《高中数学第三章.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修7.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修7.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.1 & 3.1.2 变化率问题导数的概念 平均变化率 提出问题 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系A是出发点，H 是山顶爬山路线用函数yf(x)表示 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A 的坐标为 (x1，y1)，点B的坐标为 (x2，y2) 问题 1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变 量x，y分别是多少？ 提示：自变量x的改变量为xx2x1，函数值的改变量为yy2y1. 问题 2：y的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能 问题 3：怎样
2、用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB来说， y x y2y1 x2x1可近似地刻画 问题 4：能用 y x刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因 y x表示 A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大， 山路越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比 y x越大，山路越陡；反之，山路越缓 问题 5：从点A到点B和从点A到点C，两者的 y x相同吗？ 提示：不相同 导入新知 函数的平均变化率 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从 f(x1)变为f(x2)，我们把式子 fx2fx
3、1 x2x1 称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率 习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量” ，可用 x1x代替x2.类似地，yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为 y x. 化解疑难 1正确理解增量x与y x是自变量x在x0处的改变量，不是与x的乘积，x的值可正，可负，但不能为0. y是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数 f(x)没有变化 2 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” 利 用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度. 导数的概念 提出问题
4、 一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间 问题 1：试求质点在1,1t这段时间内的平均速度 提示： s t 831t 28312 t 63t. 问题 2：当t趋近于 0 时， “问题 1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当t趋近于 0 时， s t趋近于 6.这时的平均速度即为 t1 时的瞬时速度 导入新知 1瞬时速度的概念 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度： 设物体运动的路程与时间的关系是ss(t)，当t趋近于 0时，函数s(t)在t0到t0t之 间的平均变化率 st0tst0 t 趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度 2导数的定义 函数yf(x)在xx
5、0处的瞬时变化率： lim x0 y x lim x 0 fx0xfx0 x ， 我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数， 记作f 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (x0)或y| 0 xx xx0，即f(x0) lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x . 化解疑难 导数概念的理解 (1)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在xx0处及其附近的函数值有关，与x 无关 (2)f(x0)是一个常数，即当x0 时，存在一个常数与 fx0xfx0 x 无限接近 求函数的平均变化率 例 1 求函数yf(x)3x22 在区间 x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x 0.
6、1 时平均变化率的值 解 函数yf(x)3x22 在区间 x0，x0x上的平均变化率为 fx0xfx0 x0xx0 3x0x 2 2 3x202 x 6x0x3x 2 x 6x03x. 当x02，x0.1 时， 函数y3x22 在区间 2,2.1上的平均变化率为6230.112.3. 类题通法 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函 数值的增量y.求平均变化率的主要步骤是： (1)计算函数值的改变量yf(x2)f(x1) (2)计算自变量的改变量xx2x1. (3)得平均变化率 y x fx2fx1 x2x1 . 活学活用 已知函数f(x)x 1 x， 分别
7、计算 f(x)在自变量x从 1 变到 2和从 3 变到 5 时的平均变化率， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 并判断在哪个区间上函数值变化得较快 解析： 自变量x从 1变到 2时， 函数f(x)的平均变化率为 f2f1 21 2 1 2 11 1 1 2； 自变量x从 3变到 5 时， 函数f(x)的平均变化率为 f5f3 53 5 1 5 3 1 3 2 14 15. 因为 1 2 14 15，所以函数 f(x)x 1 x在自变量 x从 3 变到 5 时函数值变化得较快. 求函数在某点处的导数 例 2 根据导数的定义求下列函数的导数 (1)求函数yx23 在x1 处的导数； (2)
8、求函数y 1 x在 xa(a0)处的导数 解 (1)yf(1x)f(1) (1x)23(12 3) 2x (x)2， y x 2xx 2 x 2x. y| x1 lim x 0 (2x)2. (2)yf(ax)f(a) 1 ax 1 a aax aax x aax ， y x x aax 1 x 1 aax . y|xa lim x0 1 aax 1 a 2. 类题通法 求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 已知函数yf(x)ax 2 c且f(1)2，求a的值 解：f(1) lim x0 y x lim x0 f1xf1 x lim x
9、0 a1x 2ca c x lim x0 2axax 2 x lim x0 (2aax) 2a2. a1，即a的值为 1. 求瞬时速度 例 3 若一物体的运动方程为s 293t3 2，0t3， 3t22，t3 (路程单位： m，时 间单位： s) 求： (1)物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在t1 s时的瞬时速度 解 (1)因为s3522(3322)48，t2，所以物体在t3 s到t5 s这段时 间内的平均速度为 s t 48 2 24(m/s) (2)因为s29 3(1t)3229 3(13)2 3(t)212t， 所以 s t 3t 2 12 t t 3t 12，
10、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则物体在t1 s时的瞬时速度为 s(1) lim t 0 s t lim t0 (3t12) 12(m/s) 类题通法 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量，ss(t0t)s(t0)； (2)求平均速度，v s t； (3)取极限， lim t0 s t lim t 0 st0tst0 t ； (4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v lim t0 s t. 活学活用 一质点按规律s(t)at 2 1做直线运动 (位移单位： m，时间单位： s)，若该质点在 t2 s 时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值 解：因为ss(2t)s(2) a(2t)2
11、1a221 4ata(t)2， 所以 s t4a at. 故在t 2 s时，瞬时速度为s(2) lim t 0 s t 4a(m/s) 由题意知， 4a 8，所以a2. 6.导数的概念理解不明 典例 已知f(x)在xx0处的导数为4，则 lim x0 fx02xfx0 x _. 解析 lim x0 fx02xfx0 x lim x0 fx02xfx0 2x 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2lim x 0 fx02xfx0 2x 2f(x0)248. 答案 8 易错防范 1本题中x的增量是2x，即 (x02x)x02x，而分母为x，两者不同，若忽视这 一点，则易得出结论为4 的错
12、误答案 2在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的 增量与分母中的增量必须保持一致 成功破障 求 lim x0 fxxfx x . 解：令xh， 则 lim x0 fxxfx x lim h 0 fxhfx h lim h0 fxhfx h f(x) 随堂即时演练 1已知函数y2x21 的图象上一点 (1,1)及邻近一点 (1x，1y)，则 y x等于 ( ) A 4 B4x C42xD42(x)2 解析：选 C y x 21x 21 1 x 42x. 2如果函数yaxb在区间 1,2上的平均变化率为3，则a的值为 ( ) A 3 B2 C3 D 2 解析：选
13、C 根据平均变化率的定义， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 可知 y x 2abab 21 a3. 3一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1. 解析： s t 7t0t 2 8 7t2 08 t 7t14t0， 当 lim t 0(7 t14t0)1 时，t0 1 14. 答案： 1 14 4已知曲线y 1 x1 上两点 A2， 1 2 ，B2x， 1 2 y，当x1 时，割线AB的 斜率为 _ 解析：x 1,2x3， y 1 3 1 1 2 1 2 3 1 2 1 6. kAB y x 1 6. 答案： 1 6 5求yf(x)2x21 在x0到x0x之间的平均变化
14、率，并求x01，x 1 2时平均变化 率的值 解：当自变量从x0变化到x0x时， 函数的平均变化率为 fx0xfx0 x 2x0x 2 1 2x201 x 4x02x， 当x01，x 1 2时，平均变化率的值为 412 1 25. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时达标检测 一、选择题 1当自变量从x1变到x2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A在区间 x1，x2上的平均变化率 B在x1处的变化率 C在x2处的变化量 D在区间 x1，x2上的导数 解析：选 A 平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比 2质点运动规律st23，则在时间 3,3t中，相应的
15、平均速度等于( ) A 6tB6t 9 t C3tD9t 解析：选 A v s t 3t 23 32 3 t 6tt 2 t 6t. 3如果质点M按照规律s3t 2 运动，则在t3 时的瞬时速度为( ) A 6 B18 C54 D 81 解析：选 B vli m t 0 s3ts3 t li m t 0 33t 2 27 t li m t 0 18t3t 2 t 18. 4函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率 为k2，则k1与k2的大小关系为( ) Ak1k2Bk1k2 Ck1k2D不确定 解析：选 D k1 fx0xfx0 x x0x 2 x20 x
16、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2x0x， k2 fx0fx0x x x2 0 x0x 2 x 2x0x. 因为x可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定 5设函数在x1 处存在导数， 则 li m x 0 f1xf1 3x ( ) Af(1) B3f(1) C. 1 3f (1) D f (3) 解析：选 C li m x0 f1xf1 3x 1 3 li m x0 f1xf1 x 1 3f(1) 二、填空题 6将半径为R的球加热，若半径从R1 到Rm时球的体积膨胀率(体积的变化量与 半径的变化量之比)为 28 3 ，则m的值为 _ 解析：V 4 3 m 34 3 1 3
17、4 3 (m31)， V R 4 3 m31 m1 28 3 ， 即m2m17， 解得m2 或m 3(舍去 ) 答案： 2 7如图是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间 0,2上的平均变化率为_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由函数f(x)的图象知， f(x) x3 2 ， 1x1， x1， 1x 3. 所以，函数f(x)在区间 0,2上的平均变化率为 f2f0 20 3 3 2 2 3 4. 答案： 3 4 8当h无限趋近于0时， lim h0 3h 232 h _. 解析： lim h0 3h 232 h lim h0 6hh2 h lim h0 (6h) 6. 答
18、案： 6 三、解答题 9已知函数f(x)138x2x2，且f(x0) 4，求x0的值 解：f (x0)li m x 0 y x li m x0 138x0x2x0x 2 138x02x20 x li m x0 8x2 2x0x2x 2 x li m x0 (82 2x02x) 8 2 2x0， 8 2 2x04. x03 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 10一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移： m，时间： s) (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t2 时的瞬时速度； (3)求t0 到t2 时的平均速度 解： (1)初速度v0li m t 0 sts0 t li m t 0 3tt 2 t li m t 0 (3t)3(m/s) 即物体的初速度为3 m/s. (2)vli m t0 s2ts2 t li m t 0 32t2t 2 3 24 t li m t 0 t 2 t t li m t 0 (t1) 1(m/s) 即此物体在t2 时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反 (3)v s2s0 20 64 0 2 1(m/s) 即t0 到t2 时的平均速度为1 m/s.