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1、高考数学第一轮复习精品试题：常用逻辑用语 选修 1-1 第 1 章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 重难点：了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题；明白四种命题之间的关系；会利用两个 命题互为逆否命题的关系判别命题的真假 考纲要求：了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的互相关系 经典例题：已知命题 1 : 12 3 x p ； )0(012: 22 mmxxq 若 p 是 q 的充 分非必要条件，试求实数 m的取值范围 当堂练习： 1. 给出以下四个命题： “若 xy=0， 则 x， y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的
2、否命题； “若 1q ， 则 0 2 qxx 有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题 其中真命题是( ) AB CD 1. “ ABC中，若 C=90，则 A、 B 都是锐角”的否命题为（） A ABC中，若 C90，则 A、 B 都不是锐角 B ABC中，若 C90，则 A、 B不都是锐角 C ABC中，若 C 90，则 A、 B都不一定是锐角 D以上都不对 3. 给出 4 个命题： 若 023 2 xx ， 则 x=1 或 x=2； 若 32x ， 则 0)3)(2(xx ； 若 x=y=0， 则 0 22 yx ； 若 Nyx, ， xy 是奇数，则 x， y 中一
3、个是奇数，一个是偶数 那么：（） A的逆命题为真B的否命题为真 C的逆否命题为假D的逆命题为假 4. 命题“若 ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（） A “若 ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.” B “若 ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.” C “若 ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形.” D “若 ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形.” 5. 命题 p：若 AB=B， 则 AB ；命题 q：若AB， 则 ABB那么命题p 与命题 q 的关系是（） A互逆B互否 C互为逆否命题D不能确定 6. 对以下四个命题的判断正确的是( )
4、(1)原命题：若一个自然数的末位数字为0， 则这个自然数能被5 整除 (2)逆命题：若一个自然数能被5 整除，则这个自然数的末位数字为0 (3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0， 则这个自然数不能被5 整除 (4)逆否命题：若一个自然数不能被5 整除，则这个自然数的末位数字不为0 A(1)、(3)为真，(2)、(4)为假B(1)、(2)为真，(3)、(4)为假 C(1)、 (4)为真，(2)、(3)为假D(2)、(3)为真，(1)、(4)为假 7. 直线 1kxy 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（） Ak0 Bk 1 Ck1 Dk 2 8. 直线 1 l ， 2 l 互相平行的一个充
5、分条件是（） A 1 l ， 2 l 都平行于同一个平面B 1 l ， 2 l 与同一个平面所成的角相等 C 1 l 平行于 2 l 所在的平面D 1 l ， 2 l 都垂直于同一个平面 9. 已知 a1， a2， a3， a4 是非零实数，则 a1a4=a2a3 是 a1， a2， a3， a4 成等比数列 的（） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充分且必要条件D既不充分又不必要条件 10. 在 ABC中，条件甲： AB， 条件乙： cos 2 A cos 2 B,则甲是乙的（） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 11. 在空间中，若四点不共面，则这四点
6、中任何三点都不共线；若两条直线没有公共 点， 则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是(把符合 要求的命题序号都填上). 12.命题 : 21,2,3 ,: 21,2,3 ,pq 则对复合命题的下述判断：p 或 q 为真； p 或 q 为假； p 且 q 为真； p 且 q 为假；非p 为真；非q 为假其中判断正确的序号是 （填上你认为正确的所有序号） 13. 设集合 A=x|x2 x 6=0，B=x|mx1=0， 则 B 是 A 的真子集的一个充分不必要的 条件是 _ . 14. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么 甲是丁的 _条件 15
7、. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假： (1)若 xy=0， 则 x， y 中至少有一个是0； (2)若 x0， y0， 则 xy0； 16. 设集合 |2Mx x ， |3Px x ， 则“xM或xP”是“ ()xMPI ” 的什么条件？ 17. 已知关于x 的一元二次方程(mZ) mx24x40 x2 4mx4m24m50 求方程和都有整数解的充要条 件 18.设，是方程x2ax+b=0 的两个实根，试分析 a2 且 b1 是两根、均大于1 的什么条件？ 选修 1-1 第 1 章 常用逻辑用语 1.2 简单的逻辑联结词 重难点：通过实例，了解逻辑联结词“或” 、 “
8、且”、 “非”的含义；能准确区分命题的否定 与否命题 考纲要求：了解逻辑联结词“或”、 “且” 、 “非”的含义 经典例题： 已知 p:方程 x2mx1=0 有两个不等的负根；q:方程 4x24(m2)x10 无实 根若“ p 或 q”为真，“p 且 q”为假，求 m 的取值范围 当堂练习： 1. 下列命题中为简单命题的是（） A8 或 6 是 30 的约数B菱形的对角线垂直平分 C 3 是无理数D方程 2 10xx 没有实数根 2. 有下列命题： 面积相等的三角形是全等三角形； “若 xy=0， 则 0|yx ”的逆命题； “若 ab， 则 a+cb+c ”的否命题； “矩形的对角线互相垂直
9、”的逆否命题 其中真命题共有（） A1 个B 2 个 C3 个D4 个 3. 已知命题 p：若实数 x、y 满足 ,0 22 yx 则 x、y 全为 0；命题 q：若 11 ,.ab ab 则 给 出下列四个复合命题： p 且 q， p 或 q， p，q.其中真命题的个数为 （） A1B2 C3 D4 4. 在原命题及其逆命题、否命题、 逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（） A.1 或 2 或 3 或 4 B.0 或 2 或 4 C.1或 3 D.0 或 4 5. 若命题 p：2n 1 是奇数，q：2n1 是偶数，则下列说法中正确的是（） Ap 或 q 为真Bp 且 q 为真 C 非
10、p 为真D 非 p 为假 6. “至多三个”的否定为（） A至少有三个B至少有四个C 有三个D 有四个 7. “ 22 0ab ”的含义是（） A ,a b 不全为 0 B. ,a b全不为 0 C ,a b至少有一个为 0 D.a不为 0 且b为 0， 或b不为 0 且a为 0 8. 如果命题“非p”与命题“ p 或 q”都是真命题，那么（） A命题 p 与命题 q 的真值相同B命题 q 一定是真命题 C命题 q 不一定是真命题D命题 p 不一定是真命题 9. 如果命题“非p”与命题“ p 或 q”都是真命题，那么（） A命题 p 与命题 q 的真值相同B命题 q 一定是真命题 C命题 q
11、不一定是真命题D命题 p 不一定是真命题 10. 由下列各组命题构成“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，非“ p”为真的是（） A 0:p , 0:q Bp：等腰三角形一定是锐角三角形，q：正三角形都相似 C ap:ba, ， baaq,: D :,35:qp 12 是质数 11. 命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命 题 A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且_的三棱锥是正三棱锥 12. 由命题 p:6 是 12 的约数， q:6 是 24 的约数， 构成的“p 或 q” 形式的命题是： _ _， “p 且 q”形式的命题是_ _， “非 p”
12、形式的命题是_ _. 13. 在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共 点， 则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是(把符合 要求的命题序号都填上). 14. 所给命题： 菱形的两条对角线互相平分的逆命题； Rxxx,01| 2 = 0或 ; 对于命题 :“p 且 q” ， 若 p 假 q 真，则“ p 且 q”为假； 有两条边相等且有一个内角为60是一个三角形为等边三角形的充要条件 其中为真命题的序号为 15. 写出下列各组命题的“或”命题，并判断其真假 p：2=2；q：22 p：正方形的对角线互相垂直；q：矩形的对角线互相平分 16. 关于
13、x 的不等式 22 :(1)0pxaxa 与指数函数 2 ( )(2) , x f xaa 若命题“ p 的解集为 (,) 或 ( )f x 在 (,) 内是增函数”是真命题，求实数 a的取值范围 17. 若三条抛物线 2222 443,1,22yxaxayxaxayxaxa 中至少有 一条与 x 轴有公共点，求 a 的取值范围 . 18. 已知命题p:|x2 x 6， q：xZ， 且“ p 且 q”与“非q”同时为假命题，求 x 的 值. 选修 1-1 第 1 章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 重难点：通过生活和数学中丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义地利用；能准确全 称量词
14、与存在量词的意义 考纲要求：理解全称量词与存在量词的意义 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 经典例题：判断下列命题是全称命题还是存在性命题 (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(2)负数的平方是正数； (3)有些三角形不是等腰三角形；(4)有些菱形是正方形 当堂练习： 1. 对于命题“任何实数的平方都是非负的”， 下列叙述正确的是( ) A.是全称命题B.是存在性命题 C.是假命题D.是“若 p 则 q”形式的命题 2. 命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（） A 原函数与反函数的图象关于y=x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称 C
15、存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称 D 存在原函数与反函数的图象关于y=x对称 3. 下列全称命题中，真命题是( ) A.所有的素数是奇数B. Rx? , (x1)20 C. + ?Rx , x+ 1 x 2 D. Rx? , sinx+ 1 sinx2 4. 下列存在性命题中,假命题是( ) A. Rx? , 0=32 2 xx B.至少有一个xZ x能被 2 和 3 整除 C.存在两个相交平面垂直于同一个直线D. xxx? 是无理数 x2 是有理数 5. 下列全称命题中假命题的个数是（） 2x+1 是整数（ xR）对所有的xR ， x3对任意一个xz， 2x2+1 为奇数 A
16、0 B 1 C 2 D 3 6.下列全称命题中真命题的个数是（） 末位是 0 的整数，可以被 2 整除角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 正四面体中两侧面的夹角相等 A 1 B 2 C 3 D 4 7.下列存在性命题中假命题的个数是（） 有的实数是无限不循环小数有些三角形不是等腰三角形有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 3 8.下列特称命题中真命题的个数是（） 0xR,x 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 是无理数是无理数， 2 xxxx A 0 B 1 C 2 D 3 9.下列命题为存在性命题的是（） A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体 C 不相交
17、的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于3 10.下列全称命题中真命题的个数是（） 末位是 0 的整数，可以被 2 整除角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 正四面体中两侧面的夹角相等 A 1 B 2 C 3 D 4 11.命题“任何有理数的平方仍是有理数”用数学符号语言可以表示为 12.命题“存在实数是有理数”用数学符号语言可以表示为 13.命题 “存在实数是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为 14.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是_ 15.判断下列命题的真假： (1) + ?Rx x+1x； (2) Rx? x+1x； (3)存在无穷多个既是奇函数又是偶函数的函数； (4)有
18、些相似三角形是全等三角形 16. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假： (1)正方形对角线互相垂直平分： (2)所有中国人都讲汉语； (3)有些数比它的平方大； (4)有些实数的平方根是无理数 17. 已知：对 + ?Rx ,a x+1 x恒成立， 求 a 的取值范围 18.写出下列命题的否定. (1) 对所有的正数x，x x1 ； (2) 不存在实数x， x2+12x” ； (3) 集合 A 中的任意一个元素都是集合B的元素； (4) 集合 A 中至少有一个元素是集合B的元素 选修 1-1 第 1 章 常用逻辑用语 1.4 常用逻辑用语单元测试 1函数 f（x）=x|x+a|+
19、b 是奇函数的充要条件是（） Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=0 2 “至多有三个”的否定为（） A至少有三个B至少有四个C有三个D有四个 3有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像金盒上写有命题p：肖像在这个 盒子里； 银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里p、 q、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（） A金盒里B银盒里 C铅盒里D在哪个盒子里不能确定 4不等式 04)2(2) 2( 2 xaxa 对于 Rx 恒成立，那么 a的取值范围是（ ） A )2, 2( B 2, 2( C 2,( D )2,( 5 “a 和 b 都不是偶数
20、”的否定形式是（） Aa 和 b 至少有一个是偶数 Ba 和 b 至多有一个是偶数 Ca 是偶数，b 不是偶数Da 和 b 都是偶数 6某食品的广告词为： “幸福的人们都拥有” ， 初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然 而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（） A不拥有的人们不一定幸福B不拥有的人们可能幸福 C拥有的人们不一定幸福D不拥有的人们不幸福 7若命题“ p 或 q”为真，“非 p”为真，则（） Ap 真 q 真Bp 假 q 真Cp 真 q 假Dp 假 q 假 8条件 p： 1x ， 1y ， 条件 q： 2yx ， 1xy ， 则条件 p 是条件 q 的（） A充分而不必要条
21、件B必要而不充分条件 C充要条件D即不充分也不必要条件 92x25x30 的一个必要不充分条件是（） A 2 1 x 3 B 2 1 x0 C 3 x2 1 D 1x 6 10设原命题：若a+b2， 则 a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假 情况是（） A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真 C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题 11下列命题中 _为真命题 “ AB=A”成立的必要条件是“AB” ； “若 x2+y2=0， 则 x， y 全为 0”的否命题； “全等三角形是相似三角形”的逆命题； “圆内接四边形对角互补”的逆否命题。 12若 p： “平行四边
22、形一定是菱形”， 则“非 p”为 _ _。 13已知 p， q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件 ,q 是 s 的充分条件，则 s 是 q 的 条件，r 是 q 的条件，p 是 s的条件。 14设 p、q 是两个命题，若 p 是 q 的充分不必要条件，那么非 p 是非 q 的条 件。 15分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。 （1）矩形的对角线相等且互相平分； （2）正偶数不是质数。 16写出由下述各命题构成的“p 或 q” ， “p 且 q” ， “非 p”形式的复合命题，并指出 所构成的这些复合命题的真假. （1）p：连续的三个整数的乘积能被2 整除，q：
23、连续的三个整数的乘积能被3 整除。 （2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形。 17给定两个命题, P：对任意实数 x都有01 2 axax 恒成立； Q ：关于 x 的方程 0 2 axx 有实数 根；如果P与 Q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a的取值范围。 18已知 p， q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 （1）s 是 q 的什么条件？（2）r 是 q 的什么条件？（3）p 是 q 的什么条件？ 19设 0a, b, c1， 求证： （1 a）b， （1b）c， （ 1c）a 不同时大于 4 1 20求证：关
24、于x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2 的充分但不必要条件是a 2 且|b| 4. 参考答案 第 1 章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 经典例题： 【 解析】由 1 12 3 x ， 得 210x p ： 102|xxxA或 由 )0(012 22 mmxx ， 得1 1mxm q ：B= 0,11|mmxmxx或 p 是 q 的充分非必要条件，且 0m ， AB 21 101 0 m m m 即 30m 当堂练习： 1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.C; 7.C; 8.D; 9.B; 10.C; 11. ; 12. ; 13. m= 2 1 (
25、也可为 3 1 m 或 0);14. 充分不必要 . 15. 【 解析】(1)逆命题：若x=0， 或 y=0 则 xy=0；否命题： xy0， 则 x0 且 y0； 逆否命题：若x0， 且 y0 则 xy0； (2)逆命题：若xy0,则 x0， y0；否命题：若x0， 或 y0 则 xy0； 逆否命题：若xy 0；则x0， 或 y0 16. 【 解析】“ xM 或 xP”xR， ()xMPI(2,3)x ， 因为“x M 或x P” ()xMPI ，但 ()xMPI xMxP或 ，故“ xM 或 xP ” 是 “ ()xMPI ”的必要不充分条件 17. 【 解析】方程有实根的充要条件是 ,0
26、4416m 解得 m 1. 方程有实根的充要条件是 0)544(416 22 mmm ， 解得 . 4 5 m ,.1 4 5 Zmm而 故 m=1 或 m=0 或 m=1. 当 m=1 时，方程无整数解.当 m=0 时，无整数解； 当 m=1 时，都有整数.从而都有整数解m=1.反之，m=1都有整数解. 都有整数解的充要条件是m=1. 18. 【 解析】根据韦达定理得a= +,b= .判定的条件是p: 1 2 b a 结论是 q: 1 1 (注意 p 中 a、b 满足的前提是 =a24b0) (1)由 1 1 ， 得 a=+ 2,b= 1,q p (2)为证明 pq,可以举出反例： 取 =4
27、,= 2 1 ,它满足 a=+ =4+ 2 1 2,b= =42 1 =21, 但 q 不成立 . 综上讨论可知a2,b1 是 1, 1 的必要但不充分条件. 1.2 简单的逻辑联结词 经典例题：【 解析】由已知p， q 中有且仅有一为真，一为假 01 20 0 : 21 21 xx mmxxp 310:mq （1）若 p 假 q 真，则 2 12 13 m m m ； （）若p 真 q 假，则 2 3 13 m m mm 或 综上所述： , 32, 1m 当堂练习： 1.C; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.B; 7.A; 8.B; 9.B; 10.B; 11. 此题是开放性题，
28、答案不唯一，可以是“侧 棱与底面所成角相等” ；或“侧面与底面所成角相等；; 12. 6 是 12 或 24 的约数； 6 是 12 的约数，也是 24 的约数； 6 不是 12 的约数 ; 13. ;14. . 15. 【解】pq：(2=2)(22)， 即 2 2(真) 由于 2=2 是真命题，所以 22 是真命题 pq：(正方形的对角线互相垂直)(矩形的对角线互相平分) 由于两个命题都是真的，所以 pq 是真命题 16. 【 解析】设使 p 的解集为 (,) 的 a的集合为 A， 使 ( )f x 在 (,) 内是增函数 的 a的集合为 B， 则本题即求 ,ABU 答案为 11 (,)(,
29、) 23 U 17. 【 解析】若按一般思维习惯，对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论，则 较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x 轴无公共点的 a 的范围”则很简单. 由 2 1 2 2 2 2 3 44430 140 4420 aa aa aa 解之，得 3 1 2 a ， 记 3 , 1 2 IR A ， 则所求 a 的范围是? 3 ,1, 2 RA U 18. 【 解析】p 且 q 为假p、q 至少有一命题为假，又“非 q”为假q 为真， 从 而可知 p 为假 . 由 p 为假且 q 为真，可得： Zx xx6| 2 即 Zx xx xx 6 6 2 2 Z R Zx x
30、 x x xx xx 32 06 06 2 2 故 x 的取值为： 1、0、1、 2. 1.3 全称量词与存在量词 经典例题：【 解析】全称命题全称命题存在性命题存在性命题 当堂练习： 1.A; 2.C; 3.C; 4.C; 5.C; 6.C; 7.A; 8.D; 9.C; 10.C; 11. Qx? , Qx 2 ; 12. Rx? , Qx ; 13. Rx? ,x?RQ;14. 任意一个三角形都有外接圆 15. 【 解析】假命题真命题真命题假命题 16. 【 解析】全称命题 ;真命题全称命题;假命题存在命题;真命题存在命题;真命 题. 17. 【 解析】 )2,( 18. 【 解析】(1
31、)“对所有的正数x，x x1”的否定是 “存在正数x，x x1” ； (2)“不存在实数x， x2+12x”的否定是“存在实数x， x2+12x ” ； (3)“集合 A 中的任意一个元素都是集合B 的元素”的否定是“存在集合A 中的元素不是集 合 B 中的元素”； (4)“集合 A 中至少有一个元素是集合B 的元素”的否定是“集合A 中的所有元素都不是集 合 B 中的元素” 1.4 常用逻辑用语单元测试 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ; 12. 平行四边形不一定是菱形；或至少 存在一个平行四边形不是菱形; 13.
32、 必要，充分，必要 ;14. 必要不充分 15本题考查四种命题间的关系 解： （1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题） 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题） 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题） （2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题） 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题） 逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题） 16解： （1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式： p 或 q：连续的三个整数的乘积能被2 或能被 3 整除 .
33、p 且 q：连续的三个整数的乘积能被2 且能被 3 整除 . 非 p：存在连续的三个整数的乘积不能被2 整除 . 连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3 的倍数， p 真，q 真，p 或 q 与 p 且 q 均为真，而非 p 为假 . （2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式： p 或 q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. p 假 q 假，p 或 q 与 p 且 q 均为假，而非 p 为真 . 17解：对任意实数
34、 x 都有 01 2 axax 恒成立 0 0 0 a a或 40a ；关于 x的方程0 2 axx 有实数根 4 1 041aa ；如果 P正确，且 Q 不 正 确 ，有 4 4 1 4 1 ,40aaa且 ； 如 果Q 正 确 ，且P 不 正 确 ，有 0 4 1 ,40aaaa且或 。所以实数 a 的取值范围为 4, 4 1 0, 。 18本题考查充要条件、充分条件、必要条件对于这类问题，将语言叙述符号化，画出 它们的综合结构图，再给予判定 解： p、q、r、s的关系如图所示，由图可知 答案： （1）s 是 q 的充要条件（2）r 是 q 的充要条件（3） p 是 q 的必要条件 20解
35、析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性： 方程有实数根 , 2 2 02 02 0)2)(2( 0)2()2( ,08484444)(2)2)(2( ,0844424)()2()2( , 4 42 4 2 ,0)(4 ,4 4 2 2 1 2 1 21 21 212121 2121 2 2 x x x x xx xx abxxxxxx axxxx b a b a ba ba b a 而 、知“ a2 且|b| 4”“方程有实数根，且两根均小于2”. 再验证条件不必要： 方程 x2x=0 的两根为x1=0, x2=1， 则方程的两根均小于2， 而 a= 2 1 2， “方程的两根小于2”“a2 且|b| 4”. 综上，a2 且|b| 4 是方程有实数根且两根均小于2 的充分但不必要条件. 19证明：用反证法，假设 2 1 )1 ( 2 1 )1 ( 2 1 )1 ( 4 1 )1( 4 1 )1( 4 1 )1( ac cb ba ac cb ba ， + +得： 2 3 2 1 2 1 2 1 )1()1()1( 2 3accbba accbba ， 左右矛盾，故假设 不成立，（ 1 a）b,（1b）c， （1c）a 不同时大于 4 1 .