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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.7.1 定积分在几何中的应用 课时作业 A 组基础巩固 1曲线yx3与直线yx所围封闭图形的面积S等于 ( ) A. -1 1 (xx3)dxB. -1 1 (x3x)dx C 2 0 1 10(xx3)dx D2 -1 0 (xx3)dx 解析：如图， 阴影部分的面积S2 0 1 (xx3)dx.故选 C. 答案： C 2已知函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的封闭区域的面积为 9 2，则 k ( ) A3 B2 C 1 D. 1 2 解析：由 yx2， ykx， 消去y得x2kx0， 所以x0 或xk，则所求区域的面积为 S 0 k (k
2、xx2)dx 1 2kx 2 1 3x 3 | k 0k 3 6 9 2，则 k3 27，解得k3. 答案： A 3由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积S为( ) A. 1 12 B. 1 4 C. 1 3 D. 7 12 解析：作出曲线yx2，yx3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解方程组yx 2， yx3， 得曲线yx2，yx3交点的横坐标为x0 及x1. 因此，所求图形的面积为S 0 1(x2 x3)dx 1 3x 3 1 4x 4 | 1 0 1 3 1 4 1 12. 答案： A 4由y1 x，x1， x2，y 0所围成的平面图形的
3、面积为( ) Aln 2 Bln 2 1 C 1ln 2 D2ln 2 解析：所求面积为S 1 21 xdxln x| 2 1ln 2. 答案： A 5 设抛物线C：yx2与直线l：y1 围成的封闭图形为P， 则图形P的面积S等于 ( ) A1 B. 1 3 C. 2 3 D. 4 3 解析：由yx 2 y1得 x 1.如图，由对称性可知，S 2(11 0 1x2dx) 2 11 1 3x 3|1 0 4 3. 答案： D 6曲线yx2与曲线yx22x围成的图形面积为_ 解析：解方程组 yx22x， yx2， 得交点坐标为(0,0)，(1， 1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图
4、所示，图形面积S 0 1(2x22x)dx 2 3x 3x2 | 1 0 2 31 1 3 . 答案： 1 3 7直线x 4， x 5 4 与曲线ysin x，ycos x围成平面图形的面积为_ 解析：由图可知， 图形面积S 5 4 4 (sin xcos x)dx (cos xsin x) 5 4 4 cos 5 4 sin 5 4 cos 4sin 4 2 (2)22. 答案： 22 8正方形的四个顶点A(1， 1)，B(1， 1)，C(1,1)，D(1，1)分别在抛物线y x2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区 域的概率是 _ 积一时之跬步臻千
5、里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 首先求第一象限内阴影部的分面积，1 0 1x2dx11 3x 3| 1 0 2 3，根据对称性以及 几何概型的相关内容可知，所求概率为P 2 3 1 2 3. 答案： 2 3 9计算由直线y6x，曲线y8x以及x轴所围图形的面积 解析：作出直线y6x，曲线y8x的草图，所求面积为图中 阴影部分的面积 解方程组 y 6x， y8x， 得直线y6x与曲线y8x交点的坐标 为(2,4)，直线y6x与x轴的交点坐标为(6,0) 因此，所求图形的面积SS1S2 0 2 8xdx 2 6(6 x)dx8 2 3x 3 2 | 2 0(6x 1 2x 2)| 6 2 16
6、3 (66 1 26 2)(621 22 2) 16 3 8 40 3 . 10已知f(x)为一次函数，且f(x)x 0 2f(x)dx1， (1)求f(x)解析式； (2)求直线yf(x)与曲线yxf(x)围成平面图形的面积 解析： (1)设一次函数f(x)kxb(k0)，由f(x)x 0 2f (x)dx1 得kxbx 0 2(kx b)dx 1x kx 2 2 bx| 2 0 1(2k 2b)x1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以b1，k2k 2b，即k 2b 2， 所以f(x) 2x1. (2)由 y 2x1， y 2x2x， 消去y，得 2x23x10，解得x1 1
7、2， x21，大致图象如图， 所求平面图形的面积为 S 1 1 2 (2x2x)(2x1)dx 1 1 2 (2x23x1)dx 2 3 x3 3 2x 2x1 1 2 1 24. B 组能力提升 1已知a (sin x，cos x)，b(cos x，sin x)，f(x)ab，则直线x 0，x 3 4 ，y0 以 及曲线yf(x)围成平面图形的面积为( ) A. 1 2 B. 3 4 C. 3 2 D. 3 2 解析：由a(sin x，cos x)， b(cos x，sin x)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得f(x)ab2sin xcos xsin 2x， 当x 0， 2
8、时， sin 2x0； 当x 2， 3 4 时， sin 2x0)， 由f(0)0，得c0.f(x)2axb，因过点 (1,0)与(0,2)，则有 2a1b0， 2a0b2， a1， b2， f(x)x22x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S -2 0 ( x22x)dx 1 3x 3 x2| 0 2 1 3 (2) 3(2)24 3. 答案： B 3(2015高考天津卷)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_ 解析：两曲线的交点坐标为(0,0)，(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积S 0 1(x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x2)dx 1 2x 2
9、 1 3x 3 | 1 0 1 6 . 答案： 1 6 4如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a，拱高为b，其面积为 _ 解析：建立如图所示的坐标系，所以得抛物线的方程为y 4b a 2x 2，所以曲线与 x轴围 成的部分的面积为S 2 2 2 2 4 () a a b xdx a 3 2 2 2 4 3 a b x a ab 3 ，所以阴影部分的面积为 ab ab 3 2ab 3 . 答案： 2 3ab 5已知过原点的直线l与抛物线yx24x所围成图形的面积为36，求l的方程 解析：由题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为ykx， 则由 ykx yx24x ，得 x0 y0 或 xk4 ykk4 . (1)当k40，即k4 时， 面积S 0 k-4 (kxx24x)dx ( 1 2kx 21 3x 32x2)| k4 0 1 2 k(k4) 2 1 3(k4) 32(k4)2 1 6 (k4)336， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 k 2，故直线l的方程为y2x； (2)当k40，得 3a1， 由S0，得 1a0 或a 3， 当a 3 时，S取得极小值，即最小值， 此时b2a5，最小值S(3) 9 8.