《高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修9.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修9.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1不等关系与不等式 不等关系与不等式 提出问题 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题 1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？ 提示：最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； 限制重量：装载总重量G不得超过10 t； 限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； 限制宽度：装载宽度a不得超过3 m； 时间范围：t7.5,10 问题 2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：v50；G10；h3.5；a3； 7.5t10. 导入新知 不等式的概念 我们用数学符号“” “” “”“”或“”连接两个数或两个代数式，以表示它 们
2、之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式 化解疑难 1不等关系强调的是关系，可用符号“”“” “”“” “”表示，而不等式则 是表示两者的不等关系，可用“ab” “ab” “ab” “ab” “ab”等式子表示，不等关 系是可以通过不等式来体现的 2不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过小于，低于，少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 符号 语言 两实数大小的比较 提出问题 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大 问题 1：怎样判
3、断两个实数a，b的大小？ 提示：若ab是正数，则ab；若ab是负数， 则ab?ab0 ab，bc，则ac，对吗？为什么？ 提示：正确ab，bc， ab0，bc0. (ab)(bc)0，即ac0. ac. 问题 2：若ab，则acbc，对吗？为什么？ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示：正确ab， ab0， acbc0， 即acbc. 问题 3：若ab，则acbc，对吗？试举例说明 提示：不一定正确若a2，b1，c2 时正确c 2 时不正确 导入新知 不等式的性质 (1)对称性：ab?bb，bc?ac； (3)可加性：ab?acbc. 推论 (同向可加性 )： ab cd ?acbd
4、. (4)可乘性： ab c0 ?acbc； ab cb0 cd0 ?acbd. (5)正数乘方性：ab0?a n bn(n N *， n 1) (6)正数开方性：ab0? n a n b(nN *， n2) 化解疑难 1在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件 2要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性 用不等式 (组)表示不等关系 例 1 某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7 辆载重为6 t 的乙型卡车，有9 名 驾驶员此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6 次，乙 型卡车每辆每天可往返8 次，写
5、出满足上述所有不等关系的不等式 解 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆由题意得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy9， 106x68y360， 0x4， 0y7， x N，yN， 即 xy9， 5x4y30， 0x4，0y7， x N，yN. 类题通法 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系 (2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过” 等用代数式表示相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“”“”中的“” 能否取到 活学活用 用不等式 (组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/
6、h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少 于 2.3%. 解： (1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v80. (2)设汽车的重量为吨，则10. (3) f2.5%， p2.3%. 比较两数 (式)的大小 例 2 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x23 与 2x； (2)已知a，b为正数，且ab，比较a 3 b3与a 2b ab 2 的大小 解 (1)(x23)2xx22x 3 () x1 2220， x232x. (2)(a3b3) (a 2b ab 2) a 3 b3a 2b ab 2 a
7、 2(a b)b2(ab)(ab)(a2b2) (ab)2(a 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 b) a0，b0，且ab， (ab)20，ab0. (a 3 b3)(a 2b ab 2)0， 即a 3b3 a 2b ab 2. 类题通法 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子 )作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论 这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程是作差变形判断符号结 论，其中变形是判断符号的前提 活学活用 试判断下列各对整式的大小： (1)m22m5 与 2m5； (
8、2)x36x与x2 6. 解： (1)(m22m5)(2m5) m22m52m5m 2. m20， (m22m5)(2m5)0， m22m5 2m5. (2)(x36x)(x26) x3x26x6 x2(x 1) 6(x1) (x1)(x26) x260， 当x1 时， (x1)(x26)0， 即x36xx26. 当x1 时， (x1)(x26)0， 即x36xx26. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x1 时， (x1)(x26)0， 即x36xx26. 不等式的性质 例 3 已知ab0，cd0，e 0，求证： e ac e bd. 证明：cd 0， cd0. 又ab0， a(c
9、)b (d)0， 即acbd0， 0 1 ac 1 bd. 又e 0， e ac e bd. 类题通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基 础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略 条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 活学活用 已知ab，mn，p0，求证：napmbp. 证明：ab，又p0， apbp. apbp. 又mn，即nm. napmbp. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4.探究利用不等式
10、性质求取值范围 典例 已知 1a 4,2b8，试求 2a3b与ab的取值范围 解 1a4,2b8， 22a 8,63b24. 82a 3b32. 2b8， 8b 2. 又 1a4， 1(8)a (b)4(2)， 即 7ab2. 故 2a3b的取值范围是 (8,32)，ab的取值范围是 (7,2) 【探究一】 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加 (相乘 )，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取 值范围 【探究二】 同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时， 要充分利用所给条件 进行适当变形来求范围，注意变
11、形的等价性 在本例条件下，求 a b的取值范围 解 2b8， 1 8 1 b 1 2， 而 1a4， 1 1 8 a 1 b4 1 2，即 1 8 a b2. 故 a b的取值范围是 1 8，2 . 【探究三】 不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数， 不等号方向改变，求解中， 应明确所乘数的正负 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例：已知 6a 8,2b3，求 a b的取值范围 解 6a8,2b3， 1 3 1 b 1 2. 当 0a8 时， 0 a b4； 当 6a0 时， 3 a b0. 由得：3 a b4. 【探究四】 利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次
12、数 例：已知 1ab1,1a2b3，求a3b的取值范围 解 设a 3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b， 解得 1 5 3 ， 2 2 3. 又 5 3 5 3(a b) 5 3， 2 2 3 (a2b) 2 3， 所以 11 3 a3b1. (注：本题可以利用本章第三节内容求解) 随堂即时演练 1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元， 现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A 5x4y200 B5x4y200 C5x4y200 D5x4y200 解析：选 D 据题意知， 500x 400y20 0
13、00， 即 5x4y200，故选 D. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2(四川高考 )若ab0，cd 0，则一定有 ( ) A. a d b c B. a d b d D. a c0，即x2xx2. 答案： 4若 10ab8，则 |a| b的取值范围是_ 解析： 10a8， 0|a| 10， 又 10b8， 10|a| b 18. 答案： ( 10,18) 5(1)已知x1，比较 3x3与 3x2x1 的大小； (2)若 1ab0，试比较 1 a， 1 b， a 2， b2的大小 解： (1)3x3 (3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)
14、x1，x1 0. 又 3x2 10， (x1)(3x2 1) 0， 3x33x2x 1. (2) 1ab0， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ab0， a 2 b20. ab0， a 1 ab b 1 ab 0， 即 0 1 a 1 b， a 2 b2 1 a 1 b. 课时达标检测 一、选择题 1设Mx2，Nx1，则M与N的大小关系是 ( ) AMNBMN CMND与x有关 解析：选 A MNx2x1x 1 2 2 3 40. MN. 2某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于 95 分，文化课总分y高于 380 分，体育成绩z超过 45 分，用不等式(组 )表示就是 (
15、) A. x95 y380 z45 B. x95 y380 z45 C. x95 y380 z45 D. x95 y380 z45 解析：选 D 由题中x不低于 95即x95，y高于 380即y380，z超过 45 即z45. 3若abcd0，且a0，bc，d0，则 ( ) Ab0，c 0 Bb0，c0 Cb0，c 0 D0cb或cb0 解析：选 D 由a 0，d0，且abcd0，知bc 0， 又bc， 0cb或cb0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4设 0， 2 ， 0， 2 ，则 2 3的范围是 ( ) A. 0， 5 6 B. 6， 5 6 C.() 0， D. 6， 解析
16、：选 D 02， 0 3 6 ， 6 30， 由同向不等式相加得到 62 3 . 5已知：a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是( ) A若ab，cb，则ac B若ab，则cacb C若ab，cd，则 a c b d D若a 2b2，则 ab 解析：选 B 选项 A，若a4，b2，c5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的 条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D ，只有ab 0时才可以，否则如a 1， b0 时不成立，故选B. 二、填空题 6比较大小：a2b2c2_2(abc) 4. 解析：a2b2c22(abc) 4 a 2 b2c22a2b2c4 (a1)2(b1)2(c1)2110
17、， 故a 2b2 c22(abc)4. 答案： 7已知 |a| 1，则 1 1a 与 1a的大小关系为_ 解析：由 |a| 1，得 1a1. 1a0,1a0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 1 1a 1a 1 1a 2. 01a21， 1 1a 2 1， 1 1a 1a. 答案： 1 1a 1a 8某公司有20 名技术人员，计划开发A，B两类共 50 件电子器件，每类每件所需人 员数和预计产值如下： 产品种类每件需要人员数每件产值 (万元 / 件) A类 1 2 7.5 B类 1 3 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类产品应开发_件，最高产值为_万 元 解析：设应开发A类电子
18、器件x件，则开发B类电子器件 (50x)件，则 x 2 50x 3 20， 解得x 20. 由题意，得总产值 y7.5x6(50x) 3001.5x330， 当且仅当x20 时，y取最大值 330. 所以应开发A类电子器件20 件，能使产值最高，为330万元 答案： 20 330 三、解答题 9(1)ab0，求证： b a a b； (2)已知ab， 1 a 1 b，求证： ab0. 证明： (1)由于 b a a b b2a 2 ab baba ab ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ab0， ba0，ba0，ab0， baba ab 0，故 b a a b. (2) 1 a 1
19、 b， 1 a 1 b0，即 ba ab 0， 而ab，ba0，ab0. 10某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往甲车队说：“如领队买全票一张， 其余人可享受7.5 折优惠”乙车队说： “你们属团体票，按原价的8 折优惠”这两车队的 收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 解：设该单位职工有n人(nN *)，全票价为 x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1x 3 4x(n1) 1 4x 3 4xn， y2 4 5xn， y1y2 1 4x 3 4xn 4 5xn 1 4x 1 20xn 1 4x 1 n 5 . 当n5 时，y1y2； 当n5
20、 时，y1y2. 因此，当此单位去的人数为5 人时，两车队收费相同；多于5 人时，选甲车队更优惠； 少于 5 人时，选乙车队更优惠 11设 2a3， 4b3，求ab，ab， a b， ab， b2 a的取值范围 解： 2a3， 4b 3， 2ab0. 由 4b 3，知 3b4.5ab7. 由 3b4，知 1 4 1 b 1 3. 2 4 a b1.即 1 a b 1 2. 3b4， 6a(b)12. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12ab 6. 由 3b4，知 9(b)216. 又 1 3 1 a 1 2， 3 b2 a8. 12某化工厂制订明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超 过 200人； 每个工人的年工作时间约为2 100 h； 预计此产品明年的销售量至少为80 000袋； 生产每袋需用4 h；生产每袋需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t试根 据这些数据预测明年的产量 解：设明年的产量为x袋， 则 4x2002 100， x80 000， 0.02x6001 200， 解得 80 000x90 000. 预计明年的产量在80 000到 90 000袋之间