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1、第1页 中学高三数学期末备考（五） 理科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1 （5 分） （2019?新课标）=（） A1+2i B 12i C2+i D2 i 2 （5 分） （2019?新课标）设集合A=1 ， 2， 4 ， B=x|x 2 4x+m=0 若 AB=1 ， 则 B=（） A1， 3 B1， 0 C1， 3 D1， 5 3 （5 分） （2019?新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座 7 层塔共挂了381 盏灯， 且 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数
2、的2 倍， 则塔的顶层共有灯（） A1 盏 B 3 盏C5 盏D9 盏 4 （5 分） （2019?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A90 B 63 C42 D36 5（5 分）（2019?新课标）设 x， y 满足约束条件， 则 z=2x+y 的最小值是 （） A 15 B 9 C1 D9 6 （5 分） （2019?新课标）安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项， 每项工作由 第2页 1 人完成，则不同的安排方式共有（） A12 种 B 18 种 C24 种 D36
3、种 7 （5 分） （2019?新课标）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师 说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁 看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（） A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D 乙、丁可以知道自己的成绩 8 （5 分） （2019?新课标）执行如图的程序框图，如果输入的a=1， 则输出的S=（） A2 B 3 C4 D5 9 （5 分） （2019? 新课标）若双曲线C：=1（a 0， b0）的一条渐近线被圆（x 2） 2+y2=4 所截得
4、的弦长为2， 则 C 的离心率为（） A2 BCD 10 （5 分） （ 2019?新课标）已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ABC=120，AB=2 ， BC=CC1=1 ， 则异面直线AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（） ABCD 11 （5 分） （ 2019?新课标）若x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1 的极值点，则 f（x） 的极小值为（） A 1 B 2e3 C5e 3 D1 12 （ 5 分） （2019?新课标） 已知 ABC 是边长为2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ?（+）的最小值是（） A 2 BCD 1 三、填空题：本题共4 小题，
5、每小题 5 分，共 20 分. 13 （5 分） （2019?新课标） 一批产品的二等品率为0.02， 从这批产品中每次随机取一件，有 放回地抽取100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 14 （5 分） （2019?新课标） 函数 f（x）=sin2x+cosx（x 0，）的最大值是 第3页 15（ 5 分） （2019?新课标） 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， a3=3， S4=10， 则= 16 （5 分） （2019?新课标）已知F 是抛物线C： y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延 长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|= 三、解答
6、题：共70 分 17 （12 分） （2019? 新课标） ABC 的内角A， B， C 的对边分别为a， b， c， 已知 sin （A+C ）=8sin2 （1）求 cosB； （2）若 a+c=6， ABC 面积为 2， 求 b 18 （12 分） （2019? 新课标） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ， 其频率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg， 新 养殖法的箱产量不低于50kg” ， 估计 A 的概率； （2）填写下面列联
7、表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） 附： P（K 2k ）0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 K 2= 19 （12 分） （2019? 新课标）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直 于底面 ABCD ， AB=BC=AD ， BAD= ABC=90 ， E 是 PD 的中点 （1）证明：直线CE平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上， 且直线 BM
8、与底面 ABCD 所成角为45 ， 求二面角 MAB D 的余 弦值 第4页 20 （12 分） （2019?新课标）设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足= （1）求点 P的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x=3 上，且?=1证明：过点P 且垂直于OQ 的直线 l 过 C 的左焦 点 F 21 （12 分） （2019? 新课标）已知函数f（x）=ax2axxlnx ， 且 f（x）0 （1）求 a； （2）证明： f（x）存在唯一的极大值点x0， 且 e2f（x0） 2 2 （二）选考题：共10 分 22 （10 分
9、） （2019?新课标）在直角坐标系xOy 中， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为cos=4 （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM|?|OP|=16， 求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（ 2，） ， 点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值 第5页 参考答案 一、选择题 1 【解答】 解：=2i， 故选D 2 【解答】 解：集合A=1 ， 2， 4， B=x|x 24x+m=0 若 AB=1 ， 则 1A 且 1B， 可得 14+m=0， 解得 m=3， 即有 B
10、=x|x 24x+3=0=1 ， 3 故选： C 3 【解答】 解：设这个塔顶层有a 盏灯， 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2 倍， 从塔顶层依次向下每层灯数是以2 为公比、 a为首项的等比数列， 又总共有灯381 盏， 381=127a， 解得 a=3， 则这个塔顶层有3 盏灯， 故选 B 4 【解答】 解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的 一半， V= ?3 2 10 ? ?3 2 6=63 ， 故选： B 5 【解答】 解： x、 y 满足约束条件的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由解得 A（ 6， 3） ，
11、则 z=2x+y 的最小值是：15 故选： A 6 【解答】 解： 4 项工作分成3 组， 可得：=6， 安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成， 可得： 6=36 种 第6页 故选： D 7 【解答】 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选： D 8 【解答】 解：执行程序框图，有 S=0， k=1， a=1， 代入循环， 第一次满足循环，S=1， a=1， k=
12、2； 满足条件，第二次满足循环，S=1， a=1， k=3； 满足条件，第三次满足循环，S=2， a=1， k=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2， a=1， k=5； 满足条件，第五次满足循环，S=3， a=1， k=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3， a=1， k=7； 76 不成立，退出循环输出，S=3； 故选： B 9 【解答】 解：双曲线C：=1（ a0， b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆（ x2） 2+y2=4 的圆心（ 2， 0） ， 半径为： 2， 双曲线 C：=1（ a0， b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直
13、线的距离为：=， 解得：， 可得 e2=4， 即 e=2 故选： A 10 【解答】 解：如图所示，设 M、N、P分别为 AB， BB1和 B1C1的中点， 则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，） ， 可知 MN=AB1= ， NP=BC1=； 作 BC 中点 Q， 则 PQM 为直角三角形； PQ=1， MQ=AC， ABC 中，由余弦定理得 AC 2=AB2+BC22AB?BC?cosABC =4+12 2 1 （） 第7页 =7， AC=， MQ=； 在MQP 中，MP=； 在 PMN 中，由余弦定理得 cosMNP=； 又异面直线所成角的范
14、围是（0， AB1与 BC1所成角的余弦值为 11 【解答】 解：函数f（x）=（x2+ax1） e x1， 可得 f （x）=（2x+a）ex 1+（x2+ax 1）ex 1， x=2 是函数 f（x）=（x2+ax 1）ex 1 的极值点， 可得： 4+a+（3 2a）=0 解得 a=1 可得 f （x）=（2x1）ex 1+（x2x1）ex1， =（ x2+x2） e x1， 函数的极值点为： x=2， x=1， 当 x 2 或 x1 时，f （ x） 0 函数是增函数，x（ 2， 1）时，函数是减函数， x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1 211）e11=1 故选： A 12
15、【解答】 解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点， 则 A（0，） ， B（ 1， 0） ， C（ 1， 0） ， 设 P（x， y） ， 则=（ x，y） ，=（ 1x， y） ，=（1x， y） ， 则?（+）=2x 22 y+2y 2=2x2+（y ） 2 当 x=0， y=时，取得最小值2 （）=， 故选： B 第8页 三、填空题 13 【解答】 解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02， n=100， 则 DX=npq=np （1p） =100 0.02 0.98=1.96 故答案为： 1.96 14 【解答】 解： f（x） =si
16、n2x+cosx=1 cos 2x+ cosx， 令 cosx=t 且 t0， 1， 则 f（t）=t2+ t+=（ t） 2+1， 当 t=时，f（t）max=1， 即 f（x）的最大值为1， 故答案为： 1 15 【解答】 解：等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a3=3， S4=10， S4=2（a2+a3）=10， 可得 a2=2， 数列的首项为 1， 公差为 1， Sn=，=， 则=21+=2（1） = 故答案为： 16 【解答】 解：抛物线C：y 2=8x 的焦点 F（2， 0） ， M 是 C 上一点， FM 的延长线交y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点， 可知 M 的横
17、坐标为： 1， 则 M 的纵坐标为：， |FN|=2|FM|=2=6 故答案为： 6 三、解答题 17 【解答】 解： （1）sin（A+C ） =8sin2 ， sinB=4（1cosB） ， sin2B+cos2B=1， 16（1cosB）2+cos2B=1， （ 17cosB 15） （ cosB1）=0， 第9页 cosB=； （2）由（ 1）可知 sinB=， S ABC=ac?sinB=2， ac=， b2=a2+c 22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c） 22ac15=361715=4， b=2 18 【解答】 解： （1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量
18、低于50kg” ， C 表示事件“新养殖法的箱 产量不低于50kg” ， 由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C） ， 则旧养殖法的箱产量低于50kg： （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040 ） 5=0.62， 故 P（B）的估计值0.62， 新养殖法的箱产量不低于50kg： （0.068+0.046+0.010+0.008 ） 5=0.66， 故 P（C）的估计值为， 则事件 A 的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62 0.66=0.4092； A 发生的概率为0.4092； （2） 2 2 列联表： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 总计 旧养殖法6
19、2 38 100 新养殖法34 66 100 总计 96 104 200 则 K 2= 15.705 ， 由 15.7056.635， 有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由题意可知：方法一：=5 （37.5 0.004+42.5 0.020+47.5 0.044+52.5 0.068+57.5 0.046+62.5 0.010+67.5 0.008） ， =5 10.47， =52.35（kg） 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg） 方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积： （0.004+0.020+0.044） 5=0.03
20、4， 箱产量低于55kg 的直方图面积为： （0.004+0.020+0.044+0.068 ） 5=0.680.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+52.35 （kg） ， 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg） 第10页 19 【解答】（ 1）证明：取PA 的中点 F， 连接 EF， BF， 因为 E 是 PD 的中点， 所以 EFAD ， AB=BC=AD ， BAD= ABC=90 ， BCAD ， BCEF 是平行四边形，可得 CEBF， BF? 平面 PAB， CF? 平面 PAB， 直线 CE平面 PAB； （2）解：四棱锥PABCD 中， 侧面 PAD 为等
21、边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC=AD ， BAD= ABC=90 ， E 是 PD 的中点 取 AD 的中点 O， M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2 ， 则 AB=BC=1 ， OP=， PCO=60 ， 直线 BM 与底面 ABCD 所成角为45 ， 可得： BN=MN ， CN=MN ， BC=1， 可得： 1+BN 2=BN2， BN= ， MN=， 作 NQAB 于 Q， 连接 MQ ， 所以 MQN 就是二面角MABD 的平面角，MQ= =， 二面角 M ABD 的余弦值为：= 20 【解答】 解： （1）设 M（x0， y0） ， 由题意
22、可得N（x0， 0） ， 设 P（x， y） ， 由点 P满足= 可得（ xx0， y）= （0， y0） ， 可得 xx0=0， y= y0， 第11页 即有 x0=x， y0= ， 代入椭圆方程+y 2=1， 可得 +=1， 即有点 P 的轨迹方程为圆x2+y2=2； （2）证明：设Q（ 3， m） ， P（cos ，sin ） ， （0 2 ） ， ?=1， 可得（cos ，sin ）?（ 3cos ， msin ）=1， 即为 3cos 2cos2+msin 2sin2 =1 ， 解得 m=， 即有 Q（ 3，） ， 椭圆+y2=1 的左焦点 F（ 1， 0） ， 由 kOQ= ， k
23、PF=， 由 kOQ?kPF= 1， 可得过点P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F 21 【解答】（ 1）解：因为f（x）=ax 2axxlnx=x （ax alnx） （x0） ， 则 f（x）0 等价于 h（x）=axa lnx 0， 因为 h （x）=a， 且当 0x时 h（ x） 0、当 x时 h （x） 0， 所以 h（x）min=h（ ） ， 又因为 h（1）=aaln1=0， 所以=1， 解得 a=1； （2）证明：由（ 1）可知 f（x）=x2xxlnx ， f （x） =2x 2lnx， 令 f （x）=0， 可得 2x2lnx=0 ， 记 t（x）=2x2ln
24、x， 则 t （x）=2， 令 t （x） =0， 解得： x=， 所以 t（x）在区间（ 0，）上单调递减，在（， +）上单调递增， 所以 t（x）min=t（ ）=ln210， 从而 t（x）=0 有解，即 f （x） =0 存在两根x0， x2， 且不妨设f （x）在（ 0， x0）上为正、在（ x0， x2）上为负、在（x2， +）上为正， 所以 f（x）必存在唯一极大值点x0， 且 2x02lnx0=0， 所以 f（x0）= x0x0lnx0=x0+2x02=x0， 由 x0 可知 f（x0）（ x0）max=+=； 第12页 由 f （） 0 可知 x0 ， 所以 f（x）在（ 0
25、， x0）上单调递增， 在（ x0，）上单调递减， 所以 f（x0） f（ ）=； 综上所述，f（ x）存在唯一的极大值点x0， 且 e 2f（x 0） 2 2 （二）选考题 22 【解答】 解： （1）曲线 C1的直角坐标方程为：x=4， 设 P（x， y） ， M（4， y0） ， 则 ， y0=， |OM|OP|=16， =16， 即（ x 2+y2） （1+ ） =16， x4+2x 2y2+y4=16x2， 即（ x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x 2）2+y2=4（x0 ） ， 点 P的轨迹 C2的直角坐标方程： （x2） 2+y2=4（x0
26、） （2）点 A 的直角坐标为A（1，） ， 显然点 A 在曲线 C2上， |OA|=2 ， 曲线 C2的圆心（ 2， 0）到弦 OA 的距离 d= =， AOB 的最大面积S=|OA|?（2+）=2+ 选修 4-5：不等式选讲 23 【解答】 证明： （1）由柯西不等式得： （ a+b） （a5+b5） （ +） 2=（a3+b3）24 ， 当且仅当=， 即 a=b=1 时取等号， （2） a3+b3=2， （ a+b） （a2 ab+b2）=2， （ a+b）（a+b） 23ab=2， （ a+b） 33ab（a+b）=2， =ab， 由均值不等式可得：=ab （） 2， （ a+b） 32 ， （a+b） 32 ， a+b2 ， 当且仅当 a=b=1 时等号成立