2） ， C(2,1,0)， E(1,0,0

18、)， 所以PE u uu r =（ 1,0,-2） ，EC uuu r =（1,1,0） ，AP uuu r =（0,0,2） 设平面 PCE 的法向量为n=(x,y,z) ， 由 0, 0, PE EC u uu uuuu u r u uu r n n 得 20, 0, xz xy 设 x=2， 解得 n=(2,-2,1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为，则 sin= | | | AP AP u uuu r u uu r n n = 222 21 3 22( 2)1 . 所以直线PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 1 3 . 19.（本小题满分12 分） （）由已知， 1211

19、,1,nnnnSqSSqS+=+=+两式相减得到21,1nnaqan+=?. 又由 21 1SqS=+得到 21 aqa=， 故 1nn aqa + =对所有1n3都成立 . 所以，数列 n a是首项为1， 公比为 q 的等比数列 . 从而 1 = n naq - . 由 232 2+2aaa，成等差数列，可得 32 2=32aa +， 即 2 2=32,qq +， 则 (21)(2)0q+q -=， 由已知 , 0q ， 故 =2q . 所以 1* 2() n nan - =? N. （）由（）可知， 1n n aq - =. 所以双曲线 2 2 2 1 n y x a -=的离心率 22(

20、1) 11 n nn eaq - =+=+. 由 2 2 5 1 3 eq=+=解得 4 3 q =. 因为 2(1)2(1) 1+ kk qq - ， 所以 2(1)1* 1+ kk qqk - ? N（）. 于是 1 12 1 1+ 1 n n n q eeeqq q - + 鬃 ?+ 鬃 ?= - ， 故 12 1 43 3 nn n n eee - - + 鬃 ?. 21.（本小题满分14 分） （I） 2 121 ( )20). ax fxaxx xx ( 0a当时，( )fx0，( )f x单调递增 . （II）令( )g x= 1 11 e x x ，( )s x= 1 e x

21、x. 则( )s x= 1 e1 x . 而当1x时，( )s x0， 所以( )s x在区间1 +)（，内单调递增 . 又由(1)s=0， 有( )s x0， 从而当1x时，( )f x0. 当0a，1x时，( )fx= 2 (1)ln0a xx. 故当( )f x( )g x在区间1 +)（，内恒成立时，必有0a. 当 1 0 2 a时， 1 2a 1. 由（ I）有 1 ()(1)0 2 ff a ,从而 1 ()0 2 g a ， 所以此时( )fx( )g x在区间1+)（，内不恒成立 . 当 1 2 a 3时，令( )( )( )(1)h xf xg xx=-?， 当1x时， 32

22、 1 2222 111112121 ( )2e0 xxxxx h xaxx xxxxxxx -+-+ =-+-+-=， 因此，( )h x 在区间 (1,)+ ?单调递增 . 又因为(1)=0h， 所以当1x 时，( )( )( )0h xf xg x=-， 即( )( )f xg x恒成立 . 综上， 1 ,) 2 a ? 20.（本小题满分13 分） （I）由已知，2ab， 则椭圆 E 的方程为 22 22 1 2 xy bb . 有方程组 22 22 1, 2 3, xy bb yx 得 22 312(182)0xxb. 方程的判别式为 2 =24(3)b， 由=0， 得 2 =3b，

23、此时方程的解为=2x， 所以椭圆E 的方程为 22 1 63 xy . 点 T 坐标为（ 2,1）. （II）由已知可设直线l的方程为 1 (0) 2 yxm m， 有方程组 1 2 3 yxm yx ， ， 可得 2 2 3 2 1. 3 m x m y ， 所以 P 点坐标为（ 22 2,1 33 mm ） ， 2 28 9 PTm. 设点 A， B 的坐标分别为 1122 (,)(,)A x yB xy，. 由方程组 22 1 63 1 2 xy yxm ， ， 可得 22 34(412)0xmxm. 方程的判别式为 2 =16(92)m， 由0， 解得 3 23 2 22 m. 由得 2 1212 4412 =, 33 mm xxx x. 所以 22 111 2252 (2)(1)2 3323 mmm PAxyx， 同理 2 52 2 23 m PBx， 所以 12 522 (2)(2) 433 mm PAPBxx 2 1212 522 (2)(2)() 433 mm xxx x 2 25224412 (2)(2)() 43333 mmmm 2 10 9 m. 故存在常数 4 5 ， 使得 2 PTPAPB.