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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 对应学生用书P32 对应学生用书P32 证明四点共圆问题 证明点共圆的方法有以下几种： (1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上； (2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上； (3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆： BACBDC； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BADBCD180； FADBCD； AECEBEDE； AFBFCFDF. 例 1 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、 F， 求证：C、D、E、F四点共圆 证明 连接
2、EF， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC180. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以BAEF180. 所以AEFC. 所以C、D、E、F四点共圆 例 2 已知：如图，四边形ABCD中， 1 2. 求证：A、B、C、D四点共圆 证明 由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为O. (1)如果点C在O的外部 (如图 ) 与圆相交于点E， 1AEB， 1 2， 2AEB. 而AEB 2，矛盾， 故点C不可能在圆外 (2)如果点C在O的内部 (如图 ) 延长BC与圆相交于点E，连接AE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 1AEB，而 1 2， 2AEB，与 2AEB矛盾， 点C不
3、可能在圆内， 点C只能在圆上 . 证明线段等积式常用的方法 证明命题的一般步骤： (1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法； (3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性 1利用相似三角形 例 3 如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D 两点，连结DB并延长交O于点E.证明： (1)ACBDADAB； (2)ACAE. 证明 (1)由AC与O相切于A， 得CABADB， 同理ACBDAB， 所以ACBDAB.从而 AC AD AB BD ， 即ACBDADAB.
4、 (2)由AD与O相切于A，得AEDBAD， 又ADEBDA，得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EADABD.从而 AE AB AD BD ， 即AEBDADAB. 结合 (1)的结论，得ACAE. 2利用三角形内(外 )角平分线的性质 例 4 已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于 A点，DC是ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点 (1)求ADF的度数； (2)若ABAC，求ACBC. 解 (1)AC为圆O的切线， BEAC. 又DC是ACB的平分线， ACDDCB. BDCBEACACD， 即ADFAFD， 又因为BE为圆O的直径， DAE90， ADF 1 2(1
5、80 DAE)45. (2)BEAC，ACBACB， ACEBCA， AC BC AE AB. 又ABAC，BACB30. 在 RtABE中， AC BC AE AB tan Btan 30 3 3 . 3利用面积关系 例 5 RtABC中，O是斜边BC上一点，以O为圆心的半圆与两直角边相切于M、 N，如果两直角边分别为a、b，半圆的半径为r. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证： 1 r 1 a 1 b. 证明 连接AO、OM、ON. AB、AC与半圆相切于M、N， OMAB，ONAC. 又设ABa，ACb， 半圆的半径为r， SABC 1 2 ab. 又SABCSAOBSAOC
6、 1 2ar 1 2br 1 2r (ab) abr(ab)则 1 r 1 a 1 b. 4利用射影定理 例 6 如图，AB是O直径，过A作切线，过B作割线交O 于E，交切线于F，过B再作割线交O于C，交切线于D. 求证：BEBFBCBD. 证明 连接AE、AC. AD是切线， BAAD. AB是直径， AEBF，ACBD. AB2BEBF， AB2BCBD. BEBFBCBD. 5利用相交弦定理及切割线定理 例 7 如图所示， 两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C， TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于点P. 求
7、证： (1) ? CE ? CF； (2)ACPFBCPT. 证明 (1)设小圆的圆心为点O， 连接OC. AB切小圆于点C， OCAB. 1 3 2， EFAB，OCEF， ? CE ? CF. (2)EFAB， AE BF AT BT TE TF. AB切小圆于点C， AC2AEAT，BC 2 BFBT. AC2 BC 2 AEAT BFBT TE 2 TF2， AC BC TE TF . PT是公切线，PTF 90， TF是O的直径，TEPF，PTFTEF， PT PF TE TF ， AC BC PT PF， ACPFBCPT. 平行截割定理的应用 构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此
8、类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形 形状是常用的构造平行关系的方法 例 8 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，BD、AC交于O点， 过O的直线分别交AB、CD于E、F，EFBC，AD12 cm，BC20 cm， OD OB AD BC .求EF的长 解 ADBC，EFBC， EFAD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OD OB AD BC， AD12 cm，BC20 cm， OD OB 12 20 3 5 ， OB BD 5 8. OE AD OB BD 5 8. OE 5 8AD 5 812 15 2 (cm) 同理：OF 3 8BC 3 820 15 2 (cm) EF
9、OEOF15(cm) 例 9 已知：在ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与边AB及AD分别 交于点F，E. (1)如图 (1)，当 BD DC 1 2时，求证： AE ED 3AF 2FB； (2)如图 (2)，当 BD DC m n 时，猜想： AE ED 与 AF FB之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请 写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：过点D作DGCF交AB于G点， AE ED AF FG. 又 BD DC 1 2 ，DC2BD2 3BC. DGFC， FG BF DC BC 2 3. FG 2 3BF， AE ED AF 2 3B
10、F 3AF 2BF. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)当 BD DC m n 时，有关等式： AE ED mn n AF FB. 证明：过D作DGCF交AB于G点 AE ED AF FG. 又 BD DC m n ， BC DC mn n . DGFC， BF FG BC DC mn n . FG n mnBF . AE ED AF n mnBF m n n AF BF . 对应学生用书 P35 一、选择题 1.如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与 BC交于点E，则 ( ) ACECBADDB BCECBADAB CADABCD 2 DCEEBCD2 解析：在
11、RtABC中，ACB90，CDAB， CD2ADDB. 又CD是圆的切线，故CD2CECB. CECBADDB. 答案： A 2.如图，直线PB、PD分别交O于A，B和C，D，PA4，AB 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2，CD5，那么线段PC的长是 ( ) A 3 B. 6 5 C10 D1 解析：PA4，AB2， PB6，设PCx，x(x5)46. x25x240. x13，x2 8(舍去 )，即PC3. 答案： A 3如图所示，ABC内接于圆O，过点A的切线交BC的延长 线于点P，D为AB的中点，DP交AC于点M，若BP8，AM4， AC6，则PA ( ) A 4 2 B3
12、2 C. 2 D5 2 解析：由题意MCACAM64 2. 又D为AB的中点，ADBD. 过点C作CNAB交PD于N， AM MC AD CN BD CN BP CP， 8 PC 4 2， PC 4. PA 2 PCPB32， PA4 2. 答案： A 4如图，两个等圆O和O外切，过O作O的两条 切线OA，OB，A，B是切点，则AOB等于 ( ) A 90B60 C45D30 解析：连接OO，OA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OA为O的切线，OAO 90. 又O与O为等圆且外切， OO 2OA. sinAOO AO OO 1 2， AOO 30. 又由切线长定理知AOB2AOO
13、 60. 答案： B 二、填空题 5如图，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E 46，DCF32，则A的大小为 _ 解析：因为ECEB， 所以EBCECB67， 又DCF32，所以BCD 180 67 32 81. 所以A180BCD99. 答案： 99 6如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF DB，垂足为F，若AB 6，AE1，则DFDB _. 解析：由相交弦定理可知 ED 2 AEEB155， 又易知EBD与FED相似，得DFDBED 25. 答案： 5 7.如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点， 满足ABC 30，过点A作圆O的切线与
14、OC的延长线交于点P，则PA _. 解析：连接OA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OP为O的切线， OAAP. 又ABC30，AOC60. 在 RtAOP中，OA1，PAOAtan 603. 答案：3 8.如图，PA、PB分别切O于A、B两点，在劣弧 ? AB上任取一点C， 过C作O的切线分别交PA、PB于D、E两点 (1)若PA5，则PDE的周长为 _； (2)若APB50，则DOE_. 解析： (1)由切线长定理知， DCDA，ECEB，PAPB， PDE周长为PDPEDEPDDCPECEPDDAPEEBPAPB 2PA10. (2)连接OC， 因为DA，DC与圆O相切， 所
15、以AODCOD. 同理，COEBOE. DOE 1 2 AOB 1 2 (180APB) 65. 答案： 10 65 三、解答题 9如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线 于点F.求证： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)AEDAFD； (2)AB2BEBDAEAC. 证明： (1)连接AD. 因为AB为圆的直径，所以ADB90. 又EFAB，EFA90， 则A、D、E、F四点共圆， DEADFA. (2)由(1)知，BDBEBABF. 连接BC，显然ABCAEF， AB AE AC AF ，即ABAFAEAC， BEBDAEACBABFABA
16、F AB(BFAF)AB2. 10如图，已知在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于 C，D两点，垂足是点E. 求证：PCPDAEAO. 证明：连接OP，P为AB的中点， OPAB，APPB. PEOA， AP 2 AEAO. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PDPCPAPBAP 2， PDPCAEAO. 11.如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交 ABC的外接圆于F，G两点，若CFAB，证明： (1)CDBC； (2)BCDGBD. 证明： (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC. 又已知CFAB， 故四边形BCFD是平行四边形，
17、所以CFBDAD. 而CFAD，连接AF， 所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF. 因为CFAB，所以BCAF，故CDBC. (2)因为FGBC，故GBCF. 由(1)可知BDCF，所以GBBD， 所以BGDBDG. 由BCCD知CBDCDB， 又因为DGBEFCDBC， 所以BCDGBD. 对应学生用书P45 (时间 90 分钟，总分120分 ) 一、选择题 (本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点，BC AD，AB2AC2，则圆O的直径等于 ( ) 积一
18、时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 3 B2 3 C3 3 D4 解析：由切割线定理知AB2ACAD，即 221AD，解得AD4，所以CDAD AC3，连接BD，因为BCAD，所以BD为圆O的直径，又因为BC 2AB2 AC23，所 以BDCD2BC 2 3 232 3. 答案： B 2在O的直径CB的延长线上取一点A，AP与O相切于点P上APB30，AP 3，则CP等于 ( ) A.3 B 2 3 C.231 D 2 31 解析：连接CP，BP， 则PCB30， CPB90. 于是PBC60， PBA120， A 30PCB， CPPA3. 答案： A 3点P为O的弦AB上一点，且A
19、P9，PB4，连接PO，作PCOP交圆于点C， 则PC等于 ( ) A 4 B6 C8 D9 解析：延长CP交O于点D，则OP垂直平分弦CD， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 且CPPDAPPB36 PC 2 36， PC6. 答案： B 4如图，已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆， A80，则BIC等于 ( ) A 80B100 C120D130 解析：A80， ABCACB100 . IBC 1 2 ABC， ICB 1 2 ACB， IBCICB 1 2( ABCACB)50， BIC180 50 130. 答案： D 5.如图，在O中，弦AB与CD相交于P点，B30，
20、APD 80， 则A( ) A 40B50 C70D110 解析：易知AD， 又APDBD，B30，APD80， DAPDB 80 30 50. A50. 答案： B 6如图所示，PC切O于A，PO的延长线交O于B，BC切 O于B，若ACCP 12，则POOB等于 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 21 B11 C12 D1 4 解析：连接OA，则OAPC， PAOPBC， PO PC OA BC，即 PO OA PC BC， 又OAOB，ACCP 12， 设ACx，则CP2x， CAxBC， PO OA 2x x 2，POOB21. 答案： A 7在等腰ABC中，ABAC
21、，BAC120，BC6 cm，则其外接圆的直径为( ) A.3 cm B23 cm C43 cm D63 cm 解析：作BC边上的中线AD，则ADBC，延长AD交ABC外接 圆于E，连接CE. AEBC，AE平分BC， AE为ABC外接圆的直径， ACE90 . 在 RtACD中， CAD 1 2 BAC60， CD 1 2BC3 cm， AC CD sinCAD 3 3 2 23(cm) 在 RtACE中，AE AC cosCAD 23 1 2 43(cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即ABC外接圆的直径为43 cm. 答案： C 8.如图所示，在O中，弦AB与半径OC相交于
22、点M，且OM MC，AM1.5，BM4，则OC等于 ( ) A 2 6 B6 C2 3 D2 2 解析：延长CO交O于D，则DM3CM，CMMDMAMB， 所以 1.543CM2，CM2，OC2 2. 答案： D 9(天津高考 )如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交 圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F. 在上述条件下，给出下列四个结论： BD平分CBF； FB2FDFA； AECEBEDE； AFBDABBF. 则所有正确结论的序号是( ) AB CD 解析：因为BADFBD，DBCDAC， 又AE平分BAC，即BADDAC， 所以FBDDBC， 所以BD
23、平分CBF，结论正确； 易证ABFBDF，所以 AB AF BD BF ， 所以ABBFAFBD，结论正确； 由切割线定理，得BF2AFDF，结论正确； 由相交弦定理，得AEDEBECE， 结论错误选D. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： D 10如图，在ABC中，C 90，AC8 cm，AB10 cm，点P由C出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA向点A运动 (不运动至A点)，O的圆心在BP上，且O分别与AB、 AC相切，当点P运动 2 s时，O的半径是 ( ) A. 12 7 cm B 12 5 cm C. 5 3 cm D2 cm 解析：PC224 cm， P是AC的中点，
24、 BC6 cm，BP213 cm.连接OD， D为切点， ODAC，则ODBC， 即 DP OD PC BC 4 6 2 3 . 设半径OD3k，DP2k， OP3k 2 2k 2 13k， OB 21313k. AE、AD为O的切线， AEADAPPD42k， BE10(42k)62k. 在 RtBOE中，OB 2 BE2OE 2， (21313k)2(62k)2(3k)2， 解得k 4 7 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故半径OD3k 12 7 . 答案： A 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共 20 分把答案填写在题中的横线上) 11.如图，在 ?ABCD中，
25、BC24，E、F为BD的三等分点，则BM _，DN_. 解析： BM AD BE ED 1 2， BM 1 2BC12， DN BM DF FB 1 2， DN 1 2BM6. 答案： 12 6 12(湖南高考 )如图，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB3，BC22， 则O的半径等于 _ 解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点， 则在直角三角形ABD中，ADAB2BD2 1，设圆的半径为r， 延长AO交圆O于点E， 由圆的相交弦定理可知BDCDADDE， 即(2)22r1，解得r 3 2. 答案： 3 2 13如图，O中的弦AB与直径CD相交于P，M为DC延长线上一点，
26、MN为O 的切线，N为切点，若AP8，PB6，PD4，MC6，则MN的长为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由相交弦定理得：CPPDAPPB，CPAP PB PD 12，又由切割线定理得： MN 2 MCMD622，所以，MN233. 答案： 233 14如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若 AB3AD，则 CE EO 的值为 _ 解析：连接AC，BC，则ACBC. AB3AD，AD 1 3AB， BD 2 3AB， OD 1 6AB . 又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径， OC 1 2AB . 在ABC中，根据射影定理有： CD2A
27、DBD 2 9AB 2. 在OCD中，根据射影定理有：OD 2OE OC， CD2CEOC，可得OE 1 18AB，CE 4 9AB， CE EO8. 答案： 8 三、解答题 (本大题共4个小题，共50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 15(本小题满分12 分)如图所示，已知边长为12 的正三角形ABC， DEBC，SBCDSBAC49，求EC的长 解：如图，过D作DFBC， 过A作AGBC， SBCD 1 2BC DF， SBAC 1 2BC AG. 因为SBCDSBAC49， 所以DFAG49. 因为BDFBAG， 所以BDB
28、ADFAG49. 因为AB12，所以CEBD 16 3 . 16(本小题满分12分 )如图，AD是BAC的平分线，O过点A且与BC边相切于点 D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EFBC. 证明：如图，连接DF. 因为BC与圆相切， 所以CDFDAF. 因为EFD与EAD同为弧 ? DE所对的圆周角， 所以EFDEAD. 又因为AD是BAC的平分线， 故EADDAF. 所以CDFEFD， 所以EFBC. 17(本小题满分12 分)在ABC中，BC2A. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证：AB 2 BC 2 ABBC. 证明：如图所示 延长BC到点D，使CDAB，连接AD. BA
29、CB，ABAC. 又ABCD，ACCD. D 1 2 ACBBAC. BB，ABCDBA. AB BD BC AB . AB2BCBDBC(BCCD) BC 2 BCCD BC 2 ABBC. 18(本小题满分14 分)(辽宁高考 )如图，EP交圆于E，C两点，PD 切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A， 作弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若ACBD，求证：ABED. 证明： (1)因为PDPG，所以PDGPGD. 由于PD为切线，故PDADBA， 又由于PGDEGA，故DBAEGA， 所以DBABADEGABAD， 从而BDAPFA. 由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90.故AB是直径 (2)连接BC，DC. 由于AB是直径，故BDAACB90. 在 RtBDA与 RtACB中，ABBA，ACBD， 从而 RtBDARtACB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于是DABCBA. 又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB. 由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角 于是ED为直径由 (1)得EDAB.