《高中数学第一章1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数教学案苏教版选修231.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数教学案苏教版选修231.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.3 简单复合函数的导数 对应学生用书P11 已知函数f(x)sin 2x 6 ，g(x)(3x2)2. 问题 1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数 问题 2：试说明g(x)(3x2)2是如何复合的？ 提示：函数g(x)(3x2)2是由g(u)u2，u3x2 复合而成的 问题 3：试求g(x)(3x2)2，g(u)u2，u3x2 的导数 提示：g(x)(3x2)2 9x2 12x4 18x12.g(u)2u，u 3. 问题 4：观察问题3 中导数有何关系？ 提示：g(x)g(u)u. 若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyu
2、a. 1求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量 2利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单 3判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是 以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最 里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的 函数 对应学生用书P11 复合函数的求导 例 1 求下列函数的导数 (1)y 1 2x3 3； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)ye0.05x1； (3)ycos( x)(其中、为常数 )； (4)ylog2(
3、53x) 思路点拨 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则 求解 精解详析 (1)y 1 2x3 3(2x3) 3 2是函数 yu 3 2，u2x3 的复合函数， 所以yxyuux (u 3 2) (2x3) 3 2u 5 22 3u 5 2 3(2x3) 5 2. (2)ye0.05x1是函数ye u， u 0.05x1 的复合函数， 所以yxyuux(e u) ( 0.05x1) 0.05e u 0.05e 0.05x 1. (3)ycos( x)是ycos u，u x的复合函数， 所以yxyuux (cos u) ( x) sin usin( x) (4)ylo
4、g2(53x)是ylog2u，u53x的复合函数， 所以yxyuux (log2u) (53x) 3 1 uln 2 3 5 3xln 2 3 3x5ln 2. 一点通 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为 “分解求导回代”，即：(1) 弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终 结果要将中间变量换成自变量 1若函数f(x)ln 1 x，则 f(x) _. 解析：f(x)ln 1 x是 f(u)ln u与u 1 x的复合函数， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以yxyuux (ln u) 1 x 1 u 1 x2 1 x. 答案： 1 x
5、 2函数ysin3xsin x3的导数为 _ 解析：y (sin 3xsin x3) (sin3x) (sin x3) 3sin2xcos xcos x3 3x2 3sin2xcos x3x2cos x3. 答案： 3sin 2xcos x3x2cos x3 3求下列函数的导数： (1)ye2x23x；(2)y 1 13x 4. 解： (1)ye u， u2x23x， 所以yxyuux e u (2x23x) e u(4x3)(4x3)e2x23x. (2)y 1 13x 4(13x) 4， 可设yu 4，u13x， yu 4u5，ux 3， yxyuux 4u5 (3)12(13x)5. 求
6、导法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数 (1)y31 xsin(2x1)； (2)y ln2x 1 2x1 . 思路点拨 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解 精解详析 (1)y (31x) sin(2x1)31 x sin(2x1) 3 1xln 3 sin(2x1)31x2cos(2 x1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 1x2cos(2 x 1) sin(2x1)ln 3 (2)y ln2x12x 1ln2x12x1 2x1 2 22x 1 2x1 ln2x1 1 2 2x1 1 22 2x1 2 2x1 ln2x1 2x1 2x1 2 ln2x1 2x12x1
7、 . 一点通 (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成 一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构 (2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函 数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的 4若函数f(x)xcos 2x，则f(x)_. 解析：f (x)xcos 2xx(cos 2x) cos 2x2xsin 2x. 答案： cos 2x2xsin 2x 5求下列函数的导数： (1)y 2x1 x ；(2)y 1 2sin 2(1 x) 解： (1)y 2x1x2x1x x2 x 2x1 2x1 x 2 1x x22x1
8、 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)y 1 2 sin2(1x) 1 41cos(22x) 1 4 1 4cos(2 2x) 1 4 1 4 cos(2x2) y 1 2sin(2x2) 复合函数导数的应用 例 3 已知函数f(x)ax 2 2ln(2 x)(aR)，设曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线为l， 若l与圆C：x2y 21 4相切，求 a的值 思 路 点 拨 求函数fx的导数 求f1得切 线l的斜率 写出直线l的 点斜式方程 由l与圆C相切列方程 解方程求a. 精解详析 f (x)a(x2) 2 1 2x(2 x) 2ax 2 2x， f(1) 2a2，又
9、f(1)a2ln 1a， 切线l的方程为ya2(a 1)(x1)， 即 2(a 1)xya20. 直线l与圆C：x2y2 1 4 相切， 圆心 (0,0)到直线l的距离为 1 2 ， 所以有 |2 a| 4a1 2 1 1 2，解得 a 11 8 . a的值为 11 8 . 一点通 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了在实际应用中， 先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 合应用 6函数ycos 2x在点 4，0 处的切线方程是 _ 解析：y 2sin 2x，k 2sin 2 2. 切线方程为y
10、0 2x 4 ， 即 2xy 2 0. 答案： 2xy 2 0 7求yln(2x3)的导数，并求在点 1 2，ln 2 处切线的倾斜角 解：令yln u，u2x3，则yxyuux(ln u) (2x3) 1 u 2 2 2x3. 当x 1 2时， y 2 311， 即在 1 2，ln 2 处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为 4. 8设曲线y e x(x0)在点 M(t，et)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t) (1)求切线l的方程； (2)求S(t)的解析式 解：ye x， y (e x) ex， y|xt e t. 故切线方程为yet e t(xt)， 即xe ty(t
11、1)0. (2)令y0 得xt1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令x0 得y e t(t1) S(t) 1 2(t 1)e t(t1) 1 2(t1) 2et(t 0) 求复合函数导数的技巧及注意点 (1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于 分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数 (2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对 于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表 及里逐层求异 (3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运
12、算，树立多角度、换方位思考问 题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的 对应课时跟踪训练(五) 一、填空题 1设函数f(x)sin(4x 2)，则f(x)_. 解析：f(x)sin(4x2)， f(x) sin(4x2) 4cos(4x2) 答案： 4cos(4x 2) 2(全国大纲卷改编)曲线yxe x1 在点 (1,1)处切线的斜率等于_ 解析：y e x1 xe x 1，故曲线在点 (1,1)处切线的斜率为y|x 12. 答案： 2 3设曲线yf(x)eax在点 (0,1)处的切线与直线x2y10 垂直，则a_. 解析：切线与直线x2y10 垂直， 切线的斜率k2. 又f(x)(e
13、 ax )ae ax， kf(0)a2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 2 4函数yxsin 2x 2 cos 2x 2 的导数为 _ 解析：yxsin 2x 2 cos 2x 2 x 2sin(4 x ) x 2sin 4x， y x 2 sin 4x x 2 (sin 4x) 1 2sin 4x2xcos 4x. 答案： 1 2sin 4x2xcos 4 x 5已知直线yx1 与曲线yln(xa)相切，则a的值为 _ 解析：设切点为(x0，y0)，则y0x0 1， 且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a) 对y ln(xa)求导得y 1 xa ， 则 1 x0a
14、1，x0a1， 由可得x0 1，所以a 2. 答案： 2 二、解答题 6求下列函数的导数 (1)y5log2(2x1)； (2)ycos( 5 3 7x)； (3)y(2x1)5. 解： (1)设ylog2u，u2x1. 则yyuux 5 uln 22 10 uln 2 10 2x1ln 2. (2)设ycos u，u 5 3 7x. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则yyuux sin u (7)7sin 5 3 7x . (3)设yu 5， u2x1， 则yyuux5u4210u410(2x1)4. 7已知函数f(x)ln(1x)xx2.求曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切
15、线方程 解：f(x) 1 1x12x. 由于f(1)ln 2，f(1) 3 2 ， 所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为 yln 2 3 2(x 1)， 即 3x2y2ln 230. 8已知A(1，f(x)是函数yf(x)的导函数图象上的一点，点B的坐标为 (x，ln(2x)， 向量a(1,1)，设f(x)ABa，试求函数yf(x)的表达式 解：AB (x，ln(2x)(1，f(1) (x1，ln(2x)f(1)， a(1,1)， f(x)ABax1ln(2x)f(1) ln(2x)xf(1)1 f(x) 1 2x(2 x) 1 1 x21， f(1) 0， f(x)ln(2x)x1.