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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 课时a n与 Sn的关系及裂项求和法 课后篇 巩固探究 A 组 1.已知数列 an的前n项和Sn=,则a5的值等于 () A.B.-C.D.- 解析 :a5=S5-S4=-. 答案 :B 2.已知等差数列 an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前 100项和为 () A.B.C.D. 解析 :S5=15,a1=1, d=1, an=1+(n-1)1=n, . 设的前n项和为Tn, 则T100=+ =1-+=1-. 答案 :A 3.设an(nN+)是等差数列 ,Sn是其前n项和 ,且S5S8,则下列结论错误的是() A.dS5 D
2、.S6和S7均为Sn的最大值 解析 :由S50. 又S6=S7,a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7,a7=0,故 B 正确 ; 同理由S7S8,得a8S5,即a6+a7+a8+a90, 可得 2(a7+a8)0. 而由a7=0,a80 不可能成立 ,故 C 错误 ; S5S8,S6与S7均为Sn的最大值 ,故 D 正确.故选 C. 答案 :C 4.数列的前n项和Sn为() A. B. C. D. 解析 :, 于是Sn= . 答案 :C 5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n N+),且f(1)=2,则f(20)为() A.95 B.97 C.105 D.192 解析 :f(n+1)=f
3、(n)+, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(n+1)-f(n)= . f(2)-f(1)=, f(3)-f(2)=, f(20)-f(19)=, f(20)-f(1)=95. 又f(1)=2,f(20)=97. 答案 :B 6.已知数列 an的前n项和Sn=n 2-9n,第 k项满足 50;当n3 时,an=2n-76),则数列的项数n为. 解析 :由题意可知 由+,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=216,6(a1+an)=216,a1+an=36. Sn=18n=324,n=18. 答案 :18 7.设数列 an 的前n项和为Sn,a1=1,an=+2
4、(n-1)(nN+). (1)求证 :数列 an 为等差数列 ,并求an与Sn; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)是否存在自然数n,使得S1+-(n-1)2=2 019? 若存在 ,求出n的值 ;若不存在 ,请说明 理由. (1)证明由an=+2(n-1), 得Sn=nan-2n(n-1)(nN+). 当n2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4, 故数列 an是以 1 为首项 ,4为公差的等差数列. 于是 ,an=4n-3,Sn=2n 2-n. (2)解存在自然数n使得S1+-(n-1)2=2 019成立.理由如下 : 由(
5、1),得=2n-1(nN+), 所以S1+-(n-1)2=1+3+5+7+(2n-1)-(n-1)2=n 2-(n-1)2= 2n-1. 令 2n-1=2 019,得n=1 010, 所以存在满足条件的自然数n为 1 010. 8.导学号 33194016数列 an的前n项和Sn=100n-n 2(nN +). (1)求证 an是等差数列 ; (2)设bn=|a n|,求数列 bn的前n项和. (1)证明an=Sn-Sn-1 =(100n-n 2)-100(n-1)-(n-1)2 =101-2n(n2). a1=S1=1001-12=99=101-21, 数列 an的通项公式为an=101-2
6、n(nN+). 又an+1-an=-2 为常数 ,数列 an是首项a1=99,公差d=-2 的等差数列. (2)解令an=101-2n0,得n50.5. nN+,n50(n N+). 当 1n50 时an0,此时bn=|an|=an, bn的前n项和Sn=100n-n2; 当n51 时an0,此时bn=|an|=-an, 由b51+b52+bn=-(a51+a52+an) =-(Sn-S50)=S50-Sn, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得数列 bn的前n项和为 Sn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn =22 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2. 由得数列 bn的前n项和为 Sn=